Область действия (логика)

Область применения квантификатора или связника в логической формуле

В логике областью действия квантификатора или связки является кратчайшая формула, в которой она встречается, ^[1] определяющая диапазон в формуле, к которому применяется квантификатор или связка. ^{[2] [3] [4]} Понятия свободной переменной и связанной переменной определяются в терминах того, находится ли эта формула в области действия квантификатора, ^{[2] [5]} а понятия доминирующей связки и подчиненной связки определяются в терминах того, включает ли связка другую в свою область действия . ^{[6] [7]}

Связующие

Областью логической связки, встречающейся в формуле, является наименьшая правильно построенная формула , которая содержит рассматриваемую связку. ^{[2] [6] [8]} Связка с наибольшей областью действия в формуле называется ее доминирующей связкой, ^{[9] [10]} главной связкой , ^{[6] [8] [7]} главным оператором , ^[2] главной связкой , ^[4] или главной связкой ; ^[4] связка, находящаяся в области действия другой связки, называется подчиненной ей. ^[6]

Например, в формуле доминирующей связкой является ↔, а все остальные связки подчиняются ей; → подчиняется ∨, но не ∧; первый ¬ также подчиняется ∨, но не →; второй ¬ подчиняется ∧, но не ∨ или →; и третий ¬ подчиняется второму ¬, а также ∧, но не ∨ или →. ^[6] Если для связок принят порядок старшинства , а именно, с применением ¬ первым, затем ∧ и ∨, затем → и, наконец, ↔, эта формула может быть записана в менее скобочной форме , которую некоторые могут посчитать более удобной для чтения. ^[6] ${\displaystyle (\left(\left(P\rightarrow Q\right)\lor \lnot Q\right)\leftrightarrow \left(\lnot \lnot P\land Q\right))}$ ${\displaystyle \left(P\rightarrow Q\right)\lor \lnot Q\leftrightarrow \lnot \lnot P\land Q}$

Квантификаторы

Область действия квантификатора — это часть логического выражения, над которой квантификатор осуществляет контроль. ^[3] Это самое короткое полное предложение ^[5], написанное сразу после квантификатора, ^{[3] [5]} часто в скобках; ^[3] некоторые авторы ^[11] описывают это как включение переменной, написанной сразу после универсального или экзистенциального квантификатора. В формуле ∀ xP , например, P ^[5] (или xP ) ^[11] — это область действия квантификатора ∀ x ^[5] (или ∀ ). ^[11]

Это приводит к следующим определениям: ^[a]

• Вхождение квантификатора или , за которым сразу следует вхождение переменной , как в или , называется -связывающим. ^{[1] [5]} ${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \forall \xi }$ ${\displaystyle \exists \xi }$ ${\displaystyle \xi }$
• Вхождение переменной в формулу является свободным в тогда и только тогда, когда она не входит в область действия любого квантификатора связывания в ; в противном случае она связана в . ^{[1] [5]} ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$
• Закрытая формула — это формула, в которой ни одна переменная не встречается в свободном виде; формула, которая не является закрытой, является открытой . ^{[12] [1]}
• Вхождение квантификатора или является пустым тогда и только тогда, когда его областью действия является или , и переменная не встречается свободно в . ^[1] ${\displaystyle \forall \xi }$ ${\displaystyle \exists \xi }$ ${\displaystyle \forall \xi \psi }$ ${\displaystyle \exists \xi \psi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \psi }$
• Переменная свободна для переменной тогда и только тогда, когда никакие свободные вхождения не лежат в области квантификации по . ^[12] ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \zeta }$
• Говорят, что квантификатор, область действия которого содержит другой квантификатор, имеет более широкую область действия , чем второй, который, в свою очередь, имеет более узкую область действия, чем первый. ^[13]

Смотрите также

• Ошибка модального охвата
• Форма пренекса
• Глоссарий логики
• Свободные переменные и связанные переменные
• Открытая формула

Примечания

1. Эти определения следуют общепринятой практике использования греческих букв в качестве металогических символов, которые могут обозначать символы в формальном языке для пропозициональной или предикатной логики . В частности, и используются для обозначения любых формул , тогда как и используются для обозначения пропозициональных переменных . ^[1] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \zeta }$

Ссылки

1. Bostock, David (1997). Промежуточная логика . Oxford: New York: Clarendon Press; Oxford University Press. стр. 8, 79. ISBN 978-0-19-875141-0.
2. Кук, Рой Т. (20 марта 2009 г.). Словарь философской логики. Издательство Эдинбургского университета. С. 99, 180, 254. ISBN 978-0-7486-3197-1.
3. Рич, Элейн; Клайн, Алан Кейлор. Область действия квантификатора.
4. Makridis, Odysseus (21 февраля 2022 г.). Symbolic Logic. Springer Nature. стр. 93–95. ISBN 978-3-030-67396-3.
5. "3.3.2: Область действия квантификатора, связанные переменные и свободные переменные". Humanities LibreTexts . 21 января 2017 г. . Получено 10 июня 2024 г. .
6. Леммон, Эдвард Джон (1998). Начало логики . Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC. стр. 45–48. ISBN 978-0-412-38090-7.
7. Gillon, Brendan S. (12 марта 2019 г.). Семантика естественного языка: формирование и оценка. MIT Press. стр. 250–253. ISBN 978-0-262-03920-8.
8. "Примеры | Заметки по логике - ANU". users.cecs.anu.edu.au . Получено 10 июня 2024 г. .
9. Suppes, Patrick; Hill, Shirley (30 апреля 2012 г.). Первый курс математической логики. Courier Corporation. стр. 23–26. ISBN 978-0-486-15094-9.
10. Кирк, Донна (22 марта 2023 г.). «2.2. Составные выражения». Contemporary Mathematics. OpenStax.
11. Bell, John L. ; Machover, Moshé (15 апреля 2007 г.). "Глава 1. Начало математической логики". Курс математической логики . Elsevier Science Ltd. стр. 17. ISBN 978-0-7204-2844-5.
12. Uzquiano, Gabriel (2022), «Квантификаторы и квантификация», в Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (ред.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (зимнее издание 2022 г.), Metaphysics Research Lab, Stanford University , получено 10 июня 2024 г.
13. Аллен, Колин; Хэнд, Майкл (2001). Учебник логики (2-е изд.). Кембридж, Массачусетс: MIT Press. стр. 66. ISBN 978-0-262-51126-1.