Нормальный конус

В алгебраической геометрии нормальный конус подсхемы схемы — это схема, аналогичная нормальному расслоению или трубчатой ​​окрестности в дифференциальной геометрии.

Определение

Нормальный конус C _X Y или вложения i : X → Y , определяемый некоторым пучком идеалов I , определяется как относительная спецификация ${\displaystyle C_{X/Y}}$ $${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}\left(\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}\right).}$$

Если вложение i регулярно , то нормальный конус является нормальным расслоением, векторным расслоением на X, соответствующим двойственному пучку I / I ² .

Если X — точка, то нормальный конус и нормальное расслоение к нему также называются касательным конусом и касательным пространством ( касательным пространством Зарисского ) к точке. Когда Y = Spec R является аффинным, определение означает, что нормальный конус к X = Spec R / I является Spec ассоциированного градуированного кольца R относительно I.

Если Y — это произведение X × X , а вложение i — это диагональное вложение , то нормальное расслоение к X в Y — это касательное расслоение к X.

Нормальный конус (или, скорее, его проективный кузен) появляется в результате раздутия. А именно, пусть будет раздутием Y вдоль X . Тогда, по определению, исключительный дивизор — это прообраз ; который является проективным конусом . Таким образом, $${\displaystyle \pi :\operatorname {Bl} _{X}Y=\operatorname {Proj} _{Y}\left(\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}\right)\to Y}$$ ${\displaystyle E=\pi ^{-1}(X)}$ ${\textstyle \bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}\otimes _{{\mathcal {O}}_{Y}}{\mathcal {O}}_{X}=\bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$ $${\displaystyle E=\mathbb {P} (C_{X}Y).}$$

Глобальные сечения нормального расслоения классифицируют вложенные бесконечно малые деформации Y в X ; существует естественная биекция между множеством замкнутых подсхем Y × _k D , плоских над кольцом D дуальных чисел и имеющих X в качестве специального слоя, и H ⁰ ( X , N _X Y ). ^[1]

Характеристики

Композиции регулярных вложений

Если — регулярные вложения , то — регулярное вложение и существует естественная точная последовательность векторных расслоений на X : ^[2] ${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y,\,j:Y\hookrightarrow Z}$ ${\displaystyle j\circ i}$ $${\displaystyle 0\to N_{X/Y}\to N_{X/Z}\to i^{*}N_{Y/Z}\to 0.}$$

Если являются регулярными вложениями коразмерностей и если является регулярным вложением коразмерности , то ^[2] В частности, если является гладким морфизмом , то нормальное расслоение к диагональному вложению ( r -кратное) является прямой суммой r − 1 копий относительного касательного расслоения . ${\displaystyle Y_{i}\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\textstyle W:=\bigcap _{i}Y_{i}\hookrightarrow X}$ $${\displaystyle \sum c_{i}}$$ $${\displaystyle N_{W/X}=\bigoplus _{i}N_{Y_{i}/X}|_{W}.}$$ ${\displaystyle X\to S}$ $${\displaystyle \Delta :X\hookrightarrow X\times _{S}\cdots \times _{S}X}$$ ${\displaystyle T_{X/S}}$

Если — замкнутое погружение и если — плоский морфизм такой, что , то ^{[3] [ необходима ссылка ]} ${\displaystyle X\hookrightarrow X'}$ ${\displaystyle Y'\to Y}$ ${\displaystyle X'=X\times _{Y}Y'}$ $${\displaystyle C_{X'/Y'}=C_{X/Y}\times _{X}X'.}$$

Если — гладкий морфизм и — регулярное вложение, то существует естественная точная последовательность векторных расслоений на X : ^[4] (которая является частным случаем точной последовательности для кокасательных пучков ). ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$ $${\displaystyle 0\to T_{X/S}\to T_{Y/S}|_{X}\to N_{X/Y}\to 0,}$$

декартов квадрат

Для декартова квадрата схем с вертикальным отображением существует замкнутое вложение нормальных конусов. $${\displaystyle {\begin{matrix}X'&\to &Y'\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &Y\end{matrix}}}$$ ${\displaystyle f:X'\to X}$ $${\displaystyle C_{X'/Y'}\hookrightarrow f^{*}C_{X/Y}}$$

Размеры компонентов

Пусть будет схемой конечного типа над полем и замкнутой подсхемой. Если имеет чистую размерность r ; т. е. каждый неприводимый компонент имеет размерность r , то также имеет чистую размерность r . ^[5] (Это можно рассматривать как следствие #Деформации к нормальному конусу.) Это свойство является ключом к применению в теории пересечений: если задана пара замкнутых подсхем в некотором окружающем пространстве, в то время как схемно-теоретическое пересечение имеет неприводимые компоненты различных размерностей, тонко зависящих от положений , нормальный конус к имеет чистую размерность. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W\subset X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{W/X}}$ ${\displaystyle V,X}$ ${\displaystyle V\cap X}$ ${\displaystyle V,X}$ ${\displaystyle V\cap X}$

Примеры

Пусть — эффективный дивизор Картье. Тогда нормальное расслоение к нему (или, что эквивалентно, нормальный конус к нему) равно ^[6] ${\displaystyle D\hookrightarrow X}$ $${\displaystyle N_{D/X}={\mathcal {O}}_{D}(D):={\mathcal {O}}_{X}(D)|_{D}.}$$

Нерегулярное вложение

Рассмотрим нерегулярное вложение ^{[7] : 4–5} , тогда мы можем вычислить нормальный конус, сначала наблюдая Если мы создадим вспомогательные переменные , то получим соотношение Мы можем использовать это, чтобы дать представление нормального конуса как относительного спектра Поскольку является аффинным, мы можем просто записать относительный спектр как аффинную схему, дающую нам нормальный конус. $${\displaystyle X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xz,yz)}}\right)\to \mathbb {A} ^{3}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}I&=(xz,yz)\\I^{2}&=(x^{2}z^{2},xyz^{2},y^{2}z^{2})\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle a=xz}$ ${\displaystyle b=yz}$ $${\displaystyle ya-xb=0.}$$ $${\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}={\text{Spec}}_{X}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{X}[a,b]}{(ya-xb)}}\right)}$$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{3}}$ $${\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z][a,b]}{(xz,yz,ya-xb)}}\right)}$$

Геометрия этого нормального конуса

Геометрию нормального конуса можно дополнительно изучить, рассмотрев волокна для различных замкнутых точек . Обратите внимание, что геометрически представляет собой объединение -плоскости с -осью , поэтому интересующие нас точки - это гладкие точки на плоскости, гладкие точки на оси и точка на их пересечении. Любая гладкая точка на плоскости задается отображением для и либо или . Поскольку произвольно, какую точку мы возьмем, для удобства предположим . Следовательно, волокно в точке изоморфно заданию нормального конуса в виде одномерной линии, как и ожидалось. Для точки на оси это задается отображением , поэтому волокно в точке - это , которое задает плоскость. В начале координат нормальный конус над этой точкой снова изоморфен . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle X=H\cup L}$$ $${\displaystyle {\begin{matrix}x\mapsto z_{1}&y\mapsto z_{2}&z\mapsto 0\end{matrix}}}$$ ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z_{1}\neq 0}$ ${\displaystyle z_{2}\neq 0}$ ${\displaystyle z_{1}\neq 0,z_{2}=0}$ ${\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}}$ ${\displaystyle p=(z_{1},0,0)}$ $${\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}|_{p}\cong {\frac {\mathbb {C} [a,b]}{(z_{1}b)}}\cong \mathbb {C} [a]}$$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}x\mapsto 0&y\mapsto 0&z\mapsto z_{3}\end{matrix}}}$$ ${\displaystyle q=(0,0,z_{3})}$ $${\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}|_{q}\cong {\frac {\mathbb {C} [a,b]}{(0)}}\cong \mathbb {C} [a,b]}$$ ${\displaystyle r=(0,0,0)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [a,b]}$

Узловой кубический

Для узловой кубической кривой, заданной полиномом над , и точки в узле, конус имеет изоморфизм, показывающий, что нормальный конус имеет больше компонентов, чем схема, над которой он лежит. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y^{2}+x^{2}(x-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle C_{X/Y}\cong {\text{Spec}}\left(\mathbb {C} [x,y]/\left(y^{2}-x^{2}\right)\right)}$$

Деформация к нормальному конусу

Предположим, что есть вложение. Это может быть деформировано до вложения внутри нормального конуса (как нулевого сечения) в следующем смысле: ^{[7] : 6} существует плоское семейство с общим слоем и специальным слоем, такое, что существует семейство замкнутых вложений над таким, что ${\displaystyle i:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{X/Y}}$ $${\displaystyle \pi :M_{X/Y}^{o}\to \mathbb {P} ^{1}}$$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C_{X/Y}}$ $${\displaystyle X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M_{X/Y}^{o}}$$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

1. Над любой точкой соответствующие вложения являются вложениями ${\displaystyle t\in \mathbb {P} ^{1}-\{0\}}$ ${\displaystyle X\times \{t\}\hookrightarrow Y}$
2. Волокно над ним представляет собой вложение, заданное нулевым сечением. ${\displaystyle 0\in \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle X\hookrightarrow C_{X/Y}}$

Эта конструкция определяет инструмент, аналогичный дифференциальной топологии, где нетрансверсальные пересечения выполняются в трубчатой ​​окрестности пересечения. Теперь пересечение с циклом в может быть задано как pushforward пересечения с pullback в . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle C_{X/Y}}$

Строительство

Одним из приложений этого является определение произведений пересечений в кольце Чжоу . Предположим, что X и V являются замкнутыми подсхемами Y с пересечением W , и мы хотим определить произведение пересечений X и V в кольце Чжоу Y . Деформация к нормальному конусу в этом случае означает, что мы заменяем вложения X и W в Y и V их нормальными конусами C _Y ( X ) и C _W ( V ), так что мы хотим найти произведение X и C _W V в C _X Y . Это может быть намного проще: например, если X регулярно вложено в Y , то его нормальный конус является векторным расслоением, поэтому мы сводимся к задаче нахождения произведения пересечений подсхемы C _W V векторного расслоения C _X Y с нулевым сечением X . Однако это произведение пересечений просто задается применением изоморфизма Гайсина к C _W V .

Конкретно, деформация к нормальному конусу может быть построена с помощью раздутия. Точнее, пусть будет раздутием вдоль . Исключительный дивизор — это , проективное пополнение нормального конуса; для обозначения, используемого здесь, см. Конус (алгебраическая геометрия) § Свойства . Нормальный конус является открытой подсхемой и вложен как нулевое сечение в . $${\displaystyle \pi :M\to Y\times \mathbb {P} ^{1}}$$ ${\displaystyle Y\times \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle X\times 0}$ ${\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}=\mathbb {P} (C_{X}Y\oplus 1)}$ ${\displaystyle C_{X}Y}$ ${\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{X}Y}$

Теперь отметим:

1. Карта , а затем и проекция, плоская. ${\displaystyle \rho :M\to \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \pi }$
2. Существует индуцированное замкнутое вложение , которое является морфизмом над . $${\displaystyle {\widetilde {i}}:X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M}$$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$
3. M тривиально вдали от нуля; т.е. и ограничивается тривиальным вложением ${\displaystyle \rho ^{-1}(\mathbb {P} ^{1}-0)=Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0)}$ ${\displaystyle {\widetilde {i}}}$ $${\displaystyle X\times (\mathbb {P} ^{1}-0)\hookrightarrow Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0).}$$
4. ${\displaystyle \rho ^{-1}(0)}$поскольку делитель представляет собой сумму , где представляет собой раздутие Y вдоль X и рассматривается как эффективный делитель Картье. $${\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}+{\widetilde {Y}}}$$ ${\displaystyle {\widetilde {Y}}}$
5. Так как делители и пересекаются в точке , где находится в бесконечности в . ${\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {Y}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (C)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (C)}$ ${\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}}$

Пункт 1 ясен (проверьте отсутствие кручения). В общем случае, учитывая , имеем . Так как уже является эффективным делителем Картье на , то получаем , что дает . Пункт 3 следует из того факта, что отображение сдувания π является изоморфизмом вдали от центра . Последние два пункта видны из явного локального вычисления. QED ${\displaystyle X\subset Y}$ ${\displaystyle \operatorname {Bl} _{V}X\subset \operatorname {Bl} _{V}Y}$ ${\displaystyle X\times 0}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {P} ^{1}}$ $${\displaystyle X\times \mathbb {P} ^{1}=\operatorname {Bl} _{X\times 0}X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M,}$$ ${\displaystyle {\widetilde {i}}}$ ${\displaystyle X\times 0}$

Теперь последний пункт в предыдущем абзаце подразумевает, что образ в M не пересекает . Таким образом, мы получаем деформацию i к вложению X с нулевым сечением в нормальный конус. ${\displaystyle X\times 0}$ ${\displaystyle {\widetilde {Y}}}$

Внутренний нормальный конус

Внутреннее нормальное расслоение

Пусть будет локально стеком Делиня–Мамфорда конечного типа над полем . Если обозначает кокасательный комплекс X относительно , ​​то внутреннее нормальное расслоение ^{[8] : 27} к является фактор -стеком , который является стеком fppf - торсоров на . Конкретную интерпретацию этого фактор-стека можно дать, рассмотрев его поведение локально в этальном топосе стека . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\textbf {L}}_{X}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{X}:=h^{1}/h^{0}({\textbf {L}}_{X,{\text{fppf}}}^{\vee })}$$ ${\displaystyle {\textbf {L}}_{X}^{\vee ,0}}$ ${\displaystyle {\textbf {L}}_{X}^{\vee ,1}}$ ${\displaystyle X}$

Свойства внутреннего нормального расслоения

Более конкретно, предположим, что существует этальный морфизм из аффинной конечного типа -схемы вместе с локально замкнутым погружением в гладкую аффинную конечного типа -схему . Тогда можно показать , что мы можем понимать внутреннее нормальное расслоение как стековое воплощение для неточности нормальной последовательности в правой части. Более того, для особых случаев, обсуждаемых ниже, мы теперь рассматриваем фактор как продолжение предыдущей последовательности как треугольника в некоторой триангулированной категории. Это потому, что локальное стековое факторное можно интерпретировать как в определенных случаях. ${\displaystyle U\to X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f:U\to M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{X}|_{U}=[N_{U/M}/f^{*}T_{M}]}$$ $${\displaystyle {\mathcal {T}}_{U}\to {\mathcal {T}}_{M}|_{U}\to {\mathcal {N}}_{U/M}}$$ ${\displaystyle [N_{U/M}/f^{*}T_{M}]}$ $${\displaystyle B{\mathcal {T}}_{U}={\mathcal {T}}_{U}[+1]}$$

Нормальный конус

Внутренний нормальный конус к , обозначаемый как , ^{[8] : 29} затем определяется путем замены нормального расслоения на нормальный конус ; т.е., ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X}}$ ${\displaystyle N_{U/M}}$ ${\displaystyle C_{U/M}}$ $${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X}|_{U}=[C_{U/M}/f^{*}T_{M}].}$$

Пример : Имеем, что является локальным полным пересечением тогда и только тогда, когда . В частности, если является гладким , то является классифицирующим стеком касательного расслоения , которое является коммутативной групповой схемой над . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X}={\mathfrak {N}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X}={\mathfrak {N}}_{X}=BT_{X}}$ ${\displaystyle T_{X}}$ ${\displaystyle X}$

В более общем случае пусть является морфизмом типа Делиня-Мамфорда (DM-типа) стеков Артина, который локально имеет конечный тип. Тогда характеризуется как замкнутый подстек, такой что для любого этальнаго отображения, для которого факторы проходят через некоторое гладкое отображение (например, ), пулбэк равен: ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X/Y}\subseteq {\mathfrak {N}}_{X/Y}}$ ${\displaystyle U\to X}$ ${\displaystyle U\to X\to Y}$ ${\displaystyle M\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{Y}^{n}\to Y}$ $${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X/Y}|_{U}=[C_{U/M}/T_{M/Y}|_{U}].}$$

Смотрите также

• абелев конус
• класс Сегре
• Остаточное пересечение
• Виртуальный фундаментальный класс

Примечания

1. Хартсхорн 1977, стр. Гл. III, Упражнение 9.7..
2. Fulton 1998, стр. Приложение B.7.4..
3. Фултон 1998, стр. Первая часть доказательства теоремы 6.5.
4. Фултон 1998, стр. Приложение B 7.1..
5. Фултон 1998, стр. Приложение B. 6.6..
6. Фултон 1998, стр. Приложение B.6.2..
7. Баттистелла, Лука; Кароччи, Франческа; Манолаке, Кристина (2020-04-09). «Виртуальные классы для работающих математиков». Симметрия, интегрируемость и геометрия: методы и приложения . arXiv : 1804.06048 . doi : 10.3842/SIGMA.2020.026 .
8. Беренд, К.; Фантечи, Б. (19 марта 1997 г.). «Внутренний нормальный конус». Математические изобретения . 128 (1): 45–88. arXiv : alg-geom/9601010 . дои : 10.1007/s002220050136. ISSN  0020-9910. S2CID  18533009.

Ссылки

• Беренд, К.; Фантечи, Б. (1 марта 1997 г.). «Внутренний нормальный конус». Математические изобретения . 128 (1): 45–88. arXiv : alg-geom/9601010 . дои : 10.1007/s002220050136. ISSN  0020-9910. S2CID  18533009.
• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Фолге., т. 3. Фолге. 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, г-н  1644323
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157

Внешние ссылки

• Волокна нормального конуса