Делитель нуля

Элемент кольца, который можно умножить на ненулевой элемент, чтобы получить значение 0.

В абстрактной алгебре элемент a кольца R называется левым делителем нуля , если существует ненулевой x в R такой, что ax = 0 , ^[1] или, что то же самое, если отображение из R в R , которое переводит x в ax , не является инъективный . ^[a] Аналогично, элемент a кольца называется правым делителем нуля, если существует ненулевой y в R такой, что ya = 0 . Это частный случай делимости в кольцах . Элемент, который является левым или правым делителем нуля, называется просто делителем нуля . ^[2] Элемент  a , который является одновременно левым и правым делителем нуля, называется двусторонним делителем нуля (ненулевой x такой, что ax = 0 , может отличаться от ненулевого y такого, что ya = 0 ). Если кольцо коммутативно , то левый и правый делители нуля одинаковы.

Элемент кольца, не являющийся левым делителем нуля (соответственно не правым делителем нуля), называется леворегулярным или левосократимым (соответственно, праворегулярным или правосократимым ). Элемент кольца, который сокращаем слева и справа и, следовательно, не является делителем нуля, называется регулярным или сокращаемым [ ^3] или неделителем нуля . Делитель нуля, отличный от нуля, называется ненулевым делителем нуля или нетривиальным делителем нуля . Ненулевое кольцо, не имеющее нетривиальных делителей нуля , называется областью определения .

Примеры

• В кольце класс вычетов является делителем нуля, поскольку . ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\overline {2}}}$ ${\displaystyle {\overline {2}}\times {\overline {2}}={\overline {4}}={\overline {0}}}$
• Единственный делитель нуля кольца целых чисел равен . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 0}$
• Нильпотентный элемент ненулевого кольца всегда является двусторонним делителем нуля.
• Идемпотентный элемент кольца всегда является двусторонним делителем нуля, поскольку . ${\displaystyle e\neq 1}$ ${\displaystyle e(1-e)=0=(1-e)e}$
• Кольцо матриц размера n  ×  n над полем имеет ненулевые делители нуля, если n ≥ 2. Здесь показаны примеры делителей нуля в кольце матриц размера 2 × 2 (над любым ненулевым кольцом):

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},}$$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.}$$

• Прямое произведение двух или более ненулевых колец всегда имеет ненулевые делители нуля. Например, в каждом ненулевом элементе , есть и делитель нуля. ${\displaystyle R_{1}\times R_{2}}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle (1,0)(0,1)=(0,0)}$ ${\displaystyle (1,0)}$
• Пусть будет поле и будет группа . Предположим, что имеет элемент конечного порядка . Тогда в групповом кольце имеется , причем ни один из множителей не равен нулю, а также ненулевой делитель нуля в . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle K[G]}$ ${\displaystyle (1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^{n}=0}$ ${\displaystyle 1-g}$ ${\displaystyle K[G]}$

Односторонний делитель нуля

• Рассмотрим кольцо (формальных) матриц с и . Тогда и . Если , то является левым делителем нуля тогда и только тогда , когда четно , поскольку , и это правый делитель нуля тогда и только тогда, когда четно по тем же причинам. Если любой из есть , то это двусторонний делитель нуля. ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle x,z\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle y\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&xb+yc\\0&zc\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&ya+zb\\0&zc\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle x\neq 0\neq z}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&x\\0&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x,z}$ ${\displaystyle 0}$
• Вот еще один пример кольца, элемент которого является делителем нуля только с одной стороны. Позвольте быть множеством всех последовательностей целых чисел . Возьмем в качестве кольца все аддитивные отображения от до с поточечным сложением и композицией в качестве кольцевых операций. (То есть наше кольцо является кольцом эндоморфизмов аддитивной группы .) Три примера элементов этого кольца — правый сдвиг , левый сдвиг и отображение проекции на первый фактор . Все три из этих аддитивных отображений не равны нулю, а составные и оба равны нулю, поэтому является левым делителем нуля и является правым делителем нуля в кольце аддитивных отображений от до . Однако не является правым делителем нуля и не является левым делителем нуля: составное число является тождественным. является двусторонним делителем нуля, так как , while не находится ни в каком направлении. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},...)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(0,a_{1},a_{2},...)}$ ${\displaystyle L(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{2},a_{3},a_{4},...)}$ ${\displaystyle P(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{1},0,0,...)}$ ${\displaystyle LP}$ ${\displaystyle PR}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle LR}$ ${\displaystyle RL}$ ${\displaystyle RLP=0=PRL}$ ${\displaystyle LR=1}$

Непримеры

• Кольцо целых чисел по модулю простого числа не имеет ненулевых делителей нуля. Поскольку каждый ненулевой элемент является единицей , это кольцо является конечным полем .
• В более общем смысле, тело не имеет ненулевых делителей нуля.
• Ненулевое коммутативное кольцо, единственный делитель нуля которого равен 0, называется областью целостности .

Характеристики

• В кольце матриц размера n  ×  n над полем левый и правый делители нуля совпадают; они в точности являются сингулярными матрицами . В кольце матриц размера n  ×  n над областью целостности делителями нуля являются в точности матрицы с нулевым определителем .
• Левые или правые делители нуля никогда не могут быть единицами , потому что если a обратимо и ax = 0 для некоторого ненулевого x , то 0 = a ⁻¹ 0 = a ⁻¹ ax = x , противоречие.
• Элемент упраздним на той стороне, на которой он правильный. То есть, если a является левым регулярным, из ax = ay следует, что x = y , и аналогично для правого регулярного.

Ноль как делитель нуля

Для случая a = 0 нет необходимости в отдельном соглашении , поскольку определение применимо и в этом случае:

• Если R — кольцо, отличное от нулевого кольца , то 0 — (двусторонний) делитель нуля, поскольку любой ненулевой элемент x удовлетворяет условию 0 x = 0 = x  0 .
• Если R — нулевое кольцо, в котором 0 = 1 , то 0 не является делителем нуля, потому что не существует ненулевого элемента, который при умножении на 0 дает 0 .

Некоторые ссылки по соглашению включают или исключают 0 как делитель нуля во всех кольцах, но тогда им приходится вводить исключения в таких утверждениях, как следующие:

• В коммутативном кольце R множество неделителей нуля является мультипликативным множеством в R. (Это, в свою очередь, важно для определения полного факторкольца .) То же самое верно для множества нелевых делителей нуля и множества неправых делителей нуля в произвольном кольце, коммутативном или нет.
• В коммутативном нётеровом кольце R множество делителей нуля представляет собой объединение ассоциированных простых идеалов кольца R.

Делитель нуля в модуле

Пусть R — коммутативное кольцо, M — R - модуль и a — элемент кольца R. Говорят, что а является М -регулярным, если «умножение на » отображение инъективно, и что в противном случае а является делителем нуля на М. ^[4] Множество M -регулярных элементов является мультипликативным множеством в R . ^[4] ${\displaystyle M\,{\stackrel {a}{\to }}\,M}$

Специализация определений « M -регулярный» и «делитель нуля на M » для случая M = R восстанавливает определения «регулярный» и «делитель нуля», данные ранее в этой статье.

Смотрите также

• Свойство нулевого продукта
• Глоссарий коммутативной алгебры (точный делитель нуля)
• Граф делителей нуля

Примечания

1. Поскольку отображение не инъективно, мы имеем ax = ay , в котором x отличается от y , и, следовательно, a ( x − y ) = 0 .

Рекомендации

1. Н. Бурбаки (1989), Алгебра I, главы 1–3 , Springer-Verlag, стр. 98
2. Чарльз Лански (2005), Концепции абстрактной алгебры , Американское математическое общество, стр. 342
3. Николя Бурбаки (1998). Алгебра I. Springer Science+Business Media . п. 15.
4. Хидеюки Мацумура (1980), Коммутативная алгебра, 2-е издание , The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., стр. 12

дальнейшее чтение

• «Делитель нуля», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Мишель Хазевинкель ; Надия Губарени; Надежда Михайловна Губарени; Владимир Владимирович Кириченко. (2004), Алгебры, кольца и модули , вып. 1, Спрингер, ISBN 1-4020-2690-0
• Вайсштейн, Эрик В. «Делитель нуля». Математический мир .