Дельтовидная кривая

Кривая рулетки, составленная из окружностей, радиусы которых отличаются в 3 или 1,5 раза

  Фиксированный внешний круг

  Катящийся круг (1/3 радиуса внешнего круга)

  Дельтовидная кривая, образованная путем очерчивания окружной точки на катящейся окружности

В геометрии дельтовидная кривая , также известная как трикуспоидная кривая или кривая Штейнера , является гипоциклоидой с тремя остриями . Другими словами, это рулетка, созданная точкой на окружности , катящейся без скольжения по внутренней стороне окружности с радиусом в три или полтора раза больше ее . Она названа в честь заглавной греческой буквы дельта (Δ), на которую она похожа.

В более широком смысле дельтоид может относиться к любой замкнутой фигуре с тремя вершинами, соединенными кривыми, вогнутыми к внешней стороне, что делает внутренние точки невыпуклым множеством . ^[1]

Уравнения

Гипоциклоиду можно представить (с точностью до вращения и поступательного движения ) следующими параметрическими уравнениями :

${\displaystyle x=(b-a)\cos(t)+a\cos \left({\frac {b-a}{a}}t\right)\,}$

${\displaystyle y=(b-a)\sin(t)-a\sin \left({\frac {b-a}{a}}t\right)\,,}$

где a — радиус катящейся окружности, b — радиус окружности, внутри которой катится вышеупомянутая окружность, а t изменяется от нуля до 6π . (На иллюстрации выше b = 3a, очерчивая дельтовидную мышцу.)

В комплексных координатах это становится

${\displaystyle z=2ae^{it}+ae^{-2it}}$.

Переменную t можно исключить из этих уравнений, получив декартово уравнение

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}+18a^{2}(x^{2}+y^{2})-27a^{4}=8a(x^{3}-3xy^{2}),\,}$

так что дельтоид — это плоская алгебраическая кривая степени четыре. В полярных координатах это становится

${\displaystyle r^{4}+18a^{2}r^{2}-27a^{4}=8ar^{3}\cos 3\theta \,.}$

Кривая имеет три особенности, каспы, соответствующие . Параметризация выше подразумевает, что кривая рациональна, что подразумевает, что она имеет нулевой род . ${\displaystyle t=0,\,\pm {\tfrac {2\pi }{3}}}$

Отрезок линии может скользить каждым концом по дельтовидной мышце и оставаться касательным к дельтовидной мышце. Точка касания обходит дельтовидную мышцу дважды, в то время как каждый конец обходит ее один раз.

Двойная кривизна дельтовидной мышцы

${\displaystyle x^{3}-x^{2}-(3x+1)y^{2}=0,\,}$

которая имеет двойную точку в начале координат, которую можно сделать видимой для построения графика с помощью воображаемого поворота y ↦ iy, что дает кривую

${\displaystyle x^{3}-x^{2}+(3x+1)y^{2}=0\,}$

с двойной точкой в ​​начале координат действительной плоскости.

Площадь и периметр

Площадь дельтовидной мышцы равна , где a — радиус катящейся окружности; таким образом, площадь дельтовидной мышцы в два раза больше площади катящейся окружности. ^[2] ${\displaystyle 2\pi a^{2}}$

Периметр (общая длина дуги) дельтовидной мышцы составляет 16 а . ^[2]

История

Обычные циклоиды изучались Галилео Галилеем и Марином Мерсенном еще в 1599 году, но циклоидальные кривые были впервые задуманы Оле Рёмером в 1674 году при изучении наилучшей формы зубьев шестерен. Леонард Эйлер заявляет о первом рассмотрении фактической дельтоиды в 1745 году в связи с оптической проблемой.

Приложения

Дельтовидные мышцы возникают в нескольких областях математики. Например:

• Множество комплексных собственных значений нестохастических матриц третьего порядка образует дельтоид.
• Поперечное сечение множества нестохастических матриц третьего порядка образует дельтоид.
• Множество возможных следов унитарных матриц, принадлежащих группе SU (3), образует дельтоид.
• Пересечение двух дельтоидов параметризует семейство комплексных матриц Адамара шестого порядка.
• Набор всех линий Симсона данного треугольника образует огибающую в форме дельтоида. Это известно как дельтоид Штейнера или гипоциклоида Штейнера в честь Якоба Штейнера, который описал форму и симметрию кривой в 1856 году. ^[3]
• Огибающая биссектрис треугольника — дельтоид (в более широком смысле , определенном выше) с вершинами в серединах медиан . Стороны дельтоида — дуги гипербол , асимптотические к сторонам треугольника. [ 4 ^] [1]
• Дельтовидная мышца была предложена в качестве решения проблемы иглы Какея .

Смотрите также

• Астроида , кривая с четырьмя вершинами
• Круговой роговой треугольник , кривая с тремя выступами, образованная дугами окружностей.
• Идеальный треугольник , кривая с тремя вершинами, образованная гиперболическими линиями.
• Псевдотреугольник , трехточечная область между тремя касательными выпуклыми множествами
• Пара Туси , рулетка с двумя остриями
• Воздушный змей (геометрия) , также называемый дельтовидной мышцей

Ссылки

1. "Биссектрисы площади треугольника". www.se16.info . Получено 26 октября 2017 г. .
2. Weisstein, Eric W. "Deltoid". Из MathWorld --A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Deltoid.html
3. Локвуд
4. Данн, Дж. А. и Претти, Дж. А., «Деление треугольника пополам», Mathematical Gazette 56, май 1972 г., 105–108.

• EH Lockwood (1961). "Глава 8: Дельтовидная мышца". Книга кривых . Cambridge University Press.
• J. Dennis Lawrence (1972). Каталог специальных плоских кривых . Dover Publications. стр. 131–134. ISBN 0-486-60288-5.
• Уэллс Д. (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии издательства Penguin. Нью-Йорк: Penguin Books. С. 52. ISBN 0-14-011813-6.
• «Трикусповидный» в индексе знаменитых кривых MacTutor
• «Дельтоид» в MathCurve
• Соколов, ДД (2001) [1994], "Кривая Штейнера", Энциклопедия математики , Издательство EMS