Десятилетие (логарифмическая шкала)

Блок измерения соотношений в логарифмической шкале

Четыре степени числа 10, охватывающие диапазон в три десятилетия: 1, 10, 100, 1000 (10 ⁰ , 10 ¹ , 10 ² , 10 ³ )

Четыре сетки, охватывающие три десятилетия разрешения: тысяча 0,001 с, сто 0,01 с, десять 0,1 с, одна 1.

Одна декада (символ dec ^[1] ) — это единица измерения отношений в логарифмической шкале , причем одна декада соответствует отношению двух чисел, равному 10. ^[2]

Пример: Научное обозначение

Когда действительное число, такое как 0,007, обозначается альтернативно через 7,0 × 10-3, ^тогда говорят, что число представлено в научной записи . В более общем смысле, записать число в форме a × 10 ^b , где 1 <= a < 10 и b — целое число , означает выразить его в научной записи , а a называется мантиссой или мантиссой , а b — его экспонента . ^[3] Числа, выразимые таким образом с показателем степени, равным b , охватывают одно десятилетие, от ${\displaystyle 10^{b}\ \ {\text{to}}\ \ 10^{b+1}.}$

Измерение частоты

Десятилетия особенно полезны при описании частотных характеристик электронных систем , таких как усилители звука и фильтры . ^{[4] [5]}

Расчеты

Коэффициент десяти в десятилетии может быть в любом направлении: поэтому одно десятилетие вверх от 100  Гц составляет 1000 Гц, а одно десятилетие вниз составляет 10 Гц. Важен коэффициент десяти, а не используемая единица измерения, поэтому 3,14  рад / с на одно десятилетие меньше, чем 31,4 рад/с.

Чтобы определить количество декад между двумя частотами ( & ), используйте логарифм отношения двух значений: ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$

• ${\displaystyle \log _{10}(f_{2}/f_{1})}$десятилетия ^{[4] [5]}

или, используя натуральные логарифмы :

• ${\displaystyle \ln f_{2}-\ln f_{1} \over \ln 10}$десятилетия ^[6]

Сколько десятилетий проходит от 15 рад/с до 150 000 рад/с?

${\displaystyle \log _{10}(150000/15)=4}$десятилетия

Сколько десятков лет от 3,2 ГГц до 4,7 МГц?

${\displaystyle \log _{10}(4.7\times 10^{6}/3.2\times 10^{9})=-2.83}$десятилетия

Сколько десятилетий составляет одна октава ?

Одна октава кратна 2, поэтому декады на октаву (декада = только большая треть + три октавы, 10/1 ( Play ^ⓘ ) = 5/4) ${\displaystyle \log _{10}(2)=0.301}$

Чтобы узнать, какая частота находится на определенное количество декад от исходной частоты, умножьте на соответствующие степени 10:

Что на 3 десятилетия ниже 220 Гц?

${\displaystyle 220\times 10^{-3}=0.22}$Гц

Что такое 1,5 десятилетия по сравнению с 10 Гц?

${\displaystyle 10\times 10^{1.5}=316.23}$Гц

Чтобы узнать размер шага для определенного количества частот за декаду, возведите 10 в степень, обратную количеству шагов:

Каков размер шага для 30 шагов за десятилетие?

${\displaystyle 10^{1/30}=1.079775}$– или каждый шаг на 7,9775% больше предыдущего.

Графическое представление и анализ

Декады в логарифмическом масштабе, а не единичные шаги (шаги 1) или другой линейной шкале, обычно используются на горизонтальной оси при представлении частотной характеристики электронных схем в графической форме, например, на графиках Боде , поскольку изображают большие диапазоны частот. в линейном масштабе часто непрактично. Например, аудиоусилитель обычно имеет полосу частот от 20 Гц до 20 кГц, и представление всей полосы в десятичной шкале очень удобно. Обычно график такого представления начинается с 1 Гц (10 ⁰ ) и поднимается, возможно, до 100 кГц (10 ⁵ ), чтобы удобно включить всю звуковую полосу в миллиметровую бумагу стандартного размера , как показано ниже. В то время как на том же расстоянии в линейной шкале с основным размером шага 10 вы можете получить только значения от 0 до 50.

График Боде , показывающий концепцию десятилетия: каждое крупное деление на горизонтальной оси соответствует одному десятилетию.

Электронные частотные характеристики часто описываются в единицах «за десятилетие». Пример графика Боде показывает наклон полосы задерживания -20  дБ /декада, что означает, что при каждом десятикратном увеличении частоты (переходе от 10 рад/с до 100 рад/с на рисунке) коэффициент усиления уменьшается. на 20 дБ.

Смотрите также

• Одна треть октавы
• Уровень частоты
• Октава
• Савар
• Порядок величины

Рекомендации

1. ISO 80000-3: 2006 Величины и единицы измерения. Пространство и время.
2. «Десятилетие, коэффициент, кратный или соотношение 10», Эндрю Баттерфилд и Джон Шимански (2018) Словарь по электронике и электротехнике , пятое издание, Oxford University Press , ISBN  9780191792717
3. «Различия в шкале порядка величины могут измеряться в «десятилетиях» или «десятикратных факторах». Значимые цифры и порядок величины на lumenlearning.com
4. Левин, Уильям С. (2010). Справочник по управлению: Основы системы управления , с. 9-29. ISBN 9781420073621 . 
5. Пердикарис, Г. (1991). Системы с компьютерным управлением: теория и приложения , стр.117. ISBN 9780792314226 . 
6. Дэвис, Дон и Патронис, Юджин (2012). Инженерия звуковых систем , стр.13. ISBN 9780240808307 .