десятичный логарифм

Математическая функция

График десятичного логарифма чисел от 0,1 до 100

В математике десятичный логарифм — это логарифм с основанием 10. ^[1] Он также известен как десятичное логарифм и как десятичный логарифм , названный по его основанию, или логарифм Бриггса , в честь Генри Бриггса , английского математика, который был пионером его использования, а также стандартный логарифм . Исторически он был известен как logarithmus decimalis ^[2] или logarithmus decadis . ^[3] Он обозначается как log( x ) , ^[4] log ₁₀ ( x ) , ^[5] или иногда Log( x ) с заглавной буквы L ; ^[a] на калькуляторах он печатается как «log», но математики обычно имеют в виду натуральный логарифм (логарифм с основанием e ≈ 2,71828), а не десятичный логарифм, когда пишут «log». Чтобы смягчить эту неоднозначность, спецификация ISO 80000 рекомендует записывать log ₁₀ ( x ) как lg( x ) , а log _e ( x ) как ln( x ) .

Страница из таблицы десятичных логарифмов. На этой странице показаны логарифмы для чисел от 1000 до 1509 с точностью до пяти знаков после запятой. Полная таблица охватывает значения до 9999.

До начала 1970-х годов карманные электронные калькуляторы были недоступны, а механические калькуляторы, способные умножать, были громоздкими, дорогими и не были широко распространены. Вместо этого в науке, технике и навигации использовались таблицы логарифмов по основанию 10 — когда вычисления требовали большей точности, чем можно было достичь с помощью логарифмической линейки . Превращая умножение и деление в сложение и вычитание, использование логарифмов позволяло избегать трудоемких и подверженных ошибкам умножений и делений на бумаге и карандаше. ^[1] Поскольку логарифмы были настолько полезны, таблицы логарифмов по основанию 10 приводились в приложениях ко многим учебникам. Справочники по математике и навигации также включали таблицы логарифмов тригонометрических функций . ^[6] Для истории таких таблиц см. log table .

Мантисса и характеристика

Важным свойством логарифмов по основанию 10, которое делает их столь полезными в вычислениях, является то, что логарифм чисел больше 1, которые отличаются на коэффициент степени 10, все имеют одинаковую дробную часть . Дробная часть известна как мантисса . [ ^b] Таким образом, в таблицах логарифмов должна быть указана только дробная часть. Таблицы десятичных логарифмов обычно содержат мантиссу с точностью до четырех или пяти десятичных знаков или более для каждого числа в диапазоне, например, от 1000 до 9999.

Целая часть, называемая характеристикой , может быть вычислена простым подсчетом того, на сколько позиций нужно переместить десятичную точку, чтобы она оказалась справа от первой значащей цифры. Например, логарифм числа 120 вычисляется следующим образом:

${\displaystyle \log _{10}(120)=\log _{10}\left(10^{2}\times 1.2\right)=2+\log _{10}(1.2)\approx 2+0.07918.}$

Последнее число (0,07918) — дробная часть или мантисса десятичного логарифма числа 120 — можно найти в представленной таблице. Расположение десятичной точки в числе 120 говорит нам, что целая часть десятичного логарифма числа 120, характеристика, равна 2.

Отрицательные логарифмы

Положительные числа меньше 1 имеют отрицательные логарифмы. Например,

${\displaystyle \log _{10}(0.012)=\log _{10}\left(10^{-2}\times 1.2\right)=-2+\log _{10}(1.2)\approx -2+0.07918=-1.92082.}$

Чтобы избежать необходимости в отдельных таблицах для преобразования положительных и отрицательных логарифмов обратно в их исходные числа, можно выразить отрицательный логарифм как отрицательную целую характеристику плюс положительную мантиссу. Для облегчения этого используется специальная нотация, называемая штриховой нотацией :

${\displaystyle \log _{10}(0.012)\approx {\bar {2}}+0.07918=-1.92082.}$

Черта над характеристикой указывает на то, что она отрицательна, в то время как мантисса остается положительной. При чтении числа в нотации черт вслух символ читается как "черта n ", так что это читается как "черта 2 точка 07918...". Альтернативное соглашение заключается в выражении логарифма по модулю 10, в этом случае ${\displaystyle {\bar {n}}}$ ${\displaystyle {\bar {2}}.07918}$

${\displaystyle \log _{10}(0.012)\approx 8.07918{\bmod {1}}0,}$

с фактическим значением результата расчета, определяемым знанием разумного диапазона результата. ^[c]

В следующем примере используется обозначение стержня для расчета 0,012 × 0,85 = 0,0102:

${\displaystyle {\begin{array}{rll}{\text{As found above,}}&\log _{10}(0.012)\approx {\bar {2}}.07918\\{\text{Since}}\;\;\log _{10}(0.85)&=\log _{10}\left(10^{-1}\times 8.5\right)=-1+\log _{10}(8.5)&\approx -1+0.92942={\bar {1}}.92942\\\log _{10}(0.012\times 0.85)&=\log _{10}(0.012)+\log _{10}(0.85)&\approx {\bar {2}}.07918+{\bar {1}}.92942\\&=(-2+0.07918)+(-1+0.92942)&=-(2+1)+(0.07918+0.92942)\\&=-3+1.00860&=-2+0.00860\;^{*}\\&\approx \log _{10}\left(10^{-2}\right)+\log _{10}(1.02)&=\log _{10}(0.01\times 1.02)\\&=\log _{10}(0.0102).\end{array}}}$

* На этом этапе мантисса находится в диапазоне от 0 до 1, так что ее антилогарифм (10- ^{мантисса} ) можно найти.

В следующей таблице показано, как одну и ту же мантиссу можно использовать для диапазона чисел, отличающихся степенями десяти:

Обратите внимание, что мантисса является общей для всех 5  ×  10 ⁱ . Это справедливо для любого положительного действительного числа  , потому что ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \log _{10}\left(x\times 10^{i}\right)=\log _{10}(x)+\log _{10}\left(10^{i}\right)=\log _{10}(x)+i.}$

Поскольку i — константа, мантисса получается из , которая является константой для заданного . Это позволяет таблице логарифмов включать только одну запись для каждой мантиссы. В примере 5  ×  10 ⁱ , 0,698 970 (004 336 018 ...) будет перечислено после индексации 5 (или 0,5, или 500 и т. д.). ${\displaystyle \log _{10}(x)}$ ${\displaystyle x}$

Числа располагаются на шкалах логарифмической линейки на расстояниях, пропорциональных разнице между их логарифмами. Механически добавляя расстояние от 1 до 2 на нижней шкале к расстоянию от 1 до 3 на верхней шкале, можно быстро определить, что 2  ×  3 = 6 .

История

Обычные логарифмы иногда также называют «логигсовскими логарифмами» в честь Генри Бриггса , британского математика 17-го века. В 1616 и 1617 годах Бриггс посетил Джона Непера в Эдинбурге , изобретателя того, что сейчас называется натуральными (по основанию e ) логарифмами, чтобы предложить изменение логарифмов Непера. Во время этих конференций было согласовано изменение, предложенное Бриггсом; и после его возвращения из второго визита он опубликовал первую тысячу своих логарифмов.

Поскольку логарифмы с основанием 10 были наиболее полезны для вычислений, инженеры обычно просто писали « log( x ) », когда имели в виду log ₁₀ ( x ) . Математики, с другой стороны, писали « log( x ) », когда имели в виду log _e ( x ) для натурального логарифма. Сегодня встречаются обе записи. Поскольку портативные электронные калькуляторы разрабатываются инженерами, а не математиками, стало обычным, чтобы они следовали инженерной записи. Таким образом, запись, согласно которой пишут « ln( x ) », когда подразумевается натуральный логарифм, возможно, получила дальнейшую популяризацию благодаря тому самому изобретению, которое сделало использование «десятичных логарифмов» гораздо менее распространенным, — электронным калькуляторам.

Числовое значение

Клавиши логарифма ( log для основания 10 и ln для основания e ) на типичном научном калькуляторе. Появление ручных калькуляторов в значительной степени исключило использование десятичных логарифмов в качестве вспомогательного средства для вычислений.

Числовое значение логарифма по основанию 10 можно вычислить с помощью следующих тождеств: ^[5]

${\displaystyle \log _{10}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(10)}}\quad }$ или или ${\displaystyle \quad \log _{10}(x)={\frac {\log _{2}(x)}{\log _{2}(10)}}\quad }$ ${\displaystyle \quad \log _{10}(x)={\frac {\log _{B}(x)}{\log _{B}(10)}}\quad }$

с использованием логарифмов любого доступного основания ${\displaystyle \,B~.}$

поскольку существуют процедуры для определения численного значения логарифма по основанию e (см. Натуральный логарифм § Эффективное вычисление ) и логарифма по основанию 2 (см. Алгоритмы вычисления двоичных логарифмов ).

Производный

Производная логарифма по основанию b такова, что ^[8]

${\displaystyle {d \over dx}\log _{b}(x)={1 \over x\ln(b)}}$, так . ${\displaystyle {d \over dx}\log _{10}(x)={1 \over x\ln(10)}}$

Смотрите также

• Двоичный логарифм
• Колорифм
• Децибел
• Логарифмическая шкала
• Неперовский логарифм
• Значимая часть (также обычно называемая мантиссой)

Примечания

1. Обозначение Log неоднозначно, так как оно может также означать сложную натуральную логарифмическую многозначную функцию .
2. Это использование слова «мантисса» происходит от более старого, нечислового, значения: незначительное дополнение или дополнение, например, к тексту. ^{[ требуется ссылка ]} Слово было введено Генри Бриггсом . ^[7] Слово «мантисса» часто используется для описания части числа с плавающей точкой , которая представляет его значимые цифры , хотя термин « значимая » использовался для этого в IEEE 754 и может быть предпочтительным, чтобы избежать путаницы с мантиссами логарифма.
3. Например, Бессель, FW (1825 г.). «Über die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermessungen». Астрономические Нахрихтен . 331 (8): 852–861. arXiv : 0908.1823 . Бибкод : 1825AN......4..241B. дои : 10.1002/asna.18260041601. S2CID  118630614.дает (начало раздела 8) , . Из контекста следует, что , малый радиус земного эллипсоида в туазе (большое число), тогда как , эксцентриситет земного эллипсоида (малое число). ${\displaystyle \log b=6.51335464}$ ${\displaystyle \log e=8.9054355}$ ${\displaystyle b=10^{6.51335464}}$ ${\displaystyle e=10^{8.9054355-10}}$

Ссылки

1. Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (1909). "Глава IV. Логарифмы [23] Десятичные логарифмы". Тригонометрия. Том. Часть I: Плоская тригонометрия. Нью-Йорк: Henry Holt and Company . стр. 31.
2. Эйлер, Леонард ; Спайзер, Андреас ; дю Паскье, Луи Гюстав; Брандт, Генрих ; Трост, Эрнст (1945) [1748]. Спейзер, Андреас (ред.). Введение в Analysin Infinitorum (Часть 2) . 1 (на латыни). Том. 9. Б.Г. Тойбнер . {{cite book}}: |work=проигнорировано ( помощь )
3. Шерффер, П. Кароло (1772). Institutionum Analyticarum Pars Secunda de Calculo Infinitesimali Liber Secundus de Calculo Integrali (на латыни). Том. 2. Йоаннис Томе Ноб. Де Траттнерн. п. 198.
4. "Введение в логарифмы". www.mathsisfun.com . Получено 29-08-2020 .
5. Weisstein, Eric W. "Обыкновенный логарифм". mathworld.wolfram.com . Получено 29-08-2020 .
6. Хедрик, Эрл Рэймонд (1913). Логарифмические и тригонометрические таблицы. Нью-Йорк, США: Macmillan .
7. Шварцман, Стивен (1994-12-31). Слова математики: Этимологический словарь математических терминов на английском языке. Американское математическое общество. стр. 131. ISBN 978-1-61444-501-2.
8. "Производные логарифмических функций". Math24 . 2021-04-14. Архивировано из оригинала 2020-10-01.

Библиография

• Абрамовиц, Милтон ; Стиган, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
• Мёзер, Михаэль (2009). Инженерная акустика: Введение в контроль шума. Springer. стр. 448. ISBN 978-3-540-92722-8.
• Полиянин, Андрей Дмитриевич; Манжиров, Александр Владимирович (2007) [2006-11-27]. Справочник по математике для инженеров и научных работников. CRC Press . С. 9. ISBN 978-1-58488-502-3.