Диагональная форма

Тип однородного полинома

В математике диагональная форма — это алгебраическая форма ( однородный полином ) без перекрестных членов, включающих различные неопределённые . То есть это

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}{x_{i}}^{m}\ }$

для некоторой заданной степени m .

Такие формы F и гиперповерхности F = 0, которые они определяют в проективном пространстве , являются очень специальными в геометрических терминах и обладают множеством симметрий. Они также включают такие известные случаи, как кривые Ферма и другие примеры, хорошо известные в теории диофантовых уравнений .

По их теории разработано очень многое: алгебраическая геометрия , локальные дзета-функции через суммы Якоби , метод круга Харди-Литтлвуда .

Примеры

${\displaystyle X^{2}+Y^{2}-Z^{2}=0}$— единичная окружность в P ²

${\displaystyle X^{2}-Y^{2}-Z^{2}=0}$— единичная гипербола в P ² .

${\displaystyle x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=0}$дает кубическую поверхность Ферма в P ³ с 27 линиями. 27 строк в этом примере легко описать явно: это 9 строк вида ( x  : ax  : y  : by ), где a и b — фиксированные числа с кубом −1, и 18 их сопряженных при перестановках координат.

${\displaystyle x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}=0}$дает поверхность K3 в P ³ .

Рекомендации