Длина Дебая

Мера электростатического эффекта и как долго он сохраняется

В плазме и электролитах длина Дебая ( радиус Дебая или экранирующая длина Дебая-Хюккеля ) является мерой чистого электростатического эффекта носителя заряда в растворе и того, насколько сохраняется его электростатический эффект. ^[1] С каждой длиной Дебая заряды все больше экранируются электрически , а электрический потенциал уменьшается по величине на 1/ e . Сфера Дебая представляет собой объем, радиус которого равен длине Дебая. Длина Дебая является важным параметром в физике плазмы , электролитах и ​​коллоидах ( теория ДЛФО ). Соответствующий волновой вектор экранирования Дебая для частиц плотности , заряда при температуре задается в гауссовых единицах . Выражения в единицах МКС будут приведены ниже. Аналогичные величины при очень низких температурах ( ) известны как длина Томаса-Ферми и волновой вектор Томаса-Ферми. Они представляют интерес для описания поведения электронов в металлах при комнатной температуре. ${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}}$ ${\displaystyle k_{\rm {D}}=1/\lambda _{\rm {D}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle k_{\rm {D}}^{2}=4\pi nq^{2}/(k_{\rm {B}}T)}$ ${\displaystyle T\to 0}$

Длина Дебая названа в честь голландско-американского физика и химика Питера Дебая (1884–1966), лауреата Нобелевской премии по химии.

Физическое происхождение

Длина Дебая естественным образом возникает при термодинамическом описании больших систем подвижных зарядов. В системе различных видов зарядов -ый вид несет заряд и имеет концентрацию в положении . Согласно так называемой «примитивной модели», эти заряды распределены в непрерывной среде, которая характеризуется только своей относительной статической диэлектрической проницаемостью , . Такое распределение зарядов внутри этой среды приводит к возникновению электрического потенциала , который удовлетворяет уравнению Пуассона : где , — электрическая постоянная , а — плотность заряда, внешняя (логически, а не пространственно) по отношению к среде. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle q_{j}}$ ${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$ $${\displaystyle \varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}\,n_{j}(\mathbf {r} )-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} ),}$$ ${\displaystyle \varepsilon \equiv \varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \rho _{\rm {ext}}}$

Подвижные заряды не только способствуют установлению, но и движутся в ответ на связанную с ними силу Кулона , . Если мы далее предположим, что система находится в термодинамическом равновесии с термостатом при абсолютной температуре , то концентрации дискретных зарядов , , можно считать термодинамическими (ансамблевыми) средними, а связанный электрический потенциал - термодинамическим средним полем . При этих предположениях концентрация -го вида заряда описывается распределением Больцмана , где - постоянная Больцмана и где - средняя концентрация зарядов видов . ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle -q_{j}\,\nabla \Phi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle j}$ $${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )=n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right),}$$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$ ${\displaystyle n_{j}^{0}}$ ${\displaystyle j}$

Отождествление мгновенных концентраций и потенциала в уравнении Пуассона с их аналогами среднего поля в распределении Больцмана дает уравнение Пуассона–Больцмана : $${\displaystyle \varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right)-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} ).}$$

Решения этого нелинейного уравнения известны для некоторых простых систем. Решения для более общих систем могут быть получены в пределе высокой температуры (слабой связи), путем Тейлора, расширяющего экспоненту: ${\displaystyle q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )\ll k_{\rm {B}}T}$ $${\displaystyle \exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right)\approx 1-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}.}$$

Это приближение дает линеаризованное уравнение Пуассона–Больцмана , которое также известно как уравнение Дебая–Хюккеля : ^{[2] [3] [4] [5] [6]} Второй член в правой части исчезает для систем, которые электрически нейтральны. Член в скобках, деленный на , имеет единицы обратной длины в квадрате и с помощью размерного анализа приводит к определению характерного масштаба длины , который обычно называют длиной Дебая–Хюккеля. Как единственный характерный масштаб длины в уравнении Дебая–Хюккеля, задает масштаб для изменений потенциала и концентраций заряженных частиц. Все заряженные частицы вносят одинаковый вклад в длину Дебая–Хюккеля, независимо от знака их зарядов. Для электрически нейтральной системы уравнение Пуассона принимает вид Для иллюстрации экранирования Дебая потенциал, создаваемый внешним точечным зарядом , имеет вид: Голый кулоновский потенциал экспоненциально экранируется средой на расстоянии длины Дебая: это называется экранированием Дебая или экранированием ( эффект экранирования ). $${\displaystyle \varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{N}{\frac {n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}{k_{\rm {B}}T}}\right)\,\Phi (\mathbf {r} )-\,\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}q_{j}-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}$$ ${\displaystyle \varepsilon }$ $${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}=\left({\frac {\varepsilon \,k_{\rm {B}}T}{\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}}\right)^{1/2}}$$ ${\displaystyle \lambda _{D}}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\lambda _{\rm {D}}^{-2}\Phi (\mathbf {r} )-{\frac {\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}{\varepsilon }}}$$ ${\displaystyle \rho _{\rm {ext}}=Q\delta (\mathbf {r} )}$ $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon r}}e^{-r/\lambda _{\rm {D}}}}$$

Длина Дебая-Хюккеля может быть выражена через длину Бьеррума следующим образом: где — целое число заряда , связывающее заряд -го ионного вида с элементарным зарядом . ${\displaystyle \lambda _{\rm {B}}}$ $${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}=\left(4\pi \,\lambda _{\rm {B}}\,\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,z_{j}^{2}\right)^{-1/2},}$$ ${\displaystyle z_{j}=q_{j}/e}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle e}$

В плазме

Для слабостолкновительной плазмы дебаевское экранирование можно ввести очень интуитивно, приняв во внимание гранулярный характер такой плазмы. Представим себе сферу вокруг одного из ее электронов и сравним число электронов, пересекающих эту сферу с кулоновским отталкиванием и без него. При отталкивании это число меньше. Поэтому, согласно теореме Гаусса, кажущийся заряд первого электрона меньше, чем при отсутствии отталкивания. Чем больше радиус сферы, тем больше число отклоненных электронов и тем меньше кажущийся заряд: это дебаевское экранирование. Поскольку глобальное отклонение частиц включает в себя вклады многих других, плотность электронов не меняется, в отличие от экранирования, работающего рядом с зондом Ленгмюра ( дебаевская оболочка ). Ионы вносят аналогичный вклад в экранирование из-за притягивающего кулоновского отклонения зарядов с противоположными знаками.

Эта интуитивная картина приводит к эффективному расчету экранирования Дебая (см. раздел II.A.2 из ^[7] ). Предположение о распределении Больцмана не является необходимым в этом расчете: оно работает для любой функции распределения частиц. Расчет также избегает аппроксимации слабостолкновительной плазмы как сплошной среды. Расчет N-тел показывает, что голое кулоновское ускорение частицы другой частицей изменяется за счет вклада, опосредованного всеми другими частицами, сигнатуры экранирования Дебая (см. раздел 8 из ^[8] ). При старте со случайных положений частиц типичный масштаб времени для установления экранирования - это время, за которое тепловая частица пересекает длину Дебая, т. е. величину, обратную плазменной частоте. Поэтому в слабостолкновительной плазме столкновения играют существенную роль, привнося кооперативный процесс самоорганизации: экранирование Дебая. Это экранирование важно для получения конечного коэффициента диффузии при расчете кулоновского рассеяния ( кулоновского столкновения ).

В неизотермической плазме температуры электронов и тяжелых частиц могут различаться, в то время как фоновую среду можно рассматривать как вакуум ( ), ${\displaystyle \varepsilon _{r}=1}$ а длина Дебая равна , где $${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}/q_{e}^{2}}{n_{e}/T_{e}+\sum _{j}z_{j}^{2}n_{j}/T_{j}}}}}$$

• λ _D — длина Дебая,
• ε ₀ — диэлектрическая проницаемость свободного пространства ,
• k _B — постоянная Больцмана ,
• q _e — заряд электрона ,
• T _e и T _i — температуры электронов и ионов соответственно,
• n _e — плотность электронов,
• n _j — плотность атомного вида j с положительным ионным зарядом z _j q _e

Даже в квазинейтральной холодной плазме, где вклад ионов фактически кажется большим из-за более низкой температуры ионов, ионный член на самом деле часто опускается, давая, хотя это справедливо только тогда, когда подвижность ионов пренебрежимо мала по сравнению с временной шкалой процесса. ^[9] $${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}T_{e}}{n_{e}q_{e}^{2}}}}}$$

Типичные значения

В космической плазме, где плотность электронов относительно низкая, длина Дебая может достигать макроскопических значений, например, в магнитосфере, солнечном ветре, межзвездной среде и межгалактической среде. См. таблицу ниже: ^[10]

В растворе электролита

В электролите или коллоидной суспензии длина Дебая ^{[11] [12] [13]} для одновалентного электролита обычно обозначается символом κ ⁻¹ $${\displaystyle \kappa ^{-1}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{\rm {r}}\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}T}{2e^{2}I}}}}$$

где

• I – ионная сила электролита в единицах числа/м ³ ,
• ε ₀ — диэлектрическая проницаемость свободного пространства ,
• ε _r — диэлектрическая проницаемость ,
• k _B — постоянная Больцмана ,
• T — абсолютная температура в градусах Кельвина ,
• ${\displaystyle e}$это элементарный заряд ,

или, для симметричного одновалентного электролита, где $${\displaystyle \kappa ^{-1}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{\rm {r}}\varepsilon _{0}RT}{2\times 10^{3}F^{2}C_{0}}}}}$$

• R — газовая постоянная ,
• F — постоянная Фарадея ,
• C0 _— концентрация электролита в молярных единицах (М или моль/л).

Альтернативно, где — длина Бьеррума среды в нм, а коэффициент выводится путем преобразования единицы объема из кубических дм в кубические нм. $${\displaystyle \kappa ^{-1}={\frac {1}{\sqrt {8\pi \lambda _{\rm {B}}N_{\rm {A}}\times 10^{-24}I}}}}$$ ${\displaystyle \lambda _{\rm {B}}}$ ${\displaystyle 10^{-24}}$

Для деионизированной воды при комнатной температуре, при pH=7, λ _B ≈ 1 мкм.

При комнатной температуре (20 °C или 70 °F) в воде можно рассмотреть соотношение: ^[14] где $${\displaystyle \kappa ^{-1}(\mathrm {nm} )={\frac {0.304}{\sqrt {I(\mathrm {M} )}}}}$$

• κ ⁻¹ выражается в нанометрах (нм)
• I — ионная сила, выраженная в молях (М или моль/л)

Существует метод оценки приблизительного значения длины Дебая в жидкостях с использованием проводимости, который описан в стандарте ISO ^[11] и книге ^{[12] .}

В полупроводниках

Длина Дебая становится все более значимой при моделировании твердотельных устройств, поскольку усовершенствования в литографических технологиях позволяют создавать более мелкие геометрии. ^{[15] [16] [17]}

Длина Дебая полупроводников определяется как: где $${\displaystyle L_{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon k_{\rm {B}}T}{q^{2}N_{\rm {dop}}}}}}$$

• ε — диэлектрическая проницаемость,
• k _B — постоянная Больцмана,
• T — абсолютная температура в градусах Кельвина,
• q — элементарный заряд, а
• N _dop — чистая плотность легирующих примесей (доноров или акцепторов).

Когда профили легирования превышают длину Дебая, основные носители больше не ведут себя в соответствии с распределением легирующих примесей. Вместо этого измерение профиля градиентов легирования обеспечивает «эффективный» профиль, который лучше соответствует профилю плотности основных носителей.

В контексте твердых тел вместо длины Дебая может потребоваться длина экранирования Томаса–Ферми .

Смотрите также

• Длина Бьеррума
• Эффект Дебая–Фалькенхагена
• Плазменные колебания
• Эффект экранирования
• Эффект экранирования

Ссылки

1. Дебай, П.; Хюкель, Э. (2019) [1923]. «Zur Theorie der Elektrolyte. I. Gefrierpunktserniedrigung und verwandte Erscheinungen» [Теория электролитов. I. Депрессия точки замерзания и связанное с ней явление. Physikalische Zeitschrift . 24 (9). Перевод Брауса, Майкла Дж.: 185–206.
2. Кирби, Б. Дж. (2010). Микро- и наномасштабная механика жидкости: транспорт в микрожидкостных устройствах . Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11903-0.
3. Ли, Д. (2004). Электрокинетика в микрофлюидике . Academic Press. ISBN 0-12-088444-5.
4. PC Clemmow & JP Dougherty (1969). Электродинамика частиц и плазмы. Redwood City CA: Addison-Wesley . стр. § 7.6.7, стр. 236 и далее. ISBN 978-0-201-47986-7.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
5. RA Robinson & RH Stokes (2002). Растворы электролитов. Mineola, NY: Dover Publications . стр. 76. ISBN 978-0-486-42225-1.
6. См. Brydges, David C.; Martin, Ph. A. (1999). «Coulomb Systems at Low Density: A Review» (Системы Кулона при низкой плотности: обзор). Journal of Statistical Physics . 96 (5/6): 1163–1330. arXiv : cond-mat/9904122 . Bibcode :1999JSP....96.1163B. doi :10.1023/A:1004600603161. S2CID  54979869.
7. Мейер-Верне Н (1993) Аспекты экранирования Дебая. Американский журнал физики 61, 249-257
8. Эсканд, ДФ, Бенисти, Д., Элскенс, И., Зарзосо, Д. и Довейл, Ф. (2018). Базовая физика микроскопической плазмы из механики N-тел, Дань уважения Пьеру-Симону де Лапласу, Обзоры современной физики плазмы, 2, 1-68
9. IH Hutchinson Принципы диагностики плазмы ISBN 0-521-38583-0 
10. Кип Торн (2012). "Глава 20: Кинетика частиц плазмы" (PDF) . Приложения классической физики . Получено 7 сентября 2017 г.
11. Международный стандарт ISO 13099-1, 2012, «Коллоидные системы. Методы определения дзета-потенциала. Часть 1. Электроакустические и электрокинетические явления»
12. Духин, АС; Гетц, П.Дж. (2017). Характеристика жидкостей, нано- и микрочастиц и пористых тел с использованием ультразвука . Elsevier. ISBN 978-0-444-63908-0.
13. Рассел, У. Б.; Сэвилл, Д. А.; Шоуолтер, У. Р. (1989). Коллоидные дисперсии . Cambridge University Press. ISBN 0-521-42600-6.
14. Israelachvili, J. (1985). Межмолекулярные и поверхностные силы . Academic Press. ISBN 0-12-375181-0.
15. Stern, Eric; Robin Wagner; Fred J. Sigworth; Ronald Breaker; Tarek M. Fahmy; Mark A. Reed (2007-11-01). "Важность длины экранирования Дебая для датчиков на основе полевых транзисторов на основе нанопроволоки". Nano Letters . 7 (11): 3405–3409. Bibcode :2007NanoL...7.3405S. doi :10.1021/nl071792z. PMC 2713684 . PMID  17914853. 
16. Го, Линцзе; Эффенди Леобандунг; Стивен И. Чоу (199). «Комнатнотемпературная кремниевая одноэлектронная память металл-оксид-полупроводник с наноразмерным плавающим затвором и сверхузким каналом». Applied Physics Letters . 70 (7): 850. Bibcode : 1997ApPhL..70..850G. doi : 10.1063/1.118236.
17. Тивари, Сандип; Фархан Рана; Кевин Чан; Леатен Ши; Хусейн Ханафи (1996). «Эффекты одиночного заряда и ограничения в нанокристаллической памяти». Applied Physics Letters . 69 (9): 1232. Bibcode : 1996ApPhL..69.1232T. doi : 10.1063/1.117421.

Дальнейшее чтение

• Голдстон и Резерфорд (1997). Введение в физику плазмы . Филадельфия: Издательство Института физики .
• Lyklema (1993). Основы науки о границах раздела и коллоидах . NY: Academic Press .