Диаграмма Ван Кампена

В математической области геометрической теории групп диаграмма Ван Кампена (иногда также называемая диаграммой Линдона–Ван Кампена ^{[1] [2] [3]} ) — это плоская диаграмма, используемая для представления того факта, что определенное слово в генераторах группы, заданной представлением группы, представляет собой элемент идентичности в этой группе.

История

Понятие диаграммы Ван Кампена было введено Эгбертом ван Кампеном в 1933 году. ^[4] Эта статья появилась в том же выпуске American Journal of Mathematics, что и другая статья Ван Кампена, где он доказал то, что сейчас известно как теорема Зейферта–Ван Кампена . ^[5] Основной результат статьи о диаграммах Ван Кампена, теперь известный как лемма Ван Кампена, может быть выведен из теоремы Зейферта–Ван Кампена, путем применения последней к комплексу представления группы. ^[6] Однако Ван Кампен не заметил этого в то время, и этот факт был явным только гораздо позже (см., например, ^[7] ). Диаграммы Ван Кампена оставались недостаточно используемым инструментом в теории групп в течение примерно тридцати лет, вплоть до появления теории малых сокращений в 1960-х годах, где диаграммы Ван Кампена играют центральную роль. ^[8] В настоящее время диаграммы Ван Кампена являются стандартным инструментом в геометрической теории групп . Они используются, в частности, для изучения изопериметрических функций в группах и их различных обобщений, таких как изодиаметрические функции, функции длины заполнения и т. д.

Формальное определение

Определения и обозначения, приведенные ниже, в значительной степени соответствуют Линдону и Шуппу. ^[9]

Позволять

${\displaystyle G=\langle A|R\,\rangle }$   (†)

будет групповым представлением , где все r ∈ R являются циклически приведенными словами в свободной группе F ( A ). Алфавит A и множество определяющих соотношений R часто предполагаются конечными, что соответствует конечному групповому представлению , но это предположение не является необходимым для общего определения диаграммы Ван Кампена. Пусть R _∗ будет симметризованным замыканием R , то есть пусть R _∗ получено из R путем сложения всех циклических перестановок элементов R и их обратных.

Диаграмма Ван Кампена над представлением (†) представляет собой плоский конечный клеточный комплекс , заданный с помощью определенного вложения со следующими дополнительными данными и удовлетворяющий следующим дополнительным свойствам: ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,}$

1. Сложное связано и просто связано . ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$
2. Каждое ребро (одна ячейка) помечено стрелкой и буквой a ∈ A. ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$
3. Некоторая вершина (нуль-ячейка), принадлежащая топологической границе, указывается как базовая вершина . ${\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,}$
4. Для каждой области (двухъячеечной) , для каждой вершины на граничном цикле этой области и для каждого из двух вариантов направления (по часовой стрелке или против часовой стрелки) метка граничного цикла области, считываемая из этой вершины и в этом направлении, является свободно сокращенным словом в F ( A ), которое принадлежит R _∗ . ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Таким образом, 1-скелет представляет собой конечный связный планарный граф Γ, вложенный в , а двухъячейки являются в точности ограниченными дополнительными областями для этого графа. ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$

По выбору R _∗ условие 4 эквивалентно требованию, чтобы для каждой области существовала некоторая граничная вершина этой области и некоторый выбор направления (по часовой стрелке или против часовой стрелки) такой, что граничная метка области, считываемая из этой вершины и в этом направлении , свободно редуцируется и принадлежит R. ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$

Диаграмма Ван Кампена также имеет граничный цикл , обозначаемый , который является ребром-путем в графе Γ, соответствующим обходу по часовой стрелке вдоль границы неограниченной дополнительной области Γ , начиная и заканчивая базовой вершиной . Метка этого граничного цикла — это слово w в алфавите A  ∪  A ⁻¹ (которое не обязательно свободно сокращается) , которое называется граничной меткой . ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$ ${\displaystyle \partial {\mathcal {D}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$

Дополнительная терминология

• Диаграмма Ван Кампена называется дисковой диаграммой , если является топологическим диском, то есть когда каждое ребро является граничным ребром некоторой области и когда не имеет вершин сочленения. ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$
• Диаграмма Ван Кампена называется нередуцированной , если существует пара редукций в , то есть пара различных областей , таких, что их граничные циклы имеют общее ребро и таких, что их граничные циклы, читаемые начиная с этого ребра, по часовой стрелке для одной из областей и против часовой стрелки для другой, равны как слова в A  ∪  A ⁻¹ . Если такой пары областей не существует, называется редуцированной . ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$
• Число областей (двухъячейковых ) называется площадью обозначенной . ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$ ${\displaystyle {\rm {Area}}({\mathcal {D}})\,}$

В общем случае диаграмма Ван Кампена имеет «кактусоподобную» структуру, в которой один или несколько дисковых компонентов соединены дугами (возможно, вырожденными), см. рисунок ниже:

Пример

На следующем рисунке показан пример диаграммы Ван Кампена для свободной абелевой группы ранга два.

${\displaystyle G=\langle a,b|aba^{-1}b^{-1}\rangle .}$

Граничной меткой этой диаграммы является слово

${\displaystyle w=b^{-1}b^{3}a^{-1}b^{-2}ab^{-1}ba^{-1}ab^{-1}ba^{-1}a.}$

Площадь этой диаграммы равна 8.

Лемма Ван Кампена

Ключевым базовым результатом теории является так называемая лемма Ван Кампена ^[9], которая утверждает следующее:

1. Пусть — диаграмма Ван Кампена над представлением (†) с граничной меткой w , которая является словом (не обязательно свободно сокращенным) в алфавите A  ∪  A ⁻¹ . Тогда w = 1 в G. ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$
2. Пусть w — свободно сокращенное слово в алфавите A  ∪  A ^−1, такое что w = 1 в G. Тогда существует сокращенная диаграмма Ван Кампена над представлением (†), граничная метка которой свободно сокращена и равна w . ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$

Набросок доказательства

Сначала заметим, что для элемента w  ∈  F ( A ) мы имеем w  = 1 в G тогда и только тогда, когда w принадлежит нормальному замыканию R в F ( A ) , то есть тогда и только тогда, когда w можно представить в виде

${\displaystyle w=u_{1}s_{1}u_{1}^{-1}\cdots u_{n}s_{n}u_{n}^{-1}{\text{ in }}F(A),}$   (♠)

где n  ≥ 0 и где si _∈ R _∗ для i  =   1, ...,  n .

Часть 1 леммы Ван Кампена доказывается индукцией по области . Индуктивный шаг состоит в «отслаивании» одной из граничных областей для получения диаграммы Ван Кампена с граничным циклом w и наблюдении, что в F ( A ) мы имеем ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'\,}$

${\displaystyle w=usu^{-1}w',\,}$

где s ∈ R _∗ — граничный цикл области, которая была удалена для получения из . ${\displaystyle {\mathcal {D}}'\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$

Доказательство второй части леммы Ван Кампена более сложное. Во-первых, легко видеть, что если w свободно редуцируется и w  = 1 в G, то существует некоторая диаграмма Ван Кампена с граничной меткой w ₀ такой, что w  =  w ₀ в F ( A ) (после возможного свободного редуцирования w ₀ ). А именно, рассмотрим представление w в виде (♠) выше. Затем сделаем так, чтобы было клином из n «леденцов» со «стеблями», помеченными u _{i ,} и с «конфетами» (2-ячейками), помеченными s _i . Тогда граничная метка — это слово w ₀ такое, что w  =  w ₀ в F ( A ). Однако возможно, что слово w ₀ не является свободно редуцируемым. Затем начинаем выполнять «складывающиеся» ходы, чтобы получить последовательность диаграмм Ван Кампена , делая их граничные метки все более и более свободно редуцируемыми и гарантируя, что на каждом шаге граничная метка каждой диаграммы в последовательности равна w в F ( A ). Последовательность заканчивается через конечное число шагов диаграммой Ван Кампена, граничная метка которой свободно сокращается и, таким образом, равна w как слову. Диаграмма не может быть сокращена. Если это произойдет, мы можем удалить пары сокращения из этой диаграммы с помощью простой операции хирургии, не затрагивая граничную метку. В конечном итоге это дает сокращенную диаграмму Ван Кампена, граничный цикл которой свободно сокращается и равен w . ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0},{\mathcal {D}}_{1},{\mathcal {D}}_{2},\dots \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{k}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{k}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$

Усиленная версия леммы Ван Кампена

Более того, приведенное выше доказательство показывает, что заключение леммы Ван Кампена можно усилить следующим образом. ^[9] Часть 1 можно усилить, сказав, что если — диаграмма Ван Кампена площади n с граничной меткой w , то существует представление (♠) для w как произведения в F ( A ) ровно n сопряженных элементов из R _∗ . Часть 2 можно усилить, сказав, что если w свободно приведен и допускает представление (♠) как произведения в F ( A ) n сопряженных элементов из R _∗ , то существует приведенная диаграмма Ван Кампена с граничной меткой w и площадью не более n . ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$

Функции Дена и изопериметрические функции

Область слова, представляющая личность

Пусть w  ∈  F ( A ) таково, что w  = 1 в G. Тогда площадь w , обозначаемая Area( w ), определяется как минимум площадей всех диаграмм Ван Кампена с граничными метками w (лемма Ван Кампена утверждает , что существует по крайней мере одна такая диаграмма).

Можно показать, что площадь w может быть эквивалентно определена как наименьшее n ≥0 такое, что существует представление (♠), выражающее w как произведение в F ( A ) n сопряженных чисел определяющих соотношений.

Изопериметрические функции и функции Дена

Неотрицательная монотонная неубывающая функция f ( n ) называется изопериметрической функцией для представления (†), если для каждого свободно сокращенного слова w такого, что w  = 1 в G, мы имеем

${\displaystyle {\rm {Area}}(w)\leq f(|w|),}$

где | w | — длина слова w .

Предположим теперь, что алфавит A в (†) конечен. Тогда функция Дена для (†) определяется как

${\displaystyle {\rm {Dehn}}(n)=\max\{{\rm {Area}}(w):w=1{\text{ in }}G,|w|\leq n,w{\text{ freely reduced}}.\}}$

Легко видеть, что Dehn( n ) является изопериметрической функцией для (†) и, более того, если f ( n ) является любой другой изопериметрической функцией для (†), то Dehn( n ) ≤  f ( n ) для любого n  ≥ 0.

Пусть w  ∈  F ( A ) — свободно сокращенное слово, такое что w  = 1 в G. Диаграмма Ван Кампена с граничной меткой w называется минимальной , если минимальные диаграммы Ван Кампена являются дискретными аналогами минимальных поверхностей в римановой геометрии . ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$ ${\displaystyle {\rm {Area}}({\mathcal {D}})={\rm {Area}}(w).}$

Обобщения и другие приложения

• Существует несколько обобщений диаграмм Ван-Кампена, где вместо того, чтобы быть плоской, связной и односвязной (что означает быть гомотопически эквивалентной диску), диаграмма нарисована на или гомотопически эквивалентна некоторой другой поверхности. Оказывается, что существует тесная связь между геометрией поверхности и некоторыми групповыми теоретическими понятиями. Особенно важным из них является понятие кольцевой диаграммы Ван Кампена , которая гомотопически эквивалентна кольцу . Кольцевые диаграммы, также известные как диаграммы сопряженности , могут использоваться для представления сопряженности в группах , заданных групповыми представлениями . ^[9] Также сферические диаграммы Ван Кампена связаны с несколькими версиями теоретико-групповой асферичности и с гипотезой Уайтхеда об асферичности , ^[10] диаграммы Ван Кампена на торе связаны с коммутирующими элементами, диаграммы на вещественной проективной плоскости связаны с инволюциями в группе, а диаграммы на бутылке Клейна связаны с элементами, которые сопряжены со своими собственными обратными.
• Диаграммы Ван Кампена являются центральными объектами в теории малых сокращений, разработанной Гриндлингером, Линдоном и Шуппом в 1960-х-1970-х годах. ^{[9] [11]} Теория малых сокращений имеет дело с групповыми представлениями , где определяющие отношения имеют «малые перекрытия» друг с другом. Это условие отражено в геометрии редуцированных диаграмм Ван Кампена над малыми представлениями сокращений, вызывая определенные виды неположительно искривленного или отрицательно cn искривленного поведения. Такое поведение дает полезную информацию об алгебраических и алгоритмических свойствах малых групп сокращений, в частности, относительно проблем слова и сопряженности. Теория малых сокращений была одним из ключевых предшественников геометрической теории групп , которая возникла как отдельная математическая область в конце 1980-х годов и остается важной частью геометрической теории групп .
• Диаграммы Ван Кампена играют ключевую роль в теории гиперболических групп, введенной Громовым в 1987 году. ^[12] В частности, оказывается, что конечно определенная группа является гиперболической тогда и только тогда, когда она удовлетворяет линейному изопериметрическому неравенству. Более того, существует изопериметрический пробел в возможном спектре изопериметрических функций для конечно определенных групп: для любой конечно определенная группа либо является гиперболической и удовлетворяет линейному изопериметрическому неравенству, либо функция Дена является по крайней мере квадратичной. ^{[13] [14]}
• Изучение изопериметрических функций для конечно представленных групп стало важной общей темой в геометрической теории групп , где произошел существенный прогресс. Много работы было направлено на построение групп с «дробными» функциями Дена (то есть, с функциями Дена, являющимися полиномами нецелой степени). ^[15] В работах Рипса , Ольшанского, Биргета и Сапира ^{[16] [17]} исследовались связи между функциями Дена и функциями временной сложности машин Тьюринга и было показано, что произвольная «разумная» временная функция может быть реализована (с точностью до соответствующей эквивалентности) как функция Дена некоторой конечно представленной группы.
• Различные стратифицированные и релятивизированные версии диаграмм Ван Кампена также были исследованы в этой теме. В частности, стратифицированная версия теории малых сокращений, разработанная Ольшанским, привела к построению различных групповых теоретико-теоретических «монстров», таких как монстр Тарского , ^[18] и геометрических решений проблемы Бернсайда для периодических групп с большим показателем. ^{[19] [20]} Относительные версии диаграмм Ван Кампена (относительно набора подгрупп) были использованы Осиным для разработки подхода изопериметрических функций к теории относительно гиперболических групп . ^[21]

Смотрите также

• Геометрическая теория групп
• Презентация группы
• Теорема Зейферта–Ван Кампена

Основные ссылки

• Александр Ю. Ольшанский. Геометрия определяющих соотношений в группах. Перевод с русского оригинала 1989 г. Ю. А. Бахтурина. Математика и ее приложения (советская серия), 70. Kluwer Academic Publishers Group, Дордрехт, 1991. ISBN  0-7923-1394-1
• Роджер К. Линдон и Пол Э. Шупп. Комбинаторная теория групп. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 2001. Серия «Classics in Mathematics», переиздание издания 1977 года. ISBN 978-3-540-41158-1 ; Гл. V. Малая теория сокращения. С. 235–294. 

Сноски

1. Б. Файн и Г. Розенбергер, «Свобода и ее расширения. Математическое наследие Вильгельма Магнуса: группы, геометрия и специальные функции» (Бруклин, Нью-Йорк, 1992), 213–252, Contemp. Math., 169, Amer. Math. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 1994
2. IG Lysenok, and AG Myasnikov, A polynomial bound for solutions of squareatic conditions in free groups. Труды Матем. ин-та МИАН 274 (2011), Алгоритмические вопросы алгебры и логики, 148-190; перевод в Труды Матем. ин-та МИАН 274 (2011), № 1, 136-173
3. Б. Файн, А. Гальоне, А. Мясников, Г. Розенбергер и Д. Спеллман, Элементарная теория групп. Руководство по доказательствам гипотез Тарского. De Gruyter Expositions in Mathematics, 60. De Gruyter, Берлин, 2014. ISBN 978-3-11-034199-7 
4. Э. ван Кампен. О некоторых леммах в теории групп. American Journal of Mathematics . т. 55, (1933), стр. 268–273.
5. Э. Р. ван Кампен. О связи между фундаментальными группами некоторых родственных пространств . American Journal of Mathematics, т. 55 (1933), стр. 261–267.
6. Приглашения в Геометрию и Топологию. Oxford Graduate Texts in Mathematics. Оксфорд, Нью-Йорк: Oxford University Press. 2003. ISBN 9780198507727.
7. Александр Юрьевич Ольшанский. Геометрия определяющих соотношений в группах. Перевод с русского оригинала 1989 г. Ю. А. Бахтурина. Математика и ее приложения (советская серия), 70. Kluwer Academic Publishers Group, Дордрехт, 1991. ISBN 0-7923-1394-1 . 
8. Брюс Чандлер и Вильгельм Магнус . История комбинаторной теории групп. Пример из истории идей. Исследования по истории математики и физических наук, 9. Springer-Verlag , Нью-Йорк, 1982. ISBN 0-387-90749-1 . 
9. Роджер К. Линдон и Пол Э. Шупп . Комбинаторная теория групп. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 2001. Серия «Classics in Mathematics», переиздание издания 1977 года. ISBN 978-3-540-41158-1 ; Гл. V. Теория малых сокращений. С. 235–294. 
10. Ян М. Чизуэлл, Дональд Дж. Коллинз и Йоханнес Хюбшманн. Презентации асферических групп. Mathematische Zeitschrift, vol. 178 (1981), вып. 1, стр. 1–36.
11. Мартин Гриндлингер. Алгоритм Дена для решения текстовой задачи. Сообщения по чистой и прикладной математике, т. 13 (1960), стр. 67–83.
12. М. Громов. Гиперболические группы . Очерки по теории групп (ред. GM Gersten), MSRI Publ. 8, 1987, стр. 75–263; ISBN 0-387-96618-8 . 
13. Мишель Коорнат, Томас Дельзан, Атанас Пападопулос, Геометрия и теория групп: гиперболические группы Громова . Конспекты лекций по математике, вып. 1441, Springer-Verlag , Берлин, 1990. ISBN 3-540-52977-2 . 
14. BH Bowditch. Краткое доказательство того, что субквадратичное изопериметрическое неравенство влечет линейное. Michigan Mathematical Journal, т. 42 (1995), № 1, стр. 103–107.
15. MR Bridson, Дробные изопериметрические неравенства и искажение подгрупп. Журнал Американского математического общества , т. 12 (1999), № 4, стр. 1103–1118.
16. М. Сапир, Ж.-К. Бирже, Э. Рипс, Изопериметрические и изодиаметрические функции групп. Annals of Mathematics (2), т. 156 (2002), № 2, стр. 345–466.
17. Ж.-К. Бирже, Александр Юрьевич Ольшанский, Э. Рипс, М. Сапир, Изопериметрические функции групп и вычислительная сложность проблемы слов, Annals of Mathematics (2), т. 156 (2002), № 2, стр. 467–518.
18. Ольсанский, А. Ю. (1979). Бесконечные группы с циклическими подгруппами[Бесконечные группы с циклическими подгруппами] // Доклады Академии наук СССР . 245 (4): 785–787.
19. А. Ю. Ольшанский, Об одном геометрическом методе в комбинаторной теории групп, Труды Международного конгресса математиков, т. 1, 2 (Варшава, 1983), стр. 415–424, PWN, Варшава, 1984.
20. С. В. Иванов. Свободные группы Бернсайда достаточно больших экспонент. International Journal of Algebra and Computation, т. 4 (1994), № 1-2.
21. Денис В. Осин. Относительно гиперболические группы: внутренняя геометрия, алгебраические свойства и алгоритмические проблемы. Мемуары Американского математического общества 179 (2006), № 843.

Внешние ссылки

• Диаграммы Ван Кампена из архивов Дэвида А. Джексона