Двухточечный тензор

Двухточечные тензоры , или двойные векторы , являются тензороподобными величинами, которые преобразуются как евклидовы векторы относительно каждого из своих индексов. Они используются в механике сплошной среды для преобразования между опорными («материальными») и настоящими («конфигурационными») координатами. ^[1] Примерами являются градиент деформации и первый тензор напряжений Пиолы–Кирхгофа .

Как и во многих приложениях тензоров, часто используется нотация суммирования Эйнштейна . Для пояснения этой нотации часто используются заглавные индексы для указания опорных координат и строчные для текущих координат. Таким образом, двухточечный тензор будет иметь один заглавный и один строчный индекс; например, A _jM .

Механика сплошной среды

Обычный тензор можно рассматривать как преобразование векторов в одной системе координат в другие векторы в той же системе координат. Напротив, двухточечный тензор преобразует векторы из одной системы координат в другую. То есть, обычный тензор,

${\displaystyle \mathbf {Q} =Q_{pq}(\mathbf {e} _{p}\otimes \mathbf {e} _{q})}$,

активно преобразует вектор u в вектор v таким образом, что

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {Q} \mathbf {u} }$

где v и u измеряются в одном и том же пространстве, а их координаты представлены относительно одного и того же базиса (обозначаемого « e »).

Напротив, двухточечный тензор G будет записан как

${\displaystyle \mathbf {G} =G_{pq}(\mathbf {e} _{p}\otimes \mathbf {E} _{q})}$

и преобразует вектор U в системе E в вектор v в системе e следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {GU} }$.

Закон преобразования для двухточечного тензора

Предположим, что у нас есть две системы координат, одна со штрихом, другая без штриха, и компоненты векторов преобразуются между ними следующим образом:

${\displaystyle v'_{p}=Q_{pq}v_{q}}$.

Для тензоров предположим, что мы имеем

${\displaystyle T_{pq}(e_{p}\otimes e_{q})}$.

Тензор в системе . В другой системе пусть тот же тензор задан как ${\displaystyle e_{i}}$

${\displaystyle T'_{pq}(e'_{p}\otimes e'_{q})}$.

Мы можем сказать

${\displaystyle T'_{ij}=Q_{ip}Q_{jr}T_{pr}}$.

Затем

${\displaystyle T'=QTQ^{\mathsf {T}}}$

является рутинным тензорным преобразованием. Но двухточечный тензор между этими системами — это просто

${\displaystyle F_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q})}$

который преобразуется как

${\displaystyle F'=QF}$.

Простой пример

Самый обыденный пример двухточечного тензора — это тензор преобразования, Q в приведенном выше обсуждении. Обратите внимание, что

${\displaystyle v'_{p}=Q_{pq}u_{q}}$.

Теперь, записывая полностью,

${\displaystyle u=u_{q}e_{q}}$

а также

${\displaystyle v=v'_{p}e'_{p}}$.

Тогда это требует, чтобы Q имело форму

${\displaystyle Q_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q})}$.

По определению тензорного произведения ,

Итак, мы можем написать

${\displaystyle u_{p}e_{p}=(Q_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q}))(v_{q}e_{q})}$

Таким образом

${\displaystyle u_{p}e_{p}=Q_{pq}v_{q}(e'_{p}\otimes e_{q})e_{q}}$

Включая ( 1 ), имеем

${\displaystyle u_{p}e_{p}=Q_{pq}v_{q}e_{p}}$.

Смотрите также

• Смешанный тензор
• Ковариантность и контравариантность векторов

Ссылки

1. Хамфри, Джей Д. Механика твердого тела в сердечно-сосудистой системе: клетки, ткани и органы. Springer Verlag, 2002.

Внешние ссылки

• Математические основы упругости Джерролд Э. Марсден, Томас Дж. Р. Хьюз
• Двухточечные тензоры в iMechanica