Гипотеза Полиньяка

В теории чисел гипотеза Полиньяка была высказана Альфонсом де Полиньяком в 1849 году и гласит: ^[1]

Для любого положительного четного числа n существует бесконечно много простых пробелов размера n . Другими словами: существует бесконечно много случаев двух последовательных простых чисел с разницей n . ^[2]

Хотя эта гипотеза еще не была доказана или опровергнута ни для одного заданного значения n , в 2013 году важный прорыв был сделан Итаном Чжаном, который доказал, что существует бесконечно много простых пробелов размера n для некоторого значения n < 70 000 000. ^{[3] [4]} Позже в том же году Джеймс Мейнард объявил о соответствующем прорыве, который доказал, что существует бесконечно много простых пробелов некоторого размера, меньшего или равного 600. ^[5] По состоянию на 14 апреля 2014 года, через год после заявления Чжана. , согласно вики-проекту Polymath , n было уменьшено до 246. ^[6] Далее, приняв гипотезу Эллиотта-Хальберштама и ее обобщенную форму, вики-сайт проекта Polymath утверждает, что n сократилось до 12 и 6 соответственно. ^[7]

Для n = 2 это гипотеза о простых числах-близнецах . Для n = 4 говорится, что существует бесконечно много двоюродных простых чисел ( p ,  p  + 4). Для n  = 6 говорится, что существует бесконечно много сексуальных простых чисел ( p ,  p  + 6) без простых чисел между p и  p  + 6.

Гипотеза Диксона обобщает гипотезу Полиньяка на все простые созвездия.

Предполагаемая плотность

Пусть для четного n будет число простых пробелов размера n ниже x . ${\displaystyle \pi _{n}(x)}$

Первая гипотеза Харди – Литтлвуда гласит, что асимптотическая плотность имеет вид

${\displaystyle \pi _{n}(x)\sim 2C_{n}{\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\sim 2C_{n}\int _{2}^{x}{dt \over (\ln t)^{2}}}$

где C _n является функцией n и означает, что частное двух выражений стремится к 1, когда x приближается к бесконечности. ^[8] ${\displaystyle \sim }$

C ₂ — константа простого числа-близнеца

${\displaystyle C_{2}=\prod _{p\geq 3}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2}}}\approx 0.660161815846869573927812110014\dots }$

где произведение распространяется на все простые числа p ≥ 3.

C _n — это C ₂ , умноженный на число, которое зависит от нечетных простых множителей q числа n :

${\displaystyle C_{n}=C_{2}\prod _{q|n}{\frac {q-1}{q-2}}.}$

Например, C ₄ = C ₂ и C ₆ = 2 C ₂ . Простые числа-близнецы имеют ту же предполагаемую плотность, что и простые двоюродные числа, и вдвое меньше, чем сексуальные простые числа.

Обратите внимание, что каждый нечетный простой делитель q числа n увеличивает предполагаемую плотность по сравнению с простыми числами-близнецами в . Далее следует эвристический аргумент . Он основан на некоторых недоказанных предположениях, поэтому вывод остается гипотезой. Вероятность того, что случайное нечетное простое число q будет делить либо a , либо a + 2 в случайной «потенциальной» паре простых чисел-близнецов, равна , поскольку q делит одно из чисел q от a до a  +  q  − 1. Теперь предположим, что q делит n , и рассмотрим потенциальная простая пара ( a ,  a  +  n ). q  делит a  +  n тогда и только тогда, когда q делит a , и вероятность этого равна . Вероятность того, что ( a ,  a  +  n ) не содержит фактора q , деленная на вероятность того, что ( a , a  +  2 ) не содержит q , затем делится на . Это равно тому, что переходит в предполагаемую простую плотность. В случае n  = 6 аргумент упрощается до: Если a — случайное число, то 3 имеет шанс 2/3 разделить a или a  + 2, но только шанс 1/3 разделить a и a  + 6, поэтому Предполагается, что последняя пара будет в два раза более простой. ${\displaystyle {\tfrac {q-1}{q-2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{q}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{q}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {q-1}{q}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {q-2}{q}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {q-1}{q-2}}}$

Примечания

1. де Полиньяк, А. (1849). «Recherches nouvelles sur les nombres premiers» [Новое исследование простых чисел]. Comptes rendus (на французском языке). 29 : 397–401. Из стр. 400: «1 ^er Theorème. Tout nombre пары est égal à la différence de deux nombres premiers consécutifs d'une infinité de manières…» (1-я теорема. Каждое четное число равно разнице двух последовательных простых чисел в бесконечном числе способы... )
2. Таттерсолл, Дж. Дж. (2005), Элементарная теория чисел в девяти главах, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-85014-8, п. 112
3. Чжан, Итан (2014). «Ограниченные промежутки между простыми числами». Анналы математики . 179 (3): 1121–1174. дои : 10.4007/анналы.2014.179.3.7 . МР  3171761. Збл  1290.11128. (требуется подписка)
4. Кларрайх, Эрика (19 мая 2013 г.). «Неожиданный математик устраняет главный разрыв». Новости науки Саймонса . Проверено 21 мая 2013 г.
5. Ожеро, Бенджамин (15 января 2014 г.). «Старая математическая головоломка, которую скоро предстоит разгадать?». Физика.орг . Проверено 10 февраля 2014 г.
6. «Ограниченные промежутки между простыми числами». Полимат . Проверено 27 марта 2014 г.
7. «Ограниченные промежутки между простыми числами». Полимат . Проверено 21 февраля 2014 г.
8. Бейтман, Пол Т .; Даймонд, Гарольд Г. (2004), Аналитическая теория чисел , World Scientific, стр. 313, ISBN 981-256-080-7, Збл  1074.11001.

Рекомендации

• Альфонс де Полиньяк, «Новые поиски премьер-министров». Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences (1849)
• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза де Полиньяка». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза k-кортежа». Математический мир .