Пересечение двух множеств- Объединение двух множеств
- Симметричная разность двух множеств
- Относительное дополнение A ( слева) к B (справа)
- Абсолютное дополнение A в U
Диаграмма Венна — широко используемый стиль диаграмм , показывающий логическую связь между множествами , популяризированный Джоном Венном (1834–1923) в 1880-х годах. Диаграммы используются для обучения элементарной теории множеств и для иллюстрации простых отношений множеств в теории вероятностей , логике , статистике , лингвистике и информатике . Диаграмма Венна использует простые замкнутые кривые, нарисованные на плоскости, для представления множеств. Очень часто эти кривые представляют собой окружности или эллипсы.
Похожие идеи предлагались и до Веннона, например, Христианом Вайзе в 1712 году ( Nucleus Logicoe Wiesianoe ) и Леонардом Эйлером ( Письма к немецкой принцессе ) в 1768 году. Эта идея была популяризирована Венном в «Символической логике» , глава V «Диаграммное представление», опубликованной в 1881 году.
Диаграмма Венна, также называемая диаграммой множеств или логической диаграммой , показывает все возможные логические отношения между конечным набором различных множеств. Эти диаграммы изображают элементы как точки на плоскости, а множества как области внутри замкнутых кривых. Диаграмма Венна состоит из нескольких перекрывающихся замкнутых кривых, обычно кругов, каждая из которых представляет множество. Точки внутри кривой, обозначенной S, представляют элементы множества S , в то время как точки за пределами границы представляют элементы, не входящие в множество S. Это поддается интуитивной визуализации; например, множество всех элементов, которые являются членами обоих множеств S и T , обозначаемое S ∩ T и читаемое как «пересечение S и T », визуально представлено областью перекрытия областей S и T. [ 1]
В диаграммах Венна кривые перекрываются всеми возможными способами, показывая все возможные отношения между множествами. Таким образом, они являются частным случаем диаграмм Эйлера , которые не обязательно показывают все отношения. Диаграммы Венна были придуманы около 1880 года Джоном Венном. Они используются для обучения элементарной теории множеств, а также для иллюстрации простых отношений множеств в теории вероятности, логике, статистике, лингвистике и информатике.
Диаграмма Венна, в которой площадь каждой фигуры пропорциональна числу содержащихся в ней элементов, называется пропорциональной площади (или масштабированной ) диаграммой Венна .
В этом примере задействованы два набора существ, представленных здесь в виде цветных кругов. Оранжевый круг представляет все типы существ, у которых есть две ноги. Синий круг представляет существа, которые могут летать. Каждый отдельный тип существ можно представить как точку где-то на диаграмме. Живые существа, у которых есть две ноги и которые могут летать, например, попугаи, находятся в обоих наборах, поэтому они соответствуют точкам в области, где пересекаются синий и оранжевый круги. Эта перекрывающаяся область будет содержать только те элементы (в этом примере существа), которые являются членами как оранжевого набора (двуногие существа), так и синего набора (летающие существа).
Люди и пингвины двуногие, поэтому находятся в оранжевом круге, но поскольку они не умеют летать, они появляются в левой части оранжевого круга, где он не пересекается с синим кругом. Комары умеют летать, но у них шесть, а не две ноги, поэтому точка для комаров находится в той части синего круга, которая не пересекается с оранжевым. Существа, которые не являются ни двуногими, ни умеют летать (например, киты и пауки), будут представлены точками за пределами обоих кругов.
Объединенная область двух множеств называется их объединением , обозначаемым как A ∪ B , где A — оранжевый круг, а B — синий. Объединение в этом случае содержит всех живых существ, которые либо двуногие, либо умеют летать (или и то, и другое). Область, входящая в A и B, где два множества перекрываются, называется пересечением A и B, обозначаемым как A ∩ B.
Диаграммы Венна были введены в 1880 году Джоном Венном в статье под названием «О диаграммном и механическом представлении предложений и рассуждений» [2] в Philosophical Magazine and Journal of Science [3] , посвященной различным способам представления предложений с помощью диаграмм. [4] [5] [6] Использование этих типов диаграмм в формальной логике , по мнению Фрэнка Раски и Марка Уэстона, предшествовало Венну, но «справедливо ассоциируется» с ним, поскольку он «всесторонне обследовал и формализовал их использование и был первым, кто обобщил их». [7]
Диаграммы перекрывающихся окружностей, представляющих объединения и пересечения, были введены каталонским философом Рамоном Луллием (ок. 1232–1315/1316) в 13 веке, который использовал их для иллюстрации комбинаций основных принципов. [8] Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) создал похожие диаграммы в 17 веке (хотя большая часть этой работы не была опубликована), как и Иоганн Христиан Ланге в работе 1712 года, описывающей вклад Кристиана Вайзе в логику. [9] [8] Диаграммы Эйлера , которые похожи на диаграммы Венна, но не обязательно содержат все возможные объединения и пересечения, впервые стали известны математику Леонарду Эйлеру в 18 веке. [примечание 1] [10] [11]
Венн не использовал термин «диаграмма Венна» и называл эту концепцию «кругами Эйлера». [6] Он познакомился с диаграммами Эйлера в 1862 году и писал, что диаграммы Венна не приходили ему в голову «гораздо позже», когда он пытался адаптировать диаграммы Эйлера к булевой логике . [12] В первом предложении своей статьи 1880 года Венн писал, что диаграммы Эйлера были единственным схематическим представлением логики, получившим «какое-либо общее признание». [4] [5]
Венн рассматривал свои диаграммы как педагогический инструмент, аналогичный проверке физических концепций посредством эксперимента. В качестве примера их применения он отметил, что диаграмма из трех множеств может показать силлогизм : «Все A есть некоторое B. Ни одно B не есть никакое C. Следовательно, ни одно A не есть никакое C ». [12]
Чарльз Л. Доджсон (Льюис Кэрролл) включает «Метод диаграмм Венна», а также «Метод диаграмм Эйлера» в «Приложение, адресованное учителям» своей книги «Символическая логика» (4-е издание, опубликовано в 1896 году). Термин «диаграмма Венна» позже был использован Кларенсом Ирвингом Льюисом в 1918 году в его книге «Обзор символической логики» . [7] [13]
В 20 веке диаграммы Венна получили дальнейшее развитие. Дэвид Уилсон Хендерсон показал в 1963 году, что существование n -диаграммы Венна с n -кратной вращательной симметрией подразумевает, что n является простым числом . [14] Он также показал, что такие симметричные диаграммы Венна существуют, когда n равно пяти или семи. В 2002 году Питер Гамбургер нашел симметричные диаграммы Венна для n = 11, а в 2003 году Григгс, Киллиан и Сэвидж показали, что симметричные диаграммы Венна существуют для всех остальных простых чисел. Эти объединенные результаты показывают, что вращательно-симметричные диаграммы Венна существуют, если и только если n является простым числом. [15]
Диаграммы Венна и Эйлера были включены в обучение теории множеств как часть нового математического движения в 1960-х годах. С тех пор они также были приняты в учебную программу других областей, таких как чтение. [16]
Диаграммы Венна широко использовались в мемах . [17] По крайней мере один политик был высмеян за неправильное использование диаграмм Венна. [18]
Диаграмма Венна строится с помощью набора простых замкнутых кривых, нарисованных на плоскости. Согласно Льюису, [13] «принцип этих диаграмм заключается в том, что классы [или множества ] должны быть представлены областями в таком отношении друг к другу, что все возможные логические отношения этих классов могут быть указаны на одной и той же диаграмме. То есть, диаграмма изначально оставляет место для любого возможного отношения классов, а фактическое или заданное отношение затем может быть указано путем указания того, что некоторая конкретная область является нулевой или ненулевой». [13] : 157
Диаграммы Венна обычно состоят из перекрывающихся кругов . Внутренняя часть круга символически представляет элементы множества, в то время как внешняя часть представляет элементы, которые не являются членами множества. Например, в двухмножественной диаграмме Венна один круг может представлять группу всех деревянных предметов, в то время как другой круг может представлять набор всех столов. Перекрывающаяся область, или пересечение , тогда будет представлять набор всех деревянных столов. Формы, отличные от кругов, могут использоваться, как показано ниже, собственными высшими диаграммами множеств Венна. Диаграммы Венна, как правило, не содержат информации об относительных или абсолютных размерах ( мощности ) множеств. То есть, они представляют собой схематические диаграммы, как правило, нарисованные не в масштабе.
Диаграммы Венна похожи на диаграммы Эйлера. Однако диаграмма Венна для n наборов компонентов должна содержать все 2 n гипотетически возможных зон, которые соответствуют некоторой комбинации включения или исключения в каждом из наборов компонентов. [19] Диаграммы Эйлера содержат только фактически возможные зоны в данном контексте. В диаграммах Венна заштрихованная зона может представлять пустую зону, тогда как в диаграмме Эйлера соответствующая зона отсутствует на диаграмме. Например, если один набор представляет молочные продукты , а другой — сыры , диаграмма Венна содержит зону для сыров, которые не являются молочными продуктами. Предполагая, что в контексте сыр означает некоторый тип молочного продукта, диаграмма Эйлера имеет сырную зону, полностью содержащуюся в зоне молочных продуктов — нет зоны для (несуществующего) немолочного сыра. Это означает, что по мере увеличения числа контуров диаграммы Эйлера, как правило, визуально менее сложны, чем эквивалентная диаграмма Венна, особенно если число непустых пересечений мало. [20]
Разницу между диаграммами Эйлера и Венна можно увидеть в следующем примере. Возьмем три набора:
Диаграммы Эйлера и Венна этих множеств следующие:
Диаграммы Венна обычно представляют два или три множества, но существуют формы, которые допускают большее число. Показанные ниже четыре пересекающиеся сферы образуют диаграмму Венна наивысшего порядка, которая имеет симметрию симплекса и может быть визуально представлена. 16 пересечений соответствуют вершинам тессеракта ( или ячейкам 16-ячеечного , соответственно).
Для большего числа множеств неизбежна некоторая потеря симметрии в диаграммах. Венн стремился найти «симметричные фигуры... элегантные сами по себе» [10] , которые представляли бы большее число множеств, и он разработал элегантную диаграмму из четырех множеств с использованием эллипсов (см. ниже). Он также дал конструкцию для диаграмм Венна для любого числа множеств, где каждая последующая кривая, ограничивающая множество, перемежается с предыдущими кривыми, начиная с диаграммы из трех кругов.
Энтони Уильям Фэрбэнк Эдвардс построил ряд диаграмм Венна для большего числа множеств, сегментируя поверхность сферы, которые стали известны как диаграммы Эдвардса–Венна. [21] Например, три множества можно легко представить, взяв три полушария сферы под прямым углом ( x = 0, y = 0 и z = 0). Четвертый набор можно добавить к представлению, взяв кривую, похожую на шов на теннисном мяче, который закручивается вверх и вниз вокруг экватора, и так далее. Полученные множества затем можно спроецировать обратно на плоскость, чтобы получить диаграммы зубчатого колеса с увеличивающимся числом зубцов — как показано здесь. Эти диаграммы были придуманы во время проектирования витража в память о Венне. [21]
Диаграммы Эдвардса–Венна топологически эквивалентны диаграммам, разработанным Бранко Грюнбаумом , которые были основаны на пересекающихся многоугольниках с увеличивающимся числом сторон. Они также являются двумерными представлениями гиперкубов .
Генри Джон Стивен Смит разработал аналогичные диаграммы n -множеств, используя синусоидальные кривые [21] с рядом уравнений
Чарльз Лютвидж Доджсон (также известный как Льюис Кэрролл) разработал диаграмму из пяти множеств, известную как квадрат Кэрролла . Хоакин и Бойлс, с другой стороны, предложили дополнительные правила для стандартной диаграммы Венна, чтобы учесть некоторые проблемные случаи. Например, относительно вопроса представления единичных утверждений, они предлагают рассматривать круг диаграммы Венна как представление множества вещей и использовать логику первого порядка и теорию множеств для обработки категорических утверждений как утверждений о множествах. Кроме того, они предлагают обрабатывать единичные утверждения как утверждения о принадлежности множеству . Так, например, чтобы представить утверждение «a is F» в этой переоснащенной диаграмме Венна, маленькая буква «a» может быть помещена внутри круга, который представляет множество F. [22]
Диаграммы Венна соответствуют таблицам истинности для предложений , и т.д., в том смысле, что каждая область диаграммы Венна соответствует одной строке таблицы истинности. [23] [24] Этот тип также известен как диаграмма Джонстона. Другой способ представления множеств — с помощью R-диаграмм Джона Ф. Рэндольфа .
