Деление в столбик

Стандартный алгоритм деления многозначных чисел

В арифметике длинное деление — это стандартный алгоритм деления, подходящий для деления многозначных индо-арабских чисел ( позиционная нотация ), который достаточно прост для выполнения вручную. Он разбивает задачу деления на ряд более простых шагов.

Как и во всех задачах на деление, одно число, называемое делимым , делится на другое, называемое делителем , давая результат, называемый частным . Это позволяет выполнять вычисления с произвольно большими числами, следуя серии простых шагов. ^[1] Сокращенная форма длинного деления называется коротким делением , которое почти всегда используется вместо длинного деления, когда делитель состоит только из одной цифры.

История

Похожие алгоритмы существуют с 12-го века. ^[2] Аль-Самавал аль-Магриби (1125–1174) выполнял вычисления с десятичными числами, которые по сути требуют деления в столбик, что приводит к бесконечным десятичным результатам, но без формализации алгоритма. ^[3] Кальдрини (1491) является самым ранним печатным примером деления в столбик, известным как метод Данды в средневековой Италии, ^[4] и он стал более практичным с введением десятичной записи для дробей Питиском (1608). Конкретный алгоритм в современном использовании был введен Генри Бриггсом около 1600 года . ^[5]

Образование

Недорогие калькуляторы и компьютеры стали наиболее распространенным способом решения задач на деление, исключая традиционное математическое упражнение и уменьшая образовательные возможности показать, как это сделать с помощью бумаги и карандаша. (Внутри эти устройства используют один из множества алгоритмов деления , более быстрый из которых опирается на приближения и умножения для выполнения задач.) В Северной Америке деление в столбик было специально направлено на снижение акцента или даже исключение из школьной программы в результате реформы математики , хотя оно традиционно вводилось в 4-м, 5-м или даже 6-м классах. ^[6]

Метод

В англоязычных странах длинное деление не использует косую черту деления ⟨ ∕ ⟩ или знак деления ⟨÷⟩, а вместо этого создает таблицу . ^[7] Делитель отделяется от делимого правой скобкой ⟨ ) ⟩ или вертикальной чертой ⟨ | ⟩ ; делимое отделяется от частного чертой (т. е. чертой сверху ) . Сочетание этих двух символов иногда называют символом длинного деления или скобкой деления . ^[8] Он развился в 18 веке из более ранней однострочной записи, разделяющей делимое от частного левой скобкой . ^{[9] [10]}

Процесс начинается с деления самой левой цифры делимого на делитель. Частное (округленное до целого числа) становится первой цифрой результата, а остаток вычисляется (этот шаг обозначается как вычитание). Этот остаток переносится вперед, когда процесс повторяется для следующей цифры делимого (обозначается как «приведение» следующей цифры к остатку). Когда все цифры обработаны и не остается остатка, процесс завершается.

Ниже показан пример, представляющий деление 500 на 4 (с результатом 125).

  1 2 5 (Пояснения) 4)500 4 ( 4 × 1 = 4) 1 0 ( 5 – 4 = 1 ) 8 ( 4 × 2 = 8) 2 0 (10 – 8 = 2 ) 20 ( 4 × 5 = 20) 0 (20 - 20 = 0)

Пример деления столбиком без калькулятора.

Более подробная разбивка шагов выглядит следующим образом:

1. Найдите самую короткую последовательность цифр, начиная с левого конца делимого, 500, в которую делитель 4 входит хотя бы один раз. В этом случае это просто первая цифра, 5. Наибольшее число, на которое можно умножить делитель 4, не превысив 5, равно 1, поэтому цифра 1 ставится над 5, чтобы начать построение частного.
2. Затем 1 умножается на делитель 4, чтобы получить наибольшее целое число, кратное делителю 4, не превышающее 5 (в данном случае 4). Затем эта 4 помещается под 5 и вычитается из нее, чтобы получить остаток 1, который помещается под 4 под 5.
3. Затем первая, пока не использованная цифра делимого, в данном случае первая цифра 0 после 5, копируется непосредственно под себя и рядом с остатком 1, образуя число 10.
4. На этом этапе процесс повторяется достаточное количество раз, чтобы достичь точки остановки: наибольшее число, на которое можно умножить делитель 4, не превысив 10, равно 2, поэтому 2 записывается выше как вторая слева цифра частного. Затем эта 2 умножается на делитель 4, чтобы получить 8, который является наибольшим кратным 4, не превышающим 10; поэтому 8 записывается под 10, и выполняется вычитание 10 минус 8, чтобы получить остаток 2, который помещается под 8.
5. Следующая цифра делимого (последний 0 в числе 500) копируется непосредственно под себя и рядом с остатком 2, чтобы получить 20. Затем наибольшее число, на которое можно умножить делитель 4, не превышая 20, а именно 5, помещается выше в качестве третьей левой цифры частного. Эта 5 умножается на делитель 4, чтобы получить 20, который записывается ниже и вычитается из существующего 20, чтобы получить остаток 0, который затем записывается под вторым 20.
6. На этом этапе, поскольку больше нет цифр, которые можно было бы вычесть из делимого, и последний результат вычитания был равен 0, мы можем быть уверены, что процесс завершен.

Если бы последний остаток, когда у нас закончились цифры делимого, был бы чем-то отличным от 0, было бы два возможных варианта действий:

1. Мы могли бы просто остановиться на этом и сказать, что делимое, деленное на делитель, представляет собой частное, записанное сверху, с остатком, записанным внизу, и записать ответ в виде частного, за которым следует дробь, представляющая собой остаток, деленный на делитель.
2. Мы могли бы расширить делимое, записав его, скажем, как 500 000... и продолжить процесс (используя десятичную точку в частном непосредственно над десятичной точкой в ​​делимом), чтобы получить десятичный ответ, как в следующем примере.

  31.75  4)127.00 12 (12 ÷ 4 = 3)07 ( остаток 0 , снести следующую цифру) 4 (7 ÷ 4 = 1 r 3)  3.0 (опустите 0 и десятичную точку) 2,8 (7 × 4 = 28, 30 ÷ 4 = 7 р 2) 20 (добавлен дополнительный ноль) 20 (5 × 4 = 20) 0

В этом примере десятичная часть результата вычисляется путем продолжения процесса за пределами разряда единиц, «отбрасывая» нули, представляющие собой десятичную часть делимого.

Этот пример также иллюстрирует, что в начале процесса шаг, который производит ноль, может быть опущен. Поскольку первая цифра 1 меньше делителя 4, первый шаг вместо этого выполняется над первыми двумя цифрами 12. Аналогично, если бы делитель был 13, то первый шаг выполнялся бы над 127, а не над 12 или 1.

Основная процедура длинного делениян ÷ м

1. Найдите расположение всех десятичных точек в делимом n и делителе m .
2. При необходимости упростите задачу деления столбиком, переместив десятичные знаки делителя и делимого на одинаковое количество знаков после запятой вправо (или влево) так, чтобы десятичная дробь делителя оказалась справа от последней цифры.
3. При делении в столбик числа следует располагать строго сверху вниз под таблицей.
4. После каждого шага убедитесь, что остаток для этого шага меньше делителя. Если это не так, то возможны три проблемы: умножение выполнено неправильно, вычитание выполнено неправильно или требуется большее частное.
5. В конце остаток r прибавляется к растущему частному как дробь r ⁄ n .

Инвариантное свойство и корректность

Базовое представление шагов процесса (выше) фокусируется на том, какие шаги должны быть выполнены, а не на свойствах этих шагов , которые гарантируют, что результат будет правильным (в частности, что q × m + r = n , где q — это конечное частное, а r — конечный остаток). Небольшое изменение представления требует большего объема записи и требует, чтобы мы изменили, а не просто обновили цифры частного, но может пролить больше света на то, почему эти шаги на самом деле дают правильный ответ, позволяя оценивать q × m + r в промежуточных точках процесса. Это иллюстрирует ключевое свойство, используемое при выводе алгоритма (ниже).

В частности, мы изменяем вышеописанную базовую процедуру таким образом, чтобы заполнить пробел после цифр строящегося частного нулями, по крайней мере до единиц, и включить эти нули в числа, которые мы записываем под скобкой деления.

Это позволяет нам поддерживать инвариантное отношение на каждом шаге: q × m + r = n , где q — частично построенное частное (над скобкой деления), а r — частично построенный остаток (нижнее число под скобкой деления). Обратите внимание, что изначально q=0 и r=n , поэтому это свойство выполняется изначально; процесс уменьшает r и увеличивает q с каждым шагом, в конечном итоге останавливаясь, когда r<m, если мы ищем ответ в форме частного + целого остатка.

Возвращаясь к примеру 500 ÷ 4 , приведенному выше, мы находим

  1 2 5 ( q , изменяется от 000 до 100, до 1 20, до 1 2 5 согласно примечаниям ниже) 4)500 400 ( 4 × 100 = 400) 100 (500 - 400 = 100 ; теперь q = 100 , r = 100 ; обратите внимание, q×4+r = 500 .) 80 ( 4 × 20 = 80) 20 (100 - 80 = 20 ; теперь q = 1 20 , r = 20 ; обратите внимание , q×4+r = 500 .) 20 ( 4 × 5 = 20) 0 ( 20 - 20 = 0; теперь q = 1 2 5 , r = 0 ; обратите внимание q×4+r = 500 .)

Пример с многозначным делителем

Анимированный пример деления многозначных чисел в столбик

Можно использовать делитель любого количества цифр. В этом примере 1260257 нужно разделить на 37. Сначала задача ставится следующим образом:

   37)1260257

Цифры числа 1260257 берутся до тех пор, пока не встретится число большее или равное 37. Таким образом, 1 и 12 меньше 37, но 126 больше. Затем вычисляется наибольшее кратное 37, меньшее или равное 126. Таким образом, 3 × 37 = 111 < 126, но 4 × 37 > 126. Кратное 111 записывается под 126, а 3 записывается сверху, где и будет решение:

  3  37)1260257 111

Внимательно обратите внимание, в какой колонке разряда записаны эти цифры. 3 в частном стоит в той же колонке (десятки тысяч), что и 6 в делимом 1260257, то есть в той же колонке, что и последняя цифра числа 111.

Затем 111 вычитается из строки выше, игнорируя все цифры справа:

  3  37)1260257 111 15

Теперь цифра из следующего меньшего разряда делимого копируется вниз и добавляется к результату 15:

  3  37)1260257 111 150

Процесс повторяется: вычитается наибольшее кратное 37, меньшее или равное 150. Это 148 = 4 × 37, поэтому сверху добавляется 4 как следующая цифра частного. Затем результат вычитания расширяется еще одной цифрой, взятой из делимого:

  34  37)1260257 111 150 148 22

Наибольшее кратное 37, меньшее или равное 22, равно 0 × 37 = 0. Вычитание 0 из 22 дает 22, мы часто не записываем шаг вычитания. Вместо этого мы просто берем еще одну цифру из делимого:

  340  37)1260257 111 150 148 225

Процесс повторяется до тех пор, пока 37 не разделит последнюю строку ровно:

  34061 37)1260257 111 150 148 225 222 37

Смешанный режим деления в столбик

Для недесятичных валют (например, британской системы £sd до 1971 года) и мер (например, avoirdupois ) необходимо использовать смешанное деление. Рассмотрим деление 50 миль 600 ярдов на 37 частей:

 миля - ярд - фут - дюйм  1 - 634 1 9 п. 15" 37) 50 - 600 - 0 - 0 37  22880  66  348 13 23480 66 348 1760  222  37  333 22880 128 29 15 ===== 111 348 == 170 === 148  22 66 ==

Каждый из четырех столбцов обрабатывается по очереди. Начиная с миль: 50/37 = 1 остаток 13. Дальнейшее деление невозможно, поэтому выполните длинное умножение на 1760, чтобы преобразовать мили в ярды, результат составит 22 880 ярдов. Перенесите это в верхнюю часть столбца ярдов и прибавьте к 600 ярдам в делимом, что даст 23 480. Длинное деление 23 480 / 37 теперь выполняется как обычно, давая 634 с остатком 22. Остаток умножается на 3, чтобы получить футы, и переносится в столбец футов. Длинное деление футов дает 1 остаток 29, который затем умножается на двенадцать, чтобы получить 348 дюймов. Длинное деление продолжается, и последний остаток 15 дюймов отображается в строке результата.

Интерпретация десятичных результатов

Если частное не является целым числом и процесс деления продолжается за пределами десятичной точки, может произойти одно из двух:

1. Процесс может завершиться, что означает достижение остатка 0; или
2. Остаток может быть получен, идентичный предыдущему остатку, который возник после записи десятичных точек. В последнем случае продолжение процесса было бы бессмысленным, поскольку с этого момента в частном снова и снова будет появляться та же самая последовательность цифр. Поэтому над повторяющейся последовательностью рисуется черта, указывающая, что она повторяется вечно (т. е. каждое рациональное число является либо конечной, либо повторяющейся десятичной дробью ).

Обозначения в неанглоязычных странах

Китай, Япония, Корея используют ту же нотацию, что и англоязычные страны, включая Индию. В других местах используются те же общие принципы, но цифры часто располагаются по-другому.

Латинская Америка

В Латинской Америке (кроме Аргентины , Боливии , Мексики , Колумбии , Парагвая , Венесуэлы , Уругвая и Бразилии ) расчет почти такой же, но записывается по-другому, как показано ниже с теми же двумя примерами, использованными выше. Обычно частное записывается под чертой, нарисованной под делителем. Иногда справа от расчетов рисуется длинная вертикальная линия.

 500 ÷ 4 = 1 2 5 (Пояснения) 4 ( 4 × 1 = 4) 1 0 ( 5 - 4 = 1 ) 8 ( 4 × 2 = 8) 2 0 (10 - 8 = 2 ) 20 ( 4 × 5 = 20) 0 (20 - 20 = 0)

и

 127 ÷ 4 = 31,75 124  30 (свести 0; десятичная дробь в частное) 28 (7 × 4 = 28) 20 (добавляется еще один ноль) 20 (5 × 4 = 20) 0

В Мексике используется общепринятая в английском языке система обозначений, за исключением того, что примечается только результат вычитания, а расчет выполняется в уме, как показано ниже:

  1 2 5 (Пояснения) 4)500 1 0 ( 5 - 4 = 1 ) 2 0 ( 10 - 8 = 2 ) 0 (20 - 20 = 0)

В Боливии , Бразилии , Парагвае , Венесуэле , франкоязычной Канаде , Колумбии и Перу используется европейская нотация (см. ниже), за исключением того, что частное не отделено вертикальной линией, как показано ниже:

 127| 4  − 124 31,75 30 − 28 20 − 20 0

Та же процедура применяется в Мексике , Уругвае и Аргентине , только результат вычитания записывается, а расчет выполняется в уме.

Евразия

В Испании, Италии, Франции, Португалии, Литве, Румынии, Турции, Греции, Бельгии, Беларуси, Украине и России делитель находится справа от делимого и отделен вертикальной чертой. Деление также происходит в столбце, но частное (результат) пишется под делителем и отделено горизонтальной чертой. Такой же метод используется в Иране, Вьетнаме и Монголии.

 127| 4  − 124 |31,75 30 − 28 20 − 20 0

На Кипре, как и во Франции, длинная вертикальная черта отделяет делимое и последующие вычитания от частного и делителя, как в приведенном ниже примере 6359, деленного на 17, что дает 374 с остатком 1.

 6359| 17  − 51 |374 125 | − 119 | 69| − 68 | 1|

Десятичные числа не делятся напрямую, делимое и делитель умножаются на степень десяти, так что деление включает два целых числа. Таким образом, если бы мы делили 12,7 на 0,4 (используя запятые вместо десятичных точек), делимое и делитель сначала изменились бы на 127 и 4, а затем деление продолжалось бы так, как описано выше.

В Австрии , Германии и Швейцарии используется форма записи нормального уравнения. <dividend> : <divisor> = <quotient>, где двоеточие ":" обозначает двоичный инфиксный символ для оператора деления (аналогично "/" или "÷"). В этих регионах десятичный разделитель записывается в виде запятой. (ср. первый раздел стран Латинской Америки выше, где это делается практически таким же образом):

 127 : 4 = 31,75 − 12 07 − 4 30 − 28 20 − 20 0

Такая же система обозначений принята в Дании , Норвегии , Болгарии , Северной Македонии , Польше , Хорватии , Словении , Венгрии , Чехии , Словакии , Вьетнаме и Сербии .

В Нидерландах используются следующие обозначения:

 12 / 135 \ 11,25 12 15 12 30 24 60 60 0

В Финляндии итальянский метод, описанный выше, был заменен англо-американским в 1970-х годах. Однако в начале 2000-х годов некоторые учебники переняли немецкий метод, поскольку он сохраняет порядок между делителем и делимым. ^[11]

Алгоритм для произвольной базы

Каждое натуральное число может быть однозначно представлено в произвольной системе счисления в виде последовательности цифр , где для всех , где — количество цифр в . Значение в терминах его цифр и основания равно ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle n=\alpha _{0}\alpha _{1}\alpha _{2}...\alpha _{k-1}}$ ${\displaystyle 0\leq \alpha _{i}<b}$ ${\displaystyle 0\leq i<k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k-1}\alpha _{i}b^{k-i-1}}$

Пусть будет делимым, а будет делителем, где — количество цифр в . Если , то частное и остаток . В противном случае мы повторяем с , прежде чем остановиться. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k<l}$ ${\displaystyle q=0}$ ${\displaystyle r=n}$ ${\displaystyle 0\leq i\leq k-l}$

Для каждой итерации пусть будет извлеченным до сих пор частным, будет промежуточным делимым, будет промежуточным остатком, будет следующей цифрой исходного делимого и будет следующей цифрой частного. По определению цифр в базе , . По определению остатка, . Все значения являются натуральными числами. Начинаем ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 0\leq \beta _{i}<b}$ ${\displaystyle 0\leq r_{i}<m}$

${\displaystyle q_{-1}=0}$

${\displaystyle r_{-1}=\sum _{i=0}^{l-2}\alpha _{i}b^{l-2-i}}$

первые цифры . ${\displaystyle l-1}$ ${\displaystyle n}$

При каждой итерации три уравнения верны:

${\displaystyle d_{i}=br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}}$

${\displaystyle r_{i}=d_{i}-m\beta _{i}=br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}-m\beta _{i}}$

${\displaystyle q_{i}=bq_{i-1}+\beta _{i}}$

Существует только один такой, что . ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle 0\leq r_{i}<m}$

Доказательство существования и уникальности ${\displaystyle \beta _{i}}$

Согласно определению остатка , ${\displaystyle r_{i}}$

${\displaystyle 0\leq r_{i}<m}$

${\displaystyle 0\leq br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}-m\beta _{i}<m}$

${\displaystyle m\beta _{i}\leq br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}<m(\beta _{i}+1)}$

Для левой части неравенства выберем наибольшее такое, что ${\displaystyle \beta _{i}}$

${\displaystyle m\beta _{i}\leq br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}}$

Всегда существует наибольшее такое , потому что и если , то ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle 0\leq \beta _{i}<b}$ ${\displaystyle \beta _{i}=0}$

${\displaystyle 0\leq br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}}$

но поскольку , , , это всегда верно. Для правой части неравенства мы предполагаем, что существует наименьшее такое, что ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle r_{i-1}\geq 0}$ ${\displaystyle \alpha _{i+l-1}\geq 0}$ ${\displaystyle \beta _{i}^{\prime }}$

${\displaystyle br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}<m(\beta _{i}^{\prime }+1)}$

Поскольку это наименьшее значение , при котором неравенство выполняется, это должно означать, что для ${\displaystyle \beta _{i}^{\prime }}$ ${\displaystyle \beta _{i}^{\prime }-1}$

${\displaystyle br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}\geq m\beta _{i}^{\prime }}$

что в точности совпадает с левой частью неравенства. Таким образом, . Поскольку всегда будет существовать, то будет равно , и существует только одно уникальное значение , которое справедливо для неравенства. Таким образом, мы доказали существование и единственность . ${\displaystyle \beta _{i}=\beta _{i}^{\prime }}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle \beta _{i}^{\prime }}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$

Окончательное частное равно , а окончательный остаток равен ${\displaystyle q=q_{k-l}}$ ${\displaystyle r=r_{k-l}}$

Примеры

В десятичной системе счисления , используя приведенный выше пример с и , начальные значения и . ${\displaystyle n=1260257}$ ${\displaystyle m=37}$ ${\displaystyle q_{-1}=0}$ ${\displaystyle r_{-1}=1}$

Таким образом, и . ${\displaystyle q=34061}$ ${\displaystyle r=0}$

В системе счисления с основанием 16 , при этом и , начальные значения равны и . ${\displaystyle n={\text{f412df}}}$ ${\displaystyle m=12}$ ${\displaystyle q_{-1}=0}$ ${\displaystyle r_{-1}={\text{f}}}$

Таким образом, и . ${\displaystyle q={\text{d8f45}}}$ ${\displaystyle r={\text{5}}}$

Если у вас нет в памяти таблиц сложения , вычитания или умножения для основания b , то этот алгоритм все равно будет работать, если числа перевести в десятичную систему счисления , а в конце перевести обратно в основание b . Например, в приведенном выше примере

${\displaystyle n={\text{f412df}}_{16}=15\cdot 16^{5}+4\cdot 16^{4}+1\cdot 16^{3}+2\cdot 16^{2}+13\cdot 16^{1}+15\cdot 16^{0}}$

и

${\displaystyle m={\text{12}}_{16}=1\cdot 16^{1}+2\cdot 16^{0}=18}$

с . Начальные значения — и . ${\displaystyle b=16}$ ${\displaystyle q_{-1}=0}$ ${\displaystyle r_{-1}=15}$

Таким образом, и . ${\displaystyle q=16^{4}\cdot 13+16^{3}\cdot 8+16^{2}\cdot 15+16^{1}\cdot 4+5={\text{d8f45}}_{16}}$ ${\displaystyle r=5={\text{5}}_{16}}$

Этот алгоритм можно реализовать, используя те же записи на бумаге, что показаны в разделах выше.

  d8f45 п. 5 12) ф412дф еа а1 90 112 10е 4д 48 5ф 5а 5

Рациональные коэффициенты

Если частное не ограничено целым числом, то алгоритм не завершается для . Вместо этого, если то по определению. Если остаток равен нулю на любой итерации, то частное является -адической дробью и представляется в виде конечного десятичного разложения в позиционной системе счисления. В противном случае это все еще рациональное число , но не -адическое рациональное, и вместо этого представляется в виде бесконечного повторяющегося десятичного разложения в позиционной системе счисления. ${\displaystyle i>k-l}$ ${\displaystyle i>k-l}$ ${\displaystyle \alpha _{i}=0}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$

Двоичное деление

Производительность

На каждой итерации наиболее трудоемкой задачей является выбор . Мы знаем, что существуют возможные значения, поэтому мы можем найти с помощью сравнений . Каждое сравнение потребует оценки . Пусть будет количеством цифр в делимом , а будет количеством цифр в делителе . Количество цифр в . Умножение равно , и аналогично вычитание . Таким образом, требуется , чтобы выбрать . Оставшаяся часть алгоритма — это сложение и сдвиг цифр и влево на одну цифру, и поэтому занимает время и по основанию , поэтому каждая итерация занимает , или просто . Для всех цифр алгоритм занимает время , или по основанию . ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle O(\log(b))}$ ${\displaystyle d_{i}-m\beta _{i}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle d_{i}\leq l+1}$ ${\displaystyle m\beta _{i}}$ ${\displaystyle O(l)}$ ${\displaystyle d_{i}-m\beta _{i}}$ ${\displaystyle O(l\log(b))}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle O(k)}$ ${\displaystyle O(l)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle O(l\log(b)+k+l)}$ ${\displaystyle O(l\log(b)+k)}$ ${\displaystyle k-l+1}$ ${\displaystyle O((k-l+1)(l\log(b)+k))}$ ${\displaystyle O(kl\log(b)+k^{2})}$ ${\displaystyle b}$

Обобщения

Рациональные числа

Длинное деление целых чисел можно легко расширить, включив нецелые делимые, если они рациональны . Это связано с тем, что каждое рациональное число имеет повторяющееся десятичное разложение. Процедуру также можно расширить, включив делители, которые имеют конечное или конечное десятичное разложение (т. е. десятичные дроби ). В этом случае процедура включает умножение делителя и делимого на соответствующую степень десяти, так что новый делитель будет целым числом — используя тот факт, что a  ÷  b = ( ca ) ÷ ( cb ) — и затем продолжая, как указано выше.

Полиномы

Обобщенная версия этого метода, называемая полиномиальным делением в столбик, также используется для деления полиномов (иногда с использованием сокращенной версии, называемой синтетическим делением ).

Смотрите также

• Алгоритмизм
• Арифметика произвольной точности
• Египетское умножение и деление
• Элементарная арифметика
• Деление Фурье
• Полиномиальное деление в столбик
• Короткое деление

Ссылки

1. Вайсштейн, Эрик В. «Деление в столбик». MathWorld .
2. "Исламская математика". new.math.uiuc.edu . Получено 2016-03-31 .
3. Виктор Дж. Кац, История математики: Введение, Эддисон-Уэсли, 2008
4. Уилл Виндзор и Джордж Букер (2005). «Исторический анализ концепции разделения» (PDF) .
5. Генри Бриггс - Оксфордский справочник.
6. Кляйн, Милгрэм. «Роль деления столбиком в учебной программе K-12» (PDF) . CiteSeer . Получено 21 июня 2019 г. .
7. Николсон, У. Кит (2012), Введение в абстрактную алгебру, 4-е изд., John Wiley & Sons, стр. 206.
8. "Long Division Symbol", Wolfram MathWorld , получено 11 февраля 2016 г..
9. Миллер, Джефф (2010), «Символы операции», Раннее использование различных математических символов.
10. Хилл, Джон (1772) [Впервые опубликовано в 1712 году], Арифметика в теории и практике (11-е изд.), Лондон: Straben et al., стр. 200 , получено 12 февраля 2016 г.
11. Икяхеймо, Ханнеле: Jakolaskuun ymmärrystä ( на финском языке )

Внешние ссылки

• Алгоритм длинного деления
• Длинное деление и лемма Евклида