В проективной геометрии теорема Дезарга , названная в честь Жирара Дезарга , гласит:
Обозначим три вершины одного треугольника как a , b и c , а три вершины другого как A , B и C. Осевая перспектива означает, что прямые ab и AB пересекаются в одной точке, прямые ac и AC пересекаются во второй точке, а прямые bc и BC пересекаются в третьей точке, и что все эти три точки лежат на общей линии, называемой осью перспективы . Центральная перспектива означает , что три прямые Aa , Bb и Cc пересекаются в точке, называемой центром перспективы .
Эта теорема о пересечении верна в обычной евклидовой плоскости , но необходимо соблюдать особую осторожность в исключительных случаях, например, когда пара сторон параллельны, так что их «точка пересечения» удаляется в бесконечность. Обычно, чтобы устранить эти исключения, математики «дополняют» евклидову плоскость, добавляя точки в бесконечности, следуя Жану-Виктору Понселе . Это приводит к проективной плоскости .
Теорема Дезарга верна для вещественной проективной плоскости и для любого проективного пространства, определенного арифметически из поля или деления кольца ; включая любое проективное пространство размерности больше двух или в котором теорема Паппуса верна. Однако существует много « недезарговых плоскостей », в которых теорема Дезарга неверна.
Дезарг никогда не публиковал эту теорему, но она появилась в приложении под названием « Универсальный метод М. Дезарга для использования перспективы» ( Manière universelle de M. Desargues pour practiquer la perspective ) к практической книге по использованию перспективы, опубликованной в 1648 году [1] его другом и учеником Авраамом Боссом (1602–1676). [2]
Важность теоремы Дезарга в абстрактной проективной геометрии обусловлена, в частности, тем фактом, что проективное пространство удовлетворяет этой теореме тогда и только тогда, когда оно изоморфно проективному пространству, определенному над полем или телом.
В аффинном пространстве, таком как евклидова плоскость, аналогичное утверждение верно, но только если перечислить различные исключения, включающие параллельные прямые. Теорема Дезарга, таким образом, является одной из простейших геометрических теорем, естественным домом которой является проективное, а не аффинное пространство.
По определению, два треугольника перспективны тогда и только тогда, когда они находятся в перспективе по центру (или, что эквивалентно этой теореме, в перспективе по оси). Обратите внимание, что перспективные треугольники не обязательно должны быть подобны .
При стандартной двойственности плоской проективной геометрии (где точки соответствуют прямым, а коллинеарность точек соответствует параллельности прямых), утверждение теоремы Дезарга является самодвойственным: осевая перспективность переводится в центральную перспективность и наоборот. Конфигурация Дезарга (ниже) является самодвойственной конфигурацией. [3]
Эта самодвойственность в утверждении обусловлена обычным современным способом записи теоремы. Исторически теорема гласила только: «В проективном пространстве пара центрально-перспективных треугольников является аксиально-перспективной», а двойственное утверждение называлось обратным теоремой Дезарга и всегда упоминалось под этим именем. [4]
Теорема Дезарга верна для проективного пространства любой размерности над любым полем или телом, а также верна для абстрактных проективных пространств размерности не менее 3. В размерности 2 плоскости, для которых она верна, называются дезарговыми плоскостями и совпадают с плоскостями, которым можно задать координаты над телом. Существует также много недезарговых плоскостей , для которых теорема Дезарга не верна.
Теорема Дезарга верна для любого проективного пространства размерности не менее 3 и, в более общем смысле, для любого проективного пространства, которое может быть вложено в пространство размерности не менее 3.
Теорему Дезарга можно сформулировать следующим образом:
Точки A , B , a и b являются копланарными (лежат в одной плоскости) из-за предполагаемой параллельности Aa и Bb . Следовательно, прямые AB и ab принадлежат одной плоскости и должны пересекаться. Кроме того, если два треугольника лежат в разных плоскостях, то точка AB ∩ ab принадлежит обеим плоскостям. По симметричному аргументу точки AC ∩ ac и BC ∩ bc также существуют и принадлежат плоскостям обоих треугольников. Поскольку эти две плоскости пересекаются более чем в одной точке, их пересечение является линией, которая содержит все три точки.
Это доказывает теорему Дезарга, если два треугольника не лежат в одной плоскости. Если они лежат в одной плоскости, теорему Дезарга можно доказать, выбрав точку не в плоскости, используя ее для подъема треугольников из плоскости так, чтобы работало приведенное выше рассуждение, а затем спроецировав обратно в плоскость. Последний шаг доказательства не работает, если проективное пространство имеет размерность меньше 3, так как в этом случае невозможно найти точку не в плоскости.
Теорема Монжа также утверждает, что три точки лежат на одной прямой, и имеет доказательство, использующее ту же идею рассмотрения ее в трех, а не в двух измерениях и записи прямой в виде пересечения двух плоскостей.
Поскольку существуют недезарговы проективные плоскости , в которых теорема Дезарга неверна, [5] для ее доказательства необходимо выполнить некоторые дополнительные условия. Эти условия обычно принимают форму предположения о существовании достаточно большого количества коллинеаций определенного типа, что в свою очередь приводит к показу того, что базовая алгебраическая система координат должна быть кольцом деления (skewfield). [6]
Теорема Паппуса о шестиугольнике гласит, что если шестиугольник AbCaBc нарисован таким образом, что вершины a , b и c лежат на одной прямой, а вершины A , B и C лежат на второй прямой, то каждые две противоположные стороны шестиугольника лежат на двух прямых, которые встречаются в одной точке, и три точки, построенные таким образом, являются коллинеарными. Плоскость, в которой теорема Паппуса универсально верна, называется папповой . Хессенберг (1905) [7] показал, что теорема Дезарга может быть выведена из трех приложений теоремы Паппуса. [8]
Обратное этому результату неверно, то есть не все дезарговы плоскости являются папповыми. Универсальное удовлетворение теоремы Паппуса эквивалентно тому, что базовая система координат является коммутативной . Плоскость, определенная над некоммутативным телом (телом, которое не является полем), поэтому будет дезарговой, но не папповой. Однако из-за малой теоремы Веддерберна , которая утверждает, что все конечные тела являются полями, все конечные дезарговы плоскости являются папповыми. Нет известного полностью геометрического доказательства этого факта, хотя Бамберг и Пенттила (2015) приводят доказательство, которое использует только «элементарные» алгебраические факты (а не полную силу малой теоремы Веддерберна).
Десять прямых, участвующих в теореме Дезарга (шесть сторон треугольников, три прямые Aa , Bb и Cc и ось перспективы), и десять участвующих точек (шесть вершин, три точки пересечения на оси перспективы и центр перспективы) расположены таким образом, что каждая из десяти прямых проходит через три из десяти точек, и каждая из десяти точек лежит на трех из десяти прямых. Эти десять точек и десять прямых составляют конфигурацию Дезарга , пример проективной конфигурации . Хотя теорема Дезарга выбирает разные роли для этих десяти прямых и точек, сама конфигурация Дезарга более симметрична : любая из десяти точек может быть выбрана в качестве центра перспективы, и этот выбор определяет, какие шесть точек будут вершинами треугольников, а какая линия будет осью перспективы.
Эта ограниченная версия утверждает, что если два треугольника перспективны из точки на данной прямой, и две пары соответствующих сторон также пересекаются на этой прямой, то третья пара соответствующих сторон также пересекается на этой прямой. Таким образом, это специализация теоремы Дезарга только на случаи, в которых центр перспективности лежит на оси перспективности.
Плоскость Муфанг — это проективная плоскость, в которой малая теорема Дезарга верна для каждой прямой.