Нонагон

Форма с девятью сторонами

В геометрии девятиугольник ( / ˈ n ɒ n ə ɡ ɒ n / ) или эннеагон ( / ˈ ɛ n i ə ɡ ɒ n / ) представляет собой девятисторонний многоугольник или 9-угольник.

Название нонагон — это префиксное гибридное образование , от латинского ( nonus , «девятый» + gonon ), используемое эквивалентно, засвидетельствованное уже в 16 веке во французском nonogone и в английском с 17 века. Название эннеагон происходит от греческого enneagonon (εννεα, «девять» + γωνον (от γωνία = «угол»)), и, возможно, более правильно, ^[1] хотя и менее распространено, чем «нонагон».

Правильный девятиугольник

Правильный девятиугольник представлен символом Шлефли {9} и имеет внутренние углы 140°. Площадь правильного девятиугольника со стороной длиной a определяется по формуле

${\displaystyle A={\frac {9}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{9}}=(9/2)ar=9r^{2}\tan(\pi /9)}$

${\displaystyle =(9/2)R^{2}\sin(2\pi /9)\simeq 6.18182\,a^{2},}$

где радиус r вписанной окружности правильного девятиугольника равен

${\displaystyle r=(a/2)\cot(\pi /9)}$

и где R — радиус описанной окружности :

${\displaystyle R={\sqrt {(a/2)^{2}+r^{2}}}=r\sec(\pi /9)=(a/2)\csc(\pi /9).}$

Строительство

Хотя правильный девятиугольник невозможно построить с помощью циркуля и линейки (поскольку 9 = 3 ² , что не является произведением различных простых чисел Ферма ), существуют очень старые методы построения, которые дают очень близкие приближения. ^[2]

Его также можно построить с помощью невзиса или допустив использование трисектора угла .

Нонагон, анимация из конструкции невзиса, основанной на трисекции угла 120° с помощью Томагавка , в конце 10-секундный перерыв

Нонагон, невсисовая конструкция, основанная на шестиугольнике с трисекцией угла по Архимеду ^[3]

Симметрия

Симметрии правильного девятиугольника. Вершины окрашены в соответствии с их позициями симметрии. Синие зеркала проведены через вершины, а фиолетовые зеркала — через ребра. Порядки вращения даны в центре.

Правильный девятиугольник имеет симметрию Dih ₉ порядка 18. Существует 2 подгруппы диэдральных симметрий: Dih ₃ и Dih ₁ , а также 3 циклические групповые симметрии: Z ₉ , Z ₃ и Z ₁ .

Эти 6 симметрий можно увидеть в 6 различных симметриях на девятиугольнике. Джон Конвей обозначает их буквой и порядком группы. ^[4] Полная симметрия правильной формы — r18 , и ни одна симметрия не обозначена как a1 . Диэдральные симметрии делятся в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров), и i , когда линии отражения проходят как через ребра, так и через вершины. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены как g для их центрального порядка инерции.

Каждая подгруппа симметрии допускает одну или несколько степеней свободы для нерегулярных форм. Только подгруппа g9 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные ребра .

Плитка

Правильный девятиугольник может заполнить евклидову мозаику пробелами. Эти пробелы могут быть заполнены правильными шестиугольниками и равнобедренными треугольниками. В нотации симметроэдра эта мозаика называется H(*;3;*;[2]), где H представляет *632 гексагональную симметрию на плоскости.

Графики

Полный граф K ₉ часто изображается как правильный девятиугольник со всеми 36 соединенными ребрами. Этот граф также представляет собой ортогональную проекцию 9 вершин и 36 ребер 8-симплекса .

Отсылки к поп-культуре

• У They Might Be Giants есть песня под названием «Nonagon» на их детском альбоме Here Come the 123s . Она относится как к участнику вечеринки, на которой «все участники вечеринки — многогранный многоугольник», так и к танцу, который они исполняют на этой вечеринке. ^[5]
• Логотип Slipknot также является версией девятиугольника — девятиконечной звезды, состоящей из трех треугольников, что указывает на девять участников группы.
• У King Gizzard & the Lizard Wizard есть альбом под названием « Nonagon Infinity », обложка альбома представляет собой девятиугольный полный граф. Альбом состоит из девяти песен и повторяется циклически.

Гарсу Гаудикле

Архитектура

Храмы Веры Бахаи , называемые Домами Поклонения Бахаи , должны быть девятиугольными.

Американская стальная башня представляет собой неправильный девятиугольник.

Гарсу Гаудикле в Литве.

Пальманова в Италии.

Смотрите также

• Эннеаграмма (нонаграмма)
• Трисекция угла 60°, построение Proximity

Ссылки

1. Вайсштейн, Эрик В. «Nonagon». MathWorld .
2. JL Berggren, «Эпизоды в математике средневекового ислама», стр. 82–85 Springer-Verlag New York, Inc. 1-е издание 1986 г., получено 11 декабря 2015 г.
3. Эрнст Биндель, Гельмут фон Кюгельген. «КЛАССИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА DES GRIECISCHENALTERTUMS IM MATHEMATIKUNTERRICHT DER OBERSTUFE» (PDF) . Erziehungskunst . Bund der Freien Waldorfschulen Deutschlands. стр. 234–237.Получено 14 июля 2019 г.
4. Джон Х. Конвей, Хайди Бергиль, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275-278) 
5. TMBW.net

Внешние ссылки

• Свойства девятиугольника (с интерактивной анимацией)