Диаграмма хорд (математика)

Циклический порядок и взаимно-однозначное сопряжение набора объектов

15 возможных диаграмм хорд на шести циклически упорядоченных точках

В математике хордовая диаграмма состоит из циклического порядка на наборе объектов вместе с парой один к одному ( совершенное соответствие ) этих объектов. Хордовые диаграммы традиционно визуализируются путем расположения объектов в их порядке по кругу и рисования пар соответствия как хорд круга.

Число различных хордовых диаграмм, которые могут быть заданы для набора циклически упорядоченных объектов, равно двойному факториалу . ^[1] Существует каталонское число хордовых диаграмм на заданном упорядоченном наборе, в котором никакие две хорды не пересекаются друг с другом. ^[2] Схема пересечения хорд в хордовой диаграмме может быть описана круговым графом , графом пересечения хорд: он имеет вершину для каждой хорды и ребро для каждых двух пересекающихся хорд. ^[3] ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle (2n-1)!!}$

В теории узлов диаграмма хорд может использоваться для описания последовательности пересечений вдоль плоской проекции узла, при этом каждая точка, в которой происходит пересечение, сопряжена с точкой, которая его пересекает. Чтобы полностью описать узел, диаграмма должна быть аннотирована дополнительным битом информации для каждой пары, указывающим, какая точка пересекает, а какая пересекает под этим пересечением. С этой дополнительной информацией диаграмма хорд узла называется диаграммой Гаусса . ^[4] В диаграмме Гаусса узла каждая хорда пересекает четное количество других хорд, или, что эквивалентно, каждая пара на диаграмме соединяет точку в четном положении циклического порядка с точкой в ​​нечетном положении, и иногда это используется как определяющее условие диаграмм Гаусса. ^[5]

В алгебраической геометрии хордовые диаграммы могут использоваться для представления особенностей алгебраических плоских кривых . ^[6]

Смотрите также

• Расположение линий
• инвариант Концевича

Ссылки

1. Дейл, МРТ; Мун, Дж. В. (1993), «Переставленные аналоги трех каталонских множеств», Журнал статистического планирования и вывода , 34 (1): 75–87, doi :10.1016/0378-3758(93)90035-5, MR  1209991
2. Флажоле, Филипп ; Ной, Марк (2000), «Аналитическая комбинаторика хордовых диаграмм» (PDF) , в Кроб, Даниэль; Михалев, Александр А.; Михалев, Александр В. (ред.), Формальные степенные ряды и алгебраическая комбинаторика: 12-я международная конференция, FPSAC'00, Москва, Россия, июнь 2000 г., Труды , Берлин: Springer, стр. 191–201, doi :10.1007/978-3-662-04166-6_17, ISBN 978-3-642-08662-5, MR  1798213, S2CID  118791613
3. де Фрейссекс, Хьюберт (1984), «Характеристика круговых графов», Европейский журнал комбинаторики , 5 (3): 223–238, doi : 10.1016/S0195-6698(84)80005-0 , MR  0765628
4. Поляк, Майкл; Виро, Олег (1994), «Формулы диаграммы Гаусса для инвариантов Васильева», International Mathematics Research Notices , 1994 (11): 445–453, doi : 10.1155/S1073792894000486 , MR  1316972
5. Хан, Абдулла; Лисица, Алексей; Верницкий, Алексей (2021), «Gauss-Lintel, набор алгоритмов для исследования хордовых диаграмм», в Камареддин, Файруз; Коэн, Клаудио Сачердоти (ред.), Интеллектуальная компьютерная математика: 14-я международная конференция, CICM 2021, Тимишоара, Румыния, 26–31 июля 2021 г., Труды , Lecture Notes in Computer Science, т. 12833, Берлин: Springer, стр. 197–202, doi :10.1007/978-3-030-81097-9_16, ISBN 978-3-030-81096-2, S2CID  236150713
6. Гис, Этьен (2017), Необычная математическая прогулка , Лион: ENS Éditions, arXiv : 1612.06373 , ISBN 978-2-84788-939-0, МР  3702027