Линейчатая поверхность

Поверхность, содержащая линию, проходящую через каждую точку

Определение линейчатой ​​поверхности: каждая точка лежит на прямой.

В геометрии поверхность в трехмерном евклидовом пространстве S называется линейчатой ​​( также называемой свитком ), если через каждую точку S проходит прямая , лежащая на S. Примерами служат плоскость , боковая поверхность цилиндра или конуса , коническая поверхность с эллиптической направляющей , прямой коноид , геликоид и касательная, развертывающаяся к гладкой кривой в пространстве.

Линейчатую поверхность можно описать как множество точек, охватываемых движущейся прямой линией. Например, конус образуется путем удержания одной точки линии неподвижной при перемещении другой точки по окружности . Поверхность является дважды линейчатой , если через каждую ее точку проходят две различные прямые, лежащие на поверхности. Гиперболический параболоид и гиперболоид с одной полосой являются дважды линейчатыми поверхностями. Плоскость является единственной поверхностью, которая содержит по крайней мере три различные прямые, проходящие через каждую ее точку (Fuchs & Tabachnikov 2007).

Свойства быть линейчатым или дважды линейчатым сохраняются проективными отображениями и, следовательно, являются концепциями проективной геометрии . В алгебраической геометрии линейчатые поверхности иногда рассматриваются как поверхности в аффинном или проективном пространстве над полем , но иногда они также рассматриваются как абстрактные алгебраические поверхности без вложения в аффинное или проективное пространство, и в этом случае под «прямой линией» понимается аффинная или проективная линия.

Определение и параметрическое представление

Линейчатая поверхность, образованная двумя кривыми Безье в качестве директрис (красная, зеленая)

Поверхность в трехмерном евклидовом пространстве называется линейчатой, если она является объединением дифференцируемого однопараметрического семейства линий. Формально линейчатая поверхность — это поверхность в описывается параметрическим представлением вида ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \quad \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)}$

для изменения в интервале и ранжирования по действительным числам. ^[1] Требуется, чтобы , и оба и должны быть дифференцируемыми. ^[1] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (u)\neq (0,0,0)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

Любая прямая линия с фиксированным параметром называется генератором . Векторы описывают направления генераторов. Кривая называется директрисой представления. Директриса может сжиматься в точку (в случае конуса см. пример ниже). ${\displaystyle v\mapsto \mathbf {x} (u_{0},v)}$ ${\displaystyle u=u_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (u)}$ ${\displaystyle u\mapsto \mathbf {c} (u)}$

Линейчатая поверхность выше может быть альтернативно описана следующим образом:

${\displaystyle \quad \mathbf {x} (u,v)=(1-v)\mathbf {c} (u)+v\mathbf {d} (u)}$

со второй директрисой . Чтобы вернуться к первому описанию, начиная с двух непересекающихся кривых в качестве директрис, задайте ${\displaystyle \mathbf {d} (u)=\mathbf {c} (u)+\mathbf {r} (u)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (u),\mathbf {d} (u)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (u)=\mathbf {d} (u)-\mathbf {c} (u).}$

Геометрическая форма направляющих и образующих, конечно, существенна для формы линейчатой ​​поверхности, которую они производят. Однако конкретные параметрические представления их также влияют на форму линейчатой ​​поверхности.

Примеры

Прямой круговой цилиндр

цилиндр, конус

Прямой круговой цилиндр задается уравнением

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}.}$

Его можно параметризовать как

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(a\cos u,a\sin u,v)}$

${\displaystyle =(a\cos u,a\sin u,0)+v(0,0,1)}$

${\displaystyle =(1-v)(a\cos u,a\sin u,0)+v(a\cos u,a\sin u,1).}$

с

${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(a\cos u,a\sin u,0),}$

${\displaystyle \mathbf {r} (u)=(0,0,1),}$

${\displaystyle \mathbf {d} (u)=(a\cos u,a\sin u,1).}$

Прямой круговой конус

Прямой круговой цилиндр задается уравнением

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}.}$

Его можно параметризовать как

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(\cos u,\sin u,1)+v(\cos u,\sin u,1)}$

${\displaystyle =(1-v)(\cos u,\sin u,1)+v(2\cos u,2\sin u,2).}$

с

${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(\cos u,\sin u,1),}$

${\displaystyle \mathbf {r} (u)=(\cos u,\sin u,1),}$

${\displaystyle \mathbf {d} (u)=(2\cos u,2\sin u,2).}$

В этом случае можно было бы использовать вершину в качестве директрисы, т.е.

${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(0,0,0)}$

и

${\displaystyle \mathbf {r} (u)=(\cos u,\sin u,1)}$

как направления линии.

Для любого конуса можно выбрать вершину в качестве директрисы. Это показывает, что директриса линейчатой ​​поверхности может вырождаться в точку .

Геликоид

геликоид

Геликоид можно параметризовать как

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(v\cos u,v\sin u,ku)}$

${\displaystyle =(0,0,ku)+v(\cos u,\sin u,0)}$

${\displaystyle =(1-v)(0,0,ku)+v(\cos u,\sin u,ku).}$

Директриса

${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(0,0,ku)}$

- ось z, направления линий -

${\displaystyle \mathbf {r} (u)=(\cos u,\sin u,0)}$,

и вторая директриса

${\displaystyle \mathbf {d} (u)=(\cos u,\sin u,ku)}$

представляет собой спираль .

Геликоид является частным случаем линейчатых обобщенных геликоидов .

Цилиндр, конус и гиперболоиды

гиперболоид однополостный для ${\displaystyle \varphi =63^{\circ }}$

Параметрическое представление

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(1-v)(\cos(u-\varphi ),\sin(u-\varphi ),-1)+v(\cos(u+\varphi ),\sin(u+\varphi ),1)}$

имеет два горизонтальных круга в качестве директрисы. Дополнительный параметр позволяет варьировать параметрические представления кругов. Для ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi =0}$один получает цилиндр , ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

${\displaystyle \varphi =\pi /2}$один получает конус , ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$

${\displaystyle 0<\varphi <\pi /2}$получается однополостный гиперболоид с уравнением и полуосями . ${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}$ ${\displaystyle a=\cos \varphi ,c=\cot \varphi }$

Однополостный гиперболоид представляет собой дважды линейчатую поверхность.

Гиперболический параболоид

Гиперболический параболоид

Если две директрисы в (CD) являются прямыми

${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(1-u)\mathbf {a} _{1}+u\mathbf {a} _{2},\quad \mathbf {d} (u)=(1-u)\mathbf {b} _{1}+u\mathbf {b} _{2}}$

один получает

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(1-v){\big (}(1-u)\mathbf {a} _{1}+u\mathbf {a} _{2}{\big )}+v{\big (}(1-u)\mathbf {b} _{1}+u\mathbf {b} _{2}{\big )}}$,

который является гиперболическим параболоидом, который интерполирует 4 точки билинейно. ^[2] ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2}}$

Поверхность является дважды линейчатой, поскольку любая точка лежит на двух линиях поверхности.

Для примера, показанного на схеме:

${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=(0,0,0),\;\mathbf {a} _{2}=(1,0,0),\;\mathbf {b} _{1}=(0,1,0),\;\mathbf {b} _{2}=(1,1,1).}$

Гиперболический параболоид имеет уравнение . ${\displaystyle z=xy}$

лента Мёбиуса

лента Мёбиуса

Линейчатая поверхность

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)}$

с

${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(\cos 2u,\sin 2u,0)}$(круг как директриса),

${\displaystyle \mathbf {r} (u)=(\cos u\cos 2u,\cos u\sin 2u,\sin u)\quad 0\leq u<\pi ,}$

содержит ленту Мёбиуса.

На рисунке показана лента Мёбиуса для . ${\displaystyle -0.3\leq v\leq 0.3}$

Простой расчет показывает (см. следующий раздел). Следовательно, данная реализация ленты Мёбиуса не является развертываемой . Но существуют развертываемые ленты Мёбиуса. ^[3] ${\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} (0),\mathbf {\dot {r}} (0),\mathbf {r} (0))\neq 0}$

Дополнительные примеры

• Коноид
• каталонская поверхность
• Развертываемые ролики ( олоидные , сферические )
• Тангенциальная развертывающаяся

Развертываемые поверхности

Для определения вектора нормали в точке необходимы частные производные представления : ${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{u}=\mathbf {\dot {c}} (u)+v\mathbf {\dot {r}} (u)}$,

${\displaystyle \mathbf {x} _{v}=\mathbf {r} (u)}$.

Следовательно, нормальный вектор равен

${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {x} _{u}\times \mathbf {x} _{v}=\mathbf {\dot {c}} \times \mathbf {r} +v(\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {r} ).}$

Так как (Смешанное произведение двух равных векторов всегда равно 0), является касательным вектором в любой точке . Касательные плоскости вдоль этой линии все одинаковы, если кратно . Это возможно только в том случае, если три вектора лежат в одной плоскости, т.е. если они линейно зависимы. Линейную зависимость трех векторов можно проверить с помощью определителя этих векторов: ${\displaystyle \mathbf {n} \cdot \mathbf {r} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (u_{0})}$ ${\displaystyle \mathbf {x} (u_{0},v)}$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {c}} \times \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {c}} ,\mathbf {\dot {r}} ,\mathbf {r} }$

Касательные плоскости вдоль прямой равны, если ${\displaystyle \mathbf {x} (u_{0},v)=\mathbf {c} (u_{0})+v\mathbf {r} (u_{0})}$

${\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} (u_{0}),\mathbf {\dot {r}} (u_{0}),\mathbf {r} (u_{0}))=0}$.

Гладкая поверхность с нулевой гауссовой кривизной называется развертываемой в плоскость или просто развертываемой . Условие определителя можно использовать для доказательства следующего утверждения:

Линейчатая поверхность развертываема тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)}$

${\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} ,\mathbf {\dot {r}} ,\mathbf {r} )=0}$

в каждой точке. ^[4]

Генераторы любой линейчатой ​​поверхности объединяются с одним семейством ее асимптотических линий. Для развертывающихся поверхностей они также образуют одно семейство ее линий кривизны . Можно показать, что любая развертывающаяся поверхность является конусом, цилиндром или поверхностью, образованной всеми касательными пространственной кривой. ^[5]

Развертываемое соединение двух эллипсов и его развертка

Определительное условие для развертывающихся поверхностей используется для определения численно развертывающихся связей между пространственными кривыми (директрисами). На схеме показана развертывающаяся связь между двумя эллипсами, содержащимися в разных плоскостях (одна горизонтальная, другая вертикальная) и ее развертка. ^[6]

Впечатление от использования развертываемых поверхностей в системах автоматизированного проектирования ( САПР ) дано в Интерактивном проектировании развертываемых поверхностей . ^[7]

Исторический обзор развертывающихся поверхностей можно найти в книге Развертывающиеся поверхности: их история и применение . ^[8]

Линейчатые поверхности в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии линейчатые поверхности изначально определялись как проективные поверхности в проективном пространстве, содержащем прямую линию, проходящую через любую заданную точку. Это немедленно подразумевает, что на поверхности существует проективная прямая, проходящая через любую заданную точку, и это условие теперь часто используется в качестве определения линейчатой ​​поверхности: линейчатые поверхности определяются как абстрактные проективные поверхности, удовлетворяющие условию, что через любую точку проходит проективная прямая. Это эквивалентно утверждению, что они бирациональны произведению кривой и проективной прямой. Иногда линейчатая поверхность определяется как поверхность, удовлетворяющая более сильному условию, что она имеет расслоение над кривой со слоями, которые являются проективными прямыми. Это исключает проективную плоскость, которая имеет проективную прямую через каждую точку, но не может быть записана как такое расслоение.

Линейчатые поверхности появляются в классификации проективных комплексных поверхностей Энриквеса , поскольку каждая алгебраическая поверхность размерности Кодаиры является линейчатой ​​поверхностью (или проективной плоскостью, если использовать ограничительное определение линейчатой ​​поверхности). Каждая минимальная проективная линейчатая поверхность, отличная от проективной плоскости, является проективным расслоением двумерного векторного расслоения над некоторой кривой. Линейчатые поверхности с базовой кривой рода 0 являются поверхностями Хирцебруха . ${\displaystyle -\infty }$

Линейчатые поверхности в архитектуре

Двойные линейчатые поверхности послужили источником вдохновения для изогнутых гиперболоидных структур , которые можно построить с помощью решетчатой ​​конструкции из прямых элементов, а именно:

• Гиперболические параболоиды, такие как двускатные крыши .
• Гиперболоиды из одной плоскости, такие как градирни и некоторые мусорные баки .

В ракетном двигателе RM -81 Agena использовались прямые охлаждающие каналы, которые были проложены по линейчатой ​​поверхности, образуя горловину соплового сечения .

• 
  Охладительные гиперболические башни на электростанции Дидкот , Великобритания; поверхность может быть дважды линейчатой.
• 
  Двухсекционная водонапорная башня с тороидальным резервуаром, архитектор Ян Богуславский в Цеханове , Польша
• 
  Гиперболоидная башня порта Кобе , Кобе , Япония, с двойной направляющей.
• 
  Гиперболоидная водонапорная башня, 1896 год в Нижнем Новгороде .
• 
  Сетчатая оболочка Шуховской башни в Москве, секции которой имеют двойную разлиновку.
• 
  Винтовая лестница с винтовыми рядами внутри Торраццо в Кремоне .
• 
  Деревенская церковь в Село, Словения: и крыша (коническая), и стена (цилиндрическая) представляют собой линейчатые поверхности.
• 
  Гиперболическая параболоидная крыша железнодорожной станции Варшава Охота в Варшаве , Польша.
• 
  Разлинованная коническая шляпа .
• 
  Волнистая черепица, размеченная параллельными линиями в одном направлении и синусоидальной в перпендикулярном направлении.
• 
  Строительство плоской поверхности путем заливки ( стяжки ) бетона

Ссылки

Примечания

1. do Carmo 1976, стр. 188.
2. Г. Фарин: Кривые и поверхности для компьютерного геометрического проектирования , Academic Press, 1990, ISBN  0-12-249051-7 , стр. 250
3. В. Вундерлих: Über ein abwickelbares Möbiusband , Monatshefte für Mathematik 66, 1962, S. 276-289.
4. В. Кюнель: Дифференциальная геометрия , с. 58–60
5. Г. Фарин: стр. 380
6. Э. Хартманн: Геометрия и алгоритмы для САПР, лекция, Технический университет Дармштадта, стр. 113
7. Тан, Бо, Вальнер, Поттманн: Интерактивное проектирование развертываемых поверхностей, ACM Trans. Graph. (МЕСЯЦ 2015), DOI: 10.1145/2832906
8. Снежана Лоуренс : Развертываемые поверхности: их история и применение, в Nexus Network Journal 13(3) · Октябрь 2011, doi :10.1007/s00004-011-0087-z

Источники

• до Кармо, Манфредо П. (1976), Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей (1-е изд.), Prentice-Hall, ISBN 978-0132125895
• Барт, Вольф П.; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные комплексные поверхности , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фолге., т. 3. Фолге. 4, Шпрингер-Верлаг, Берлин, номер номера : 10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN 978-3-540-00832-3, МР  2030225
• Бовиль, Арно (1996), Комплексные алгебраические поверхности , Студенческие тексты Лондонского математического общества, т. 34 (2-е изд.), Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511623936, ISBN 978-0-521-49510-3, МР  1406314
• Edge, WL (1931), Теория линейчатых поверхностей, Cambridge University Press – через интернет-архив. Обзор: Бюллетень Американского математического общества 37 (1931), 791-793, doi :10.1090/S0002-9904-1931-05248-4
• Фукс, Д.; Табачников, Серж (2007), «16.5 Не существует неплоских трижды линейчатых поверхностей», Математический омнибус: Тридцать лекций по классической математике, Американское математическое общество, стр. 228, ISBN 9780821843161.
• Ли, Та-цзянь, ред. (2011), Проблемы и решения по математике, 3103 (2-е изд.), World Scientific Publishing Company , ISBN 9789810234805.
• Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, ISBN 978-0-8284-1087-8.
• Исковских, В.А. (2001) [1994], "Линейчатая поверхность", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Шарп, Джон (2008), D-формы: удивительные новые трехмерные формы из плоских изогнутых фигур , Тарквиний, ISBN 978-1-899618-87-3. Обзор: Séquin, Carlo H. (2009), Journal of Mathematics and the Arts 3: 229–230, doi :10.1080/17513470903332913

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Линейчатая поверхность». MathWorld .
• Фотографии линейчатой ​​поверхности из Университета Аризоны
• Примеры развертываемых поверхностей на сайте Rhino3DE