Делитель нуля

Элемент кольца, который можно умножить на ненулевой элемент, чтобы получить 0

В абстрактной алгебре элемент a кольца R называется левым делителем нуля , если существует ненулевой x в R такой, что ax = 0 , ^[1] или, что эквивалентно, если отображение из R в R , которое переводит x в ax, не является инъективным . ^[a] Аналогично, элемент a кольца называется правым делителем нуля , если существует ненулевой y в R такой, что ya = 0. Это частный случай делимости в кольцах . Элемент, который является левым или правым делителем нуля, называется просто делителем нуля . ^[2] Элемент  a , который является как левым, так и правым делителем нуля, называется двусторонним делителем нуля (ненулевой x такой, что ax = 0, может отличаться от ненулевого y такого, что ya = 0 ). Если кольцо коммутативно , то левый и правый делители нуля одинаковы.

Элемент кольца, который не является левым делителем нуля (соответственно, не является правым делителем нуля), называется левым регулярным или левым сократимым (соответственно, правым регулярным или правым сократимым ). Элемент кольца, который является левым и правым сократимым и, следовательно, не является делителем нуля, называется регулярным или сократимым , ^[3] или неделителем нуля . Делитель нуля, который не равен нулю, называется ненулевым делителем нуля или нетривиальным делителем нуля . Ненулевое кольцо без нетривиальных делителей нуля называется доменом .

Примеры

• В кольце класс вычетов является делителем нуля, поскольку . ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\overline {2}}}$ ${\displaystyle {\overline {2}}\times {\overline {2}}={\overline {4}}={\overline {0}}}$
• Единственным делителем нуля кольца целых чисел является . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 0}$
• Нильпотентный элемент ненулевого кольца всегда является двусторонним делителем нуля .
• Идемпотентный элемент кольца всегда является двусторонним делителем нуля, так как . ${\displaystyle e\neq 1}$ ${\displaystyle e(1-e)=0=(1-e)e}$
• Кольцо матриц размера n  ×  n над полем имеет ненулевые делители нуля, если n ≥ 2. Примеры делителей нуля в кольце матриц размера 2 × 2 (над любым ненулевым кольцом) показаны здесь:

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},}$$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.}$$

• Прямое произведение двух или более ненулевых колец всегда имеет ненулевые делители нуля. Например, в с каждым ненулевым, , поэтому является делителем нуля. ${\displaystyle R_{1}\times R_{2}}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle (1,0)(0,1)=(0,0)}$ ${\displaystyle (1,0)}$
• Пусть будет полем и будет группой . Предположим, что имеет элемент конечного порядка . Тогда в групповом кольце имеем , причем ни один из множителей не равен нулю, поэтому является ненулевым делителем нуля в . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle K[G]}$ ${\displaystyle (1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^{n}=0}$ ${\displaystyle 1-g}$ ${\displaystyle K[G]}$

Односторонний делитель нуля

• Рассмотрим кольцо (формальных) матриц с и . Тогда и . Если , то является левым делителем нуля тогда и только тогда, когда четно , так как , и является правым делителем нуля тогда и только тогда, когда четно по аналогичным причинам. Если любой из является , то он является двусторонним делителем нуля. ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle x,z\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle y\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&xb+yc\\0&zc\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&ya+zb\\0&zc\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle x\neq 0\neq z}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&x\\0&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x,z}$ ${\displaystyle 0}$
• Вот еще один пример кольца с элементом, который является делителем нуля только с одной стороны. Пусть будет множеством всех последовательностей целых чисел . Возьмем для кольца все аддитивные отображения из в , с поточечным сложением и композицией в качестве операций кольца. (То есть наше кольцо — это , кольцо эндоморфизмов аддитивной группы .) Три примера элементов этого кольца — это сдвиг вправо , сдвиг влево и отображение проекции на первый множитель . Все три из этих аддитивных отображений не равны нулю, а композиты и оба равны нулю, поэтому является левым делителем нуля и является правым делителем нуля в кольце аддитивных отображений из в . Однако не является правым делителем нуля и не является левым делителем нуля: композит является единицей. является двусторонним делителем нуля, поскольку , в то время как не находится ни в одном направлении. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},...)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(0,a_{1},a_{2},...)}$ ${\displaystyle L(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{2},a_{3},a_{4},...)}$ ${\displaystyle P(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{1},0,0,...)}$ ${\displaystyle LP}$ ${\displaystyle PR}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle LR}$ ${\displaystyle RL}$ ${\displaystyle RLP=0=PRL}$ ${\displaystyle LR=1}$

Не примеры

• Кольцо целых чисел по модулю простого числа не имеет ненулевых делителей нуля. Поскольку каждый ненулевой элемент является единицей , это кольцо является конечным полем .
• В более общем случае, делительное кольцо не имеет ненулевых делителей нуля.
• Ненулевое коммутативное кольцо, единственным делителем нуля которого является 0, называется областью целостности .

Характеристики

• В кольце матриц размера n  ×  n над полем левые и правые делители нуля совпадают; это в точности сингулярные матрицы . В кольце матриц размера n  ×  n над областью целостности делители нуля — это в точности матрицы с нулевым определителем .
• Левые или правые делители нуля никогда не могут быть единицами , потому что если a обратимо и ax = 0 для некоторого ненулевого x , то 0 = a ⁻¹ 0 = a ⁻¹ ax = x , противоречие.
• Элемент сократим на той стороне, на которой он регулярен. То есть, если a — левый регулярный элемент, ax = ay подразумевает, что x = y , и аналогично для правого регулярного элемента.

Ноль как делитель нуля

Нет необходимости в отдельном соглашении для случая a = 0 , поскольку определение применимо и в этом случае:

• Если R — кольцо, отличное от нулевого кольца , то 0 является (двусторонним) делителем нуля, поскольку любой ненулевой элемент x удовлетворяет условию 0 x = 0 = x  0 .
• Если R — нулевое кольцо, в котором 0 = 1 , то 0 не является делителем нуля, поскольку не существует ненулевого элемента, который при умножении на 0 давал бы 0 .

В некоторых источниках 0 включается или исключается как делитель нуля во всех кольцах по соглашению, но тогда они страдают от необходимости вводить исключения в утверждениях, подобных следующим:

• В коммутативном кольце R множество неделителей нуля является мультипликативным множеством в R. (Это, в свою очередь, важно для определения полного кольца частных .) То же самое верно для множества не левых делителей нуля и множества не правых делителей нуля в произвольном кольце, коммутативном или нет.
• В коммутативном нётеровом кольце R множество делителей нуля представляет собой объединение ассоциированных простых идеалов кольца R.

Делитель нуля по модулю

Пусть R — коммутативное кольцо, M — R - модуль , а a — элемент R. Говорят, что a является M -регулярным, если отображение «умножения на a » инъективно, и что a — делитель нуля на M в противном случае. ^[4] Множество M - регулярных элементов является мультипликативным множеством в R. ^[4] ${\displaystyle M\,{\stackrel {a}{\to }}\,M}$

Специализация определений « M -регулярный» и «делитель нуля на M » на случай M = R восстанавливает определения «регулярный» и «делитель нуля», данные ранее в этой статье.

Смотрите также

• Свойство нулевого продукта
• Глоссарий коммутативной алгебры (точный делитель нуля)
• Граф делителей нуля
• Седенионы , имеющие делители нуля

Примечания

1. Поскольку отображение не является инъективным, мы имеем ax = ay , где x отличается от y , и, таким образом, a ( x − y ) = 0 .

Ссылки

1. Н. Бурбаки (1989), Алгебра I, главы 1–3 , Springer-Verlag, стр. 98
2. Чарльз Лански (2005), Концепции абстрактной алгебры , Американское математическое общество, стр. 342
3. Николя Бурбаки (1998). Алгебра I. Springer Science+Business Media . стр. 15.
4. Хидеюки Мацумура (1980), Коммутативная алгебра, 2-е издание , The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., стр. 12

Дальнейшее чтение

• «Делитель нуля», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Мишель Хазевинкель ; Надия Губарени; Надежда Михайловна Губарени; Владимир Владимирович Кириченко. (2004), Алгебры, кольца и модули , вып. 1, Спрингер, ISBN 1-4020-2690-0
• Вайсштейн, Эрик В. «Делитель нуля». Математический мир .