Теория конечной деформации

Математическая модель описания деформации материала под напряжением

В механике сплошной среды теория конечных деформаций , также называемая теорией больших деформаций или теорией больших деформаций , имеет дело с деформациями , при которых деформации и/или вращения достаточно велики, чтобы сделать недействительными предположения, присущие теории бесконечно малых деформаций . При этом недеформированная и деформированная конфигурации континуума существенно различаются, что требует четкого разграничения между ними. Обычно это происходит с эластомерами , пластически деформируемыми материалами и другими жидкостями и биологическими мягкими тканями .

Поле смещения

Рис. 1. Движение сплошного тела.

Перемещение тела имеет две составляющие: перемещение твердого тела и деформацию.

• Перемещение твердого тела состоит из одновременного перемещения и вращения тела без изменения его формы и размера.
• Деформация подразумевает изменение формы и/или размеров тела от исходной или недеформированной конфигурации до текущей или деформированной конфигурации (рис. 1). ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$

Изменение конфигурации сплошного тела можно описать полем смещений . Поле смещений — это векторное поле всех векторов смещений для всех частиц тела, которое связывает деформированную конфигурацию с недеформированной конфигурацией. Расстояние между любыми двумя частицами изменяется тогда и только тогда, когда произошла деформация. Если перемещение происходит без деформации, то это перемещение твердого тела.

Тензор градиента деформации

Рис. 2. Деформация сплошного тела.

Тензор градиента деформации связан как с эталонной, так и с текущей конфигурацией, как видно по единичным векторам и , поэтому это двухточечный тензор . Можно определить два типа тензора градиента деформации. ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{K}\,\!}$

В силу предположения о непрерывности имеет обратную величину , где – тензор градиента пространственной деформации . Тогда по теореме о неявной функции ^[1] определитель Якобиана должен быть неособым , т.е. ${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {F} ^{-1}\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle J(\mathbf {X} ,t)}$ ${\displaystyle J(\mathbf {X} ,t)=\det \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\neq 0}$

Тензор градиента деформации материала — это тензор второго порядка , который представляет собой градиент отображающей функции или функционального отношения , описывающего движение континуума . Тензор градиента деформации материала характеризует локальную деформацию в материальной точке с вектором положения , т. е. деформацию в соседних точках, путем преобразования ( линейного преобразования ) линейного элемента материала, исходящего из этой точки, из эталонной конфигурации в текущую или деформированную конфигурацию, предполагая непрерывность отображающей функции , т.е. дифференцируемая функция и времени , что означает, что трещины и пустоты не открываются и не закрываются во время деформации. Таким образом, мы имеем, ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}}$ ${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {X} \,\!}$ ${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle t\,\!}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} &={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}\,dX_{K}\\&=\nabla \chi (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}=F_{jK}\,dX_{K}\,.\\&=\mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \end{aligned}}}$$

Вектор относительного смещения

Рассмотрим частицу или материальную точку с вектором положения в недеформированной конфигурации (рис. 2). После смещения тела новое положение частицы, указанное в новой конфигурации, задаётся векторным положением . Системы координат недеформированной и деформированной конфигурации для удобства можно совместить. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {X} =X_{I}\mathbf {I} _{I}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}\,\!}$

Рассмотрим теперь материальную точку , соседнюю с вектором положения . В деформированной конфигурации эта частица имеет новое положение, заданное вектором положения . Полагая, что отрезки линий и соединяющие частицы и в недеформированной, и в деформированной конфигурации соответственно очень малы, то мы можем выразить их как и . Таким образом, из рисунка 2 мы имеем ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {X} +\Delta \mathbf {X} =(X_{I}+\Delta X_{I})\mathbf {I} _{I}\,\!}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} \,\!}$ ${\displaystyle \Delta X}$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {x} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle d\mathbf {X} }$ ${\displaystyle d\mathbf {x} \,\!}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} +d\mathbf {x} &=\mathbf {X} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )\\d\mathbf {x} &=\mathbf {X} -\mathbf {x} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )-\mathbf {u} (\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\\end{aligned}}}$$

где – вектор относительного смещения , который представляет собой относительное смещение относительно деформированной конфигурации. ${\displaystyle \mathbf {du} }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

Аппроксимация Тейлора

Для бесконечно малого элемента и при условии непрерывности поля смещения можно использовать разложение в ряд Тейлора вокруг точки , пренебрегая членами более высокого порядка, для аппроксимации компонентов вектора относительного смещения для соседней частицы как ${\displaystyle d\mathbf {X} \,\!}$ ${\displaystyle P\,\!}$ ${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )&=\mathbf {u} (\mathbf {X} )+d\mathbf {u} \quad &{\text{or}}&\quad u_{i}^{*}=u_{i}+du_{i}\\&\approx \mathbf {u} (\mathbf {X} )+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} \quad &{\text{or}}&\quad u_{i}^{*}\approx u_{i}+{\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{J}}}dX_{J}\,.\end{aligned}}}$$

${\displaystyle d\mathbf {x} =d\mathbf {X} +d\mathbf {u} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} &=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\&=d\mathbf {X} +\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} \\&=\left(\mathbf {I} +\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right)d\mathbf {X} \\&=\mathbf {F} d\mathbf {X} \end{aligned}}}$$

Производная по времени градиента деформации

Расчеты, включающие деформацию тела, зависящую от времени, часто требуют расчета производной по времени градиента деформации. Геометрически непротиворечивое определение такой производной требует экскурса в дифференциальную геометрию ^[2] , но в этой статье мы избегаем этих вопросов.

Производная по времени ${\displaystyle \mathbf {F} }$

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]}$$

градиент скорости материала ${\displaystyle \mathbf {V} }$

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t),t)\right]=\left.{\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right]\right|_{\mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}\cdot {\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}={\boldsymbol {l}}\cdot \mathbf {F} }$$

градиент пространственной скорости ${\displaystyle {\boldsymbol {l}}=(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {v} )^{T}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}$

$${\displaystyle \mathbf {F} =e^{{\boldsymbol {l}}\,t}}$$

экспоненты, ${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {1} }$ ${\displaystyle t=0}$

Связанными величинами, часто используемыми в механике сплошной среды, являются тензор скорости деформации и тензор вращения , определяемые соответственно как:

$${\displaystyle {\boldsymbol {d}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}+{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,,~~{\boldsymbol {w}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}-{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,.}$$

завихренность

Производная по времени от обратного градиента деформации материала (с сохранением фиксированной исходной конфигурации) часто требуется в анализах, включающих конечные деформации. Эта производная

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {F} ^{-1}\right)=-\mathbf {F} ^{-1}\cdot {\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}\,.}$$

${\displaystyle \mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} =d\mathbf {X} }$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {X} }}=0}$

Полярное разложение тензора градиента деформации

Рис. 3. Представление полярного разложения градиента деформации

Градиент деформации , как и любой обратимый тензор второго порядка, можно разложить, используя теорему полярного разложения , в произведение двух тензоров второго порядка (Трусделл и Нолл, 1965): ортогонального тензора и положительно определенного симметричного тензора, т.е. , ${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$

$${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {R} \mathbf {U} =\mathbf {V} \mathbf {R} }$$

тензор правого растяжениятензор растяжения«правый»«левый»положительно определеннымисимметричными тензорами ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{-1}=\mathbf {R} ^{T}}$ ${\displaystyle \det \mathbf {R} =+1\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {x} >0}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {V} \cdot \mathbf {x} >0}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {U} =\mathbf {U} ^{T}}$ ${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {V} ^{T}\,\!}$

Это разложение подразумевает, что деформация линейного элемента в недеформированной конфигурации в деформированную конфигурацию, т.е. , может быть получена либо путем сначала растяжения элемента на , т.е. с последующим вращением , т.е. или, что то же самое, сначала применяя жесткое вращение , т. е. , а затем растяжение , т. е. (см. рисунок 3). ${\displaystyle d\mathbf {X} }$ ${\displaystyle d\mathbf {x} }$ ${\displaystyle d\mathbf {x} =\mathbf {F} \,d\mathbf {X} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {U} \,\!}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {U} \,d\mathbf {X} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {R} \,\!}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {R} \,d\mathbf {x} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {R} \,d\mathbf {X} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {V} \,\!}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {V} \,d\mathbf {x} }$

Ввиду ортогональности ${\displaystyle \mathbf {R} }$

$${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {R} ^{T}}$$

собственные значенияглавные протяжениясобственные векторыглавные направления ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ ${\displaystyle \mathbf {N} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{i}\,\!}$

$${\displaystyle \mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} \mathbf {N} _{i}.}$$

Это полярное разложение, уникальное, поскольку оно обратимо с положительным определителем, является следствием сингулярного разложения . ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Трансформация элемента поверхности и объема

Для преобразования величин, определенных относительно площадей в деформированной конфигурации, в величины, относящиеся к площадям в эталонной конфигурации, и наоборот, мы используем соотношение Нансона , выражаемое как

$${\displaystyle da~\mathbf {n} =J~dA~\mathbf {F} ^{-T}\cdot \mathbf {N} }$$

градиент деформации ${\displaystyle da}$ ${\displaystyle dA}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {N} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle J=\det \mathbf {F} \,\!}$

Соответствующая формула преобразования элемента объема имеет вид

$${\displaystyle dv=J~dV}$$

Вывод соотношения Нансона (см. также ^[3] )

Чтобы увидеть, как выводится эта формула, начнем с элементов ориентированной области в эталонной и текущей конфигурациях:

$${\displaystyle d\mathbf {A} =dA~\mathbf {N} ~;~~d\mathbf {a} =da~\mathbf {n} }$$

Референтный и текущий объемы элемента равны

$${\displaystyle dV=d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L} ~;~~dv=d\mathbf {a} ^{T}\cdot d\mathbf {l} }$$

где . ${\displaystyle d\mathbf {l} =\mathbf {F} \cdot d\mathbf {L} \,\!}$

Поэтому,

$${\displaystyle d\mathbf {a} ^{T}\cdot d\mathbf {l} =dv=J~dV=J~d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L} }$$

или,

$${\displaystyle d\mathbf {a} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {L} =dv=J~dV=J~d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L} }$$

так,

$${\displaystyle d\mathbf {a} ^{T}\cdot \mathbf {F} =J~d\mathbf {A} ^{T}}$$

Итак, мы получаем

$${\displaystyle d\mathbf {a} =J~\mathbf {F} ^{-T}\cdot d\mathbf {A} }$$

или,

$${\displaystyle da~\mathbf {n} =J~dA~\mathbf {F} ^{-T}\cdot \mathbf {N} }$$

КЭД

Фундаментальные тензоры деформаций

Тензор деформации определяется ИЮПАК как : ^[4]

«Симметричный тензор, который получается, когда тензор градиента деформации разлагается на тензор вращения, за которым или которому предшествует симметричный тензор».

Поскольку чистое вращение не должно вызывать никаких напряжений в деформируемом теле, в механике сплошной среды часто бывает удобно использовать независимые от вращения меры деформации . Поскольку вращение, за которым следует обратное вращение, не приводит к изменению ( ), мы можем исключить вращение, умножив тензор градиента деформации на его транспонирование . ${\displaystyle \mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}=\mathbf {R} ^{T}\mathbf {R} =\mathbf {I} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

В механике используются несколько независимых от вращения тензоров градиента деформации (или для краткости «тензоров деформации»). В механике твердого тела наиболее популярными из них являются правый и левый тензоры деформации Коши–Грина.

Тензор деформации Коши (правый тензор деформации Коши – Грина)

В 1839 году Джордж Грин ввел тензор деформации, известный как правый тензор деформации Коши – Грина или тензор деформации Грина ( IUPAC рекомендует называть этот тензор тензором деформации Коши ), ^[4] определяемый как:

$${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} =\mathbf {U} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad C_{IJ}=F_{kI}~F_{kJ}={\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{I}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{J}}}.}$$

Физически тензор Коши–Грина дает нам квадрат локального изменения расстояний из-за деформации, т.е. ${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} }$

Инварианты часто используются в выражениях для функций плотности энергии деформации . Наиболее часто используемые инварианты : ${\displaystyle \mathbf {C} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}^{C}&:={\text{tr}}(\mathbf {C} )=C_{II}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}^{C}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {C} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {C} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left[(C_{JJ})^{2}-C_{IK}C_{KI}\right]=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}^{C}&:=\det(\mathbf {C} )=J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}.\end{aligned}}}$$

${\displaystyle J:=\det \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$

Тензор деформации пальца

IUPAC рекомендует ^[4] , чтобы обратный правый тензор деформации Коши-Грина (называемый в этом документе тензором деформации Коши), т.е., назывался тензором деформации Фингера . Однако эта номенклатура не является общепринятой в прикладной механике. ${\displaystyle \mathbf {C} ^{-1}}$

$${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {C} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-1}\mathbf {F} ^{-T}\qquad {\text{or}}\qquad f_{IJ}={\frac {\partial X_{I}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}}$$

Тензор деформации Грина (левый тензор деформации Коши – Грина)

Изменение порядка умножения в формуле для правого тензора деформации Грина – Коши приводит к левому тензору деформации Коши – Грина , который определяется как:

$${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {F} \mathbf {F} ^{T}=\mathbf {V} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad B_{ij}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}}$$

Левый тензор деформации Коши – Грина часто называют тензором деформации Фингера , названным в честь Йозефа Фингера (1894). ^[5]

ИЮПАК рекомендует называть этот тензор тензором деформации Грина . ^[4]

Инварианты используются также в выражениях для функций плотности энергии деформации . Обычные инварианты определяются как ${\displaystyle \mathbf {B} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&:={\text{tr}}(\mathbf {B} )=B_{ii}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {B} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {B} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left(B_{ii}^{2}-B_{jk}B_{kj}\right)=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}&:=\det \mathbf {B} =J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle J:=\det \mathbf {F} }$

Для сжимаемых материалов используется несколько иной набор инвариантов:

$${\displaystyle ({\bar {I}}_{1}:=J^{-2/3}I_{1}~;~~{\bar {I}}_{2}:=J^{-4/3}I_{2}~;~~J\neq 1)~.}$$

Тензор деформации Пиолы (тензор деформации Коши)

Ранее, в 1828 году, ^[6] Огюстен-Луи Коши ввел тензор деформации, определяемый как обратный левому тензору деформации Коши-Грина, . Этот тензор также был назван IUPAC ^[4] тензором деформации Пиолы и тензором Фингера ^[7] в литературе по реологии и гидродинамике. ${\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}\,\!}$

$${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {B} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad c_{ij}={\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{j}}}}$$

Спектральное представление

Если существуют три различных главных участка , спектральное разложение и определяется выражением ${\displaystyle \lambda _{i}\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

$${\displaystyle \mathbf {C} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}}$$

Более того,

$${\displaystyle \mathbf {U} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {V} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}}$$

$${\displaystyle \mathbf {R} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}}$$

Обратите внимание, что

$${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} ~\mathbf {U} ~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~\mathbf {R} ~(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})\otimes (\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})}$$

тензором пространственного растяжениятензором растяжения материала ${\displaystyle \mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i}\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {V} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {U} \,\!}$

Результатом воздействия является растяжение вектора и его поворот в новую ориентацию , т. е. ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {N} _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{i}\,\!}$

$${\displaystyle \mathbf {F} ~\mathbf {N} _{i}=\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}~\mathbf {n} _{i}}$$

$${\displaystyle \mathbf {F} ^{-T}~\mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {n} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{T}~\mathbf {n} _{i}=\lambda _{i}~\mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{-1}~\mathbf {n} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}~.}$$

Примеры

Одноосное растяжение несжимаемого материала

Это тот случай, когда образец растягивается в одном направлении со степенью растяжения . Если объем остается постоянным, сокращение в двух других направлениях таково, что или . Затем: ${\displaystyle \mathbf {\alpha =\alpha _{1}} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}=1} }$ ${\displaystyle \mathbf {\alpha _{2}=\alpha _{3}=\alpha ^{-0.5}} \,\!}$

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\alpha &0&0\\0&\alpha ^{-0.5}&0\\0&0&\alpha ^{-0.5}\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}\alpha ^{2}&0&0\\0&\alpha ^{-1}&0\\0&0&\alpha ^{-1}\end{bmatrix}}}$$

Простой сдвиг

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\\gamma &1+\gamma ^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

Жесткое вращение тела

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}=\mathbf {1} }$$

Производные от растяжения

Производные растяжения относительно правого тензора деформации Коши – Грина используются для вывода соотношений напряжения и деформации многих твердых тел, особенно гиперупругих материалов . Эти производные

$${\displaystyle {\cfrac {\partial \lambda _{i}}{\partial \mathbf {C} }}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {R} ^{T}~(\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i})~\mathbf {R} ~;~~i=1,2,3}$$

$${\displaystyle \mathbf {C} :(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}^{2}~;~~~~{\cfrac {\partial \mathbf {C} }{\partial \mathbf {C} }}={\mathsf {I}}^{(s)}~;~~~~{\mathsf {I}}^{(s)}:(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}.}$$

Физическая интерпретация тензоров деформации

Пусть – декартова система координат, определенная на недеформированном теле, и пусть – другая система, определенная на деформированном теле. Пусть кривая в недеформированном теле параметризована с помощью . Его образ в деформированном теле есть . ${\displaystyle \mathbf {X} =X^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =x^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} (s)}$ ${\displaystyle s\in [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} (s))}$

Недеформированная длина кривой определяется выражением

$${\displaystyle l_{X}=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {I}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}l_{x}&=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)\cdot \left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)}}~ds\\&=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot \left[\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right]\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {C}}:={\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}=\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}}$$

$${\displaystyle l_{x}=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {C}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds}$$

${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$

Тензоры конечных деформаций

Понятие деформации используется для оценки того, насколько данное смещение локально отличается от смещения твердого тела. ^{[1] [8] [9]} Одной из таких деформаций при больших деформациях является лагранжев тензор конечной деформации , также называемый тензором деформации Грина-Лагранжа или тензором деформации Грина-Сент-Венана , определяемый как

$${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )\qquad {\text{or}}\qquad E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)}$$

или как функция тензора градиента смещения

$${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]}$$

$${\displaystyle E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial u_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial u_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial u_{M}}{\partial X_{L}}}\right)}$$

Тензор деформации Грина-Лагранжа является мерой того, насколько сильно отличается от . ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {I} \,\!}$

Эйлеров тензор конечной деформации или тензор конечной деформации Эйлера-Альманси , относящийся к деформированной конфигурации (т. е. эйлерову описанию), определяется как

$${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {c} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {B} ^{-1})\qquad {\text{or}}\qquad e_{rs}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)}$$

или как функция градиентов смещения имеем

$${\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right)}$$

Вывод лагранжевых и эйлеровых тензоров конечной деформации.

Мерой деформации является разность квадратов элемента дифференциальной линии , в недеформированной конфигурации, и , в деформированной конфигурации (рис. 2). Деформация произошла, если разница не равна нулю, в противном случае произошло твердотельное смещение. Таким образом, мы имеем, ${\displaystyle d\mathbf {X} \,\!}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} \,\!}$

$${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} -d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad (dx)^{2}-(dX)^{2}=dx_{j}dx_{j}-dX_{M}\,dX_{M}}$$

В лагранжевом описании, использующем материальные координаты в качестве системы отсчета, линейное преобразование между дифференциальными линиями равно

$${\displaystyle d\mathbf {x} ={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\,d\mathbf {X} =\mathbf {F} \,d\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{M}}}\,dX_{M}}$$

Тогда у нас есть,

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}&=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} \\&=\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} \end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}(dx)^{2}&=dx_{j}\,dx_{j}\\&={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}\,dX_{K}\,dX_{L}\\&=C_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}\\\end{aligned}}}$$

где – компоненты правого тензора деформации Коши–Грина , . Затем, заменив это уравнение на первое уравнение, получим: ${\displaystyle C_{KL}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} \,\!}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} -d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot (\mathbf {C} -\mathbf {I} )\cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {E} \cdot d\mathbf {X} \\\end{aligned}}}$$

или

$${\displaystyle {\begin{aligned}(dx)^{2}-(dX)^{2}&={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}\,dX_{K}\,dX_{L}-dX_{M}\,dX_{M}\\&=\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)\,dX_{K}\,dX_{L}\\&=2E_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}\end{aligned}}}$$

где , – компоненты тензора второго порядка, называемого тензором деформаций Грина – Сен-Венана или лагранжевым тензором конечной деформации , ${\displaystyle E_{KL}\,\!}$

$${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )\qquad {\text{or}}\qquad E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)}$$

В эйлеровом описании, использующем пространственные координаты в качестве системы отсчета, линейное преобразование между дифференциальными линиями имеет вид

$${\displaystyle d\mathbf {X} ={\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial \mathbf {x} }}d\mathbf {x} =\mathbf {F} ^{-1}\,d\mathbf {x} =\mathbf {H} \,d\mathbf {x} \qquad {\text{or}}\qquad dX_{M}={\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}}$$

где – компоненты тензора градиента пространственных деформаций , . Таким образом, мы имеем ${\displaystyle {\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{n}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} \,\!}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \\&=\mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \cdot \mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot \mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot \mathbf {c} \cdot d\mathbf {x} \end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}(dX)^{2}&=dX_{M}\,dX_{M}\\&={\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=c_{rs}\,dx_{r}\,dx_{s}\\\end{aligned}}}$$

где тензор второго порядка называется тензором деформации Коши , . Тогда у нас есть, ${\displaystyle c_{rs}}$ ${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\,\!}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} -d\mathbf {x} \cdot \mathbf {c} \cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot (\mathbf {I} -\mathbf {c} )\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot 2\mathbf {e} \cdot d\mathbf {x} \\\end{aligned}}}$$

или

$${\displaystyle {\begin{aligned}(dx)^{2}-(dX)^{2}&=dx_{j}\,dx_{j}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=2e_{rs}\,dx_{r}\,dx_{s}\end{aligned}}}$$

где , – компоненты тензора второго порядка, называемого тензором конечной деформации Эйлера-Альманси , ${\displaystyle e_{rs}\,\!}$

$${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {c} )\qquad {\text{or}}\qquad e_{rs}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)}$$

Как лагранжев, так и эйлеров тензоры конечной деформации удобно выражать через тензор градиента смещения . Для тензора деформации Лагранжа сначала мы дифференцируем вектор смещения по координатам материала , чтобы получить тензор градиента смещения материала : ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)}$ ${\displaystyle X_{M}}$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)&=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\mathbf {F} -\mathbf {I} \\\mathbf {F} &=\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +\mathbf {I} \\\end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}u_{i}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}\\\delta _{iJ}U_{J}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}\\x_{i}&=\delta _{iJ}\left(U_{J}+X_{J}\right)\\{\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}&=\delta _{iJ}\left({\frac {\partial U_{J}}{\partial X_{K}}}+\delta _{JK}\right)\\&={\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}+\delta _{iK}\end{aligned}}}$$

Подставив это уравнение в выражение для лагранжева тензора конечной деформации, получим

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} -\mathbf {I} \right)\\&={\frac {1}{2}}\left[\left\{(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\mathbf {I} \right\}\left(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +\mathbf {I} \right)-\mathbf {I} \right]\\&={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]\\\end{aligned}}}$$

или

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{KL}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left[\delta _{jM}\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\delta _{jN}\left({\frac {\partial U_{N}}{\partial X_{L}}}+\delta _{NL}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[\delta _{MN}\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\left({\frac {\partial U_{N}}{\partial X_{L}}}+\delta _{NL}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}+\delta _{ML}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}\right)\end{aligned}}}$$

Аналогично, тензор конечной деформации Эйлера-Альманси можно выразить как

$${\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right)}$$

Семейство обобщенных тензоров деформации Сета – Хилла

Б. Р. Сет из Индийского технологического института Харагпура был первым, кто показал, что тензоры деформации Грина и Альманси являются частными случаями более общей меры деформации . ^{[10] [11]} Идея была далее развита Родни Хиллом в 1968 году. ^[12] Семейство мер деформации Сета – Хилла (также называемое тензорами Дойла-Эриксена) ^[13] может быть выражено как

$${\displaystyle \mathbf {E} _{(m)}={\frac {1}{2m}}(\mathbf {U} ^{2m}-\mathbf {I} )={\frac {1}{2m}}\left[\mathbf {C} ^{m}-\mathbf {I} \right]}$$

Для разных значений имеем: ${\displaystyle m}$

• Тензор деформации Грина-Лагранжа
  $${\displaystyle \mathbf {E} _{(1)}={\frac {1}{2}}(\mathbf {U} ^{2}-\mathbf {I} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )}$$
• Тензор деформации Био
  $${\displaystyle \mathbf {E} _{(1/2)}=(\mathbf {U} -\mathbf {I} )=\mathbf {C} ^{1/2}-\mathbf {I} }$$
• Логарифмическая деформация, естественная деформация, истинная деформация или деформация Хенки.
  $${\displaystyle \mathbf {E} _{(0)}=\ln \mathbf {U} ={\frac {1}{2}}\,\ln \mathbf {C} }$$
• Штамм Альманси
  $${\displaystyle \mathbf {E} _{(-1)}={\frac {1}{2}}\left[\mathbf {I} -\mathbf {U} ^{-2}\right]}$$

Второе приближение этих тензоров есть

$${\displaystyle \mathbf {E} _{(m)}={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\tfrac {1}{2}}(\nabla \mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla \mathbf {u} -(1-m){\boldsymbol {\varepsilon }}^{T}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}}$$

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

Допускаются многие другие различные определения тензоров при условии, что все они удовлетворяют условиям: ^[14] ${\displaystyle \mathbf {E} }$

• ${\displaystyle \mathbf {E} }$исчезает при всех движениях твердого тела
• зависимость от тензора градиента смещения непрерывна, непрерывно дифференцируема и монотонна ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \nabla \mathbf {u} }$
• желательно также, чтобы норма сводилась к бесконечно малому тензору деформаций ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ ${\displaystyle |\nabla \mathbf {u} |\to 0}$

Примером может служить набор тензоров

$${\displaystyle \mathbf {E} ^{(n)}=\left({\mathbf {U} }^{n}-{\mathbf {U} }^{-n}\right)/2n}$$

^[15] ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle n}$

Физическая интерпретация тензора конечных деформаций

Диагональные компоненты лагранжева тензора конечной деформации связаны с нормальной деформацией, например ${\displaystyle E_{KL}}$

$${\displaystyle E_{11}=e_{(\mathbf {I} _{1})}+{\frac {1}{2}}e_{(\mathbf {I} _{1})}^{2}}$$

где – нормальная деформация или инженерная деформация в направлении . ${\displaystyle e_{(\mathbf {I} _{1})}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{1}\,\!}$

Недиагональные компоненты лагранжева тензора конечной деформации связаны с деформацией сдвига, например ${\displaystyle E_{KL}}$

$${\displaystyle E_{12}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2E_{11}+1}}{\sqrt {2E_{22}+1}}\sin \phi _{12}}$$

где - изменение угла между двумя элементами линии, которые изначально были перпендикулярны направлениям и соответственно. ${\displaystyle \phi _{12}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{2}\,\!}$

При определенных обстоятельствах, т. е. малых смещениях и малых скоростях смещения, компоненты лагранжева тензора конечной деформации могут быть аппроксимированы компонентами тензора бесконечно малых деформаций.

Вывод физической интерпретации лагранжева и эйлерова тензоров конечной деформации.

Коэффициент растяжения дифференциального элемента (рисунок) в направлении единичного вектора в материальной точке в недеформированной конфигурации определяется как ${\displaystyle d\mathbf {X} =dX\mathbf {N} }$ ${\displaystyle \mathbf {N} }$ ${\displaystyle P\,\!}$

$${\displaystyle \Lambda _{(\mathbf {N} )}={\frac {dx}{dX}}}$$

где – величина деформации дифференциального элемента . ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle d\mathbf {X} \,\!}$

Аналогично, коэффициент растяжения дифференциального элемента (рис.) в направлении единичного вектора в материальной точке в деформированной конфигурации определяется как ${\displaystyle d\mathbf {x} =dx\mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle p\,\!}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\Lambda _{(\mathbf {n} )}}}={\frac {dX}{dx}}}$$

Квадрат коэффициента растяжения определяется как

$${\displaystyle \Lambda _{(\mathbf {N} )}^{2}=\left({\frac {dx}{dX}}\right)^{2}}$$

Знаю это

$${\displaystyle (dx)^{2}=C_{KL}dX_{K}dX_{L}}$$

у нас есть

$${\displaystyle \Lambda _{(\mathbf {N} )}^{2}=C_{KL}N_{K}N_{L}}$$

где и – единичные векторы. ${\displaystyle N_{K}}$ ${\displaystyle N_{L}}$

Нормальную деформацию или техническую деформацию в любом направлении можно выразить как функцию коэффициента растяжения: ${\displaystyle e_{\mathbf {N} }}$ ${\displaystyle \mathbf {N} }$

$${\displaystyle e_{(\mathbf {N} )}={\frac {dx-dX}{dX}}=\Lambda _{(\mathbf {N} )}-1}$$

Таким образом, нормальная деформация в направлении материальной точки может быть выражена через коэффициент растяжения как ${\displaystyle \mathbf {I} _{1}}$ ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e_{(\mathbf {I} _{1})}={\frac {dx_{1}-dX_{1}}{dX_{1}}}&=\Lambda _{(\mathbf {I} _{1})}-1\\&={\sqrt {C_{11}}}-1={\sqrt {\delta _{11}+2E_{11}}}-1\\&={\sqrt {1+2E_{11}}}-1\end{aligned}}}$$

решение, потому что у нас есть ${\displaystyle E_{11}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}2E_{11}&={\frac {(dx_{1})^{2}-(dX_{1})^{2}}{(dX_{1})^{2}}}\\E_{11}&=\left({\frac {dx_{1}-dX_{1}}{dX_{1}}}\right)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {dx_{1}-dX_{1}}{dX_{1}}}\right)^{2}\\&=e_{(\mathbf {I} _{1})}+{\frac {1}{2}}e_{(\mathbf {I} _{1})}^{2}\end{aligned}}}$$

Деформация сдвига или изменение угла между двумя линейными элементами , изначально перпендикулярными и ориентированными в главных направлениях и соответственно, также может быть выражена как функция степени растяжения. Из скалярного произведения между деформированными линиями мы имеем ${\displaystyle d\mathbf {X} _{1}}$ ${\displaystyle d\mathbf {X} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{2}\,\!}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} _{1}}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} _{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} _{1}\cdot d\mathbf {x} _{2}&=dx_{1}dx_{2}\cos \theta _{12}\\\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}&={\sqrt {d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{1}}}\cdot {\sqrt {d\mathbf {X} _{2}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}}}\cos \theta _{12}\\{\frac {d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}}{dX_{1}dX_{2}}}&={\frac {{\sqrt {d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{1}}}\cdot {\sqrt {d\mathbf {X} _{2}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}}}}{dX_{1}dX_{2}}}\cos \theta _{12}\\\mathbf {I} _{1}\cdot \mathbf {C} \cdot \mathbf {I} _{2}&=\Lambda _{\mathbf {I} _{1}}\Lambda _{\mathbf {I} _{2}}\cos \theta _{12}\end{aligned}}}$$

где – угол между линиями и в деформированной конфигурации. Определяя деформацию сдвига или уменьшение угла между двумя линейными элементами, которые изначально были перпендикулярны, мы имеем ${\displaystyle \theta _{12}}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} _{1}}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} _{2}}$ ${\displaystyle \phi _{12}}$

$${\displaystyle \phi _{12}={\frac {\pi }{2}}-\theta _{12}}$$

таким образом,

$${\displaystyle \cos \theta _{12}=\sin \phi _{12}}$$

затем

$${\displaystyle \mathbf {I} _{1}\cdot \mathbf {C} \cdot \mathbf {I} _{2}=\Lambda _{\mathbf {I} _{1}}\Lambda _{\mathbf {I} _{2}}\sin \phi _{12}}$$

или

$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{12}&={\sqrt {C_{11}}}{\sqrt {C_{22}}}\sin \phi _{12}\\2E_{12}+\delta _{12}&={\sqrt {2E_{11}+1}}{\sqrt {2E_{22}+1}}\sin \phi _{12}\\E_{12}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {2E_{11}+1}}{\sqrt {2E_{22}+1}}\sin \phi _{12}\end{aligned}}}$$

Условия совместимости

Проблема совместимости в механике сплошной среды предполагает определение допустимых однозначных непрерывных полей на телах. Эти допустимые условия оставляют тело без нефизических зазоров и перекрытий после деформации. Большинство таких условий применимо к односвязным телам. Дополнительные условия необходимы для внутренних границ многосвязных тел.

Совместимость градиента деформации

Необходимые и достаточные условия существования совместного поля над односвязным телом таковы: ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {0}}}$$

Совместимость правого тензора деформации Коши–Грина.

Необходимые и достаточные условия существования совместного поля над односвязным телом таковы: ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$

$${\displaystyle R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }:={\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }]-{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\gamma }]+\,_{(X)}\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-\,_{(X)}\Gamma _{\mu \beta }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }=0}$$

тензора кривизны Римана – Кристоффеля ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$

Совместимость левого тензора деформации Коши – Грина

Общие достаточные условия для левого тензора деформации Коши – Грина в трехмерном пространстве были получены Амитом Ачарьей. ^[16] Условия совместимости для двумерных полей были найдены Джанет Блюм. ^[17] ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$

Смотрите также

• Бесконечно малая деформация
• Совместимость (механика)
• Криволинейные координаты
• Тензор напряжений Пиолы–Кирхгофа , тензор напряжений для конечных деформаций.
• Стрессовые меры
• Деформационное разделение

Рекомендации

1. Люблинер, Джейкоб (2008). Теория пластичности (PDF) (пересмотренная ред.). Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-46290-5. Архивировано из оригинала (PDF) 31 марта 2010 г.
2. А. Явари, Дж. Э. Марсден и М. Ортис, О пространственных и материальных ковариантных законах баланса в упругости, Журнал математической физики, 47, 2006, 042903; стр. 1–53.
3. Эдуардо де Соуза Нето; Джордже Перич; Оуэнс, Дэвид (2008). Методы расчета пластичности: теория и приложения . Чичестер, Западный Суссекс, Великобритания: Wiley. п. 65. ИСБН 978-0-470-69452-7.
4. А. Кэй, RFT Stepto, WJ Work, JV Aleman (Испания), А.Я. Малкин (1998). «Определение терминов, относящихся к непредельным механическим свойствам полимеров». Чистое приложение. Хим . 70 (3): 701–754. дои : 10.1351/pac199870030701 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
5. Эдуардо Н. Дворкин, Марсела Б. Гольдшмит, Нелинейные континуумы, 2006 г., с. 25, ISBN Спрингера 3-540-24985-0 . 
6. Йирасек, Милан; Бажант, З.П. (2002) Неупругий анализ конструкций, Wiley, с. 463 ISBN 0-471-98716-6 
7. Дж. Н. Редди, Дэвид К. Гартлинг (2000) Метод конечных элементов в теплопередаче и гидродинамике, с. 317, ISBN CRC Press 1-4200-8598-0 . 
8. Беличко, Тед; Лю, Винг Кам; Моран, Брайан (2000). Нелинейные конечные элементы для непрерывных сред и структур (переиздание с исправлениями, изд. 2006 г.). John Wiley & Sons Ltd., стр. 92–94. ISBN 978-0-471-98773-4.
9. Зейди, Махди; Ким, Чун Ил (2018). «Механика упругого твердого тела, армированного двунаправленным волокном, в эластостатике конечной плоскости: полный анализ». Механика сплошной среды и термодинамика . 30 (3): 573–592. Бибкод : 2018CMT....30..573Z. дои : 10.1007/s00161-018-0623-0. ISSN  1432-0959. S2CID  253674037.
10. Сет, Б. Р. (1961), «Обобщенная мера деформации с применением к физическим проблемам», Технический сводный отчет MRC № 248 , Центр математических исследований, Армия США, Университет Висконсина: 1–18, заархивировано из оригинала 22 августа, 2013
11. Сет, Б.Р. (1962), «Обобщенная мера деформации с применением к физическим проблемам», Симпозиум IUTAM по эффектам второго порядка в упругости, пластичности и механике жидкости, Хайфа, 1962.
12. Хилл, Р. (1968), «О материальных неравенствах для простых материалов — I», Журнал механики и физики твердого тела , 16 (4): 229–242, Бибкод : 1968JMPSo..16..229H, doi : 10.1016/0022-5096(68)90031-8
13. TC Дойл и Дж. Л. Эриксен (1956). «Нелинейная эластичность». Достижения прикладной механики 4, 53–115.
14. З. П. Бажант и Л. Седолин (1991). Устойчивость структур. Теории упругого, неупругого разрушения, разрушения и повреждения. Оксфордский университет. Пресс, Нью-Йорк (2-е изд. Dover Publ., Нью-Йорк, 2003 г.; 3-е изд., World Scientific 2010).
15. З. П. Бажант (1998). «Легкие для вычисления тензоры с симметричной обратной аппроксимацией конечной деформации Хенки и ее скорости». Журнал технологических материалов ASME , 120 (апрель), 131–136.
16. Ачарья, А. (1999). «Об условиях совместимости левого поля деформации Коши – Грина в трех измерениях» (PDF) . Журнал эластичности . 56 (2): 95–105. дои : 10.1023/А: 1007653400249. S2CID  116767781.
17. Блюм, JA (1989). «Условия совместимости для левого поля деформаций Коши – Грина». Журнал эластичности . 21 (3): 271–308. дои : 10.1007/BF00045780. S2CID  54889553.

дальнейшее чтение

• Дилл, Эллис Гарольд (2006). Механика сплошных сред: упругость, пластичность, вязкоупругость. Германия: CRC Press. ISBN 0-8493-9779-0.
• Дмитриенко, Юрий (2011). Нелинейная механика сплошной среды и большие неупругие деформации. Германия: Шпрингер. ISBN 978-94-007-0033-8.
• Хаттер, Колумбан; Клаус Йонк (2004). Непрерывные методы физического моделирования. Германия: Шпрингер. ISBN 3-540-20619-1.
• Лубарда, Владо А. (2001). Теория упругопластичности. ЦРК Пресс. ISBN 0-8493-1138-1.
• Макоско, CW (1994). Реология: принципы, измерения и приложения . Издательство ВЧ. ISBN 1-56081-579-5.
• Мейс, Джордж Э. (1970). Механика сплошной среды. МакГроу-Хилл Профессионал. ISBN 0-07-040663-4.
• Мейс, Дж. Томас; Джордж Э. Мейс (1999). Механика сплошных сред для инженеров (второе изд.). ЦРК Пресс. ISBN 0-8493-1855-6.
• Немат-Насер, Сиа (2006). Пластичность: трактат о конечной деформации неоднородных неупругих материалов. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-83979-3.
• Рис, Дэвид (2006). Базовая инженерная пластичность – введение в инженерные и производственные приложения. Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 0-7506-8025-3.

Внешние ссылки

• Заметки профессора Амита Ачарьи о совместимости на iMechanica