Инвариант Концевича является универсальным квантовым инвариантом в том смысле, что любой квантовый инвариант может быть восстановлен путем подстановки соответствующей системы весов в любую диаграмму Якоби.
Пусть X — окружность (которая является одномерным многообразием). Как показано на рисунке справа, диаграмма Якоби с порядком n — это граф с 2 n вершинами, где внешняя окружность изображена сплошной линией, а пунктирные линии называются внутренним графом, который удовлетворяет следующим условиям:
Ориентация дана только по внешнему кругу.
Вершины имеют значения 1 или 3. Вершины со значением 3 соединены с одним из других ребер по часовой стрелке или против часовой стрелки, изображенной в виде маленького направленного круга. Вершины со значением 1 соединены с внешним кругом без кратности, упорядоченные по ориентации круга.
Ребра на G называются хордами . Обозначим как A ( X ) факторпространство коммутативной группы, порожденной всеми диаграммами Якоби на X, деленными на следующие соотношения:
(Отношение AS)+= 0
(Отношение IHX)=−
(Отношение STU)=−
(Отношение FI)= 0.
Диаграмма без вершин со значением 3 называется хордовой диаграммой или диаграммой Гаусса. Если каждый связный компонент графа G имеет вершину со значением 3, то мы можем превратить диаграмму Якоби в хордовую диаграмму, используя отношение STU рекурсивно. Если мы ограничимся только хордовыми диаграммами, то четыре приведенных выше отношения сводятся к следующим двум отношениям:
(Четырехчленное отношение)−+−= 0.
(Отношение FI)= 0.
Характеристики
Степень диаграммы Якоби определяется как половина суммы числа ее вершин со значением 1 и одной со значением 3. Это число хорд в диаграмме хорд, преобразованной из диаграммы Якоби.
Как и в случае с клубками , диаграммы Якоби образуют моноидальную категорию с композицией как составлением диаграмм Якоби вдоль направлений вверх и вниз и тензорным произведением как сопоставлением диаграмм Якоби.
В частном случае, когда X — интервал I , A ( X ) будет коммутативной алгеброй. Рассматривая A ( S 1 ) как алгебру с умножением в виде связанных сумм , A ( S 1 ) изоморфна A ( I ) .
Диаграмму Якоби можно рассматривать как абстракцию представлений тензорной алгебры, порожденной алгебрами Ли, что позволяет нам определять некоторые операции, аналогичные копроизведениям, коединицам и антиподам алгебр Хопфа .
Поскольку инварианты Васильева (или инварианты конечного типа ) тесно связаны с хордовыми диаграммами, можно построить особый узел из хордовой диаграммы G на S1 . Kn обозначает пространство, порожденное всеми особыми узлами степени n , каждый такой G определяет уникальный элемент в Km / Km + 1 .
Весовая система
Отображение диаграмм Якоби в положительные целые числа называется весовой системой . Отображение, расширенное на пространство A ( X ) , также называется весовой системой. Они обладают следующими свойствами:
Пусть g — полупростая алгебра Ли, а ρ — ее представление. Мы получаем весовую систему, «подставляя» инвариантный тензор g в хорду диаграммы Якоби, а ρ — в базовое многообразие X диаграммы Якоби.
Мы можем рассматривать вершины со значением 3 диаграммы Якоби как скобочное произведение алгебры Ли, сплошные линии со стрелками — как пространство представления ρ , а вершины со значением 1 — как действие алгебры Ли.
Соотношение IHX и соотношение STU соответствуют тождеству Якоби и определению представления
ρ ([ а , б ]) v знак равно ρ ( а ) ρ ( б ) v - ρ ( б ) ρ ( а ) v .
Диаграммы Якоби были введены как аналоги диаграмм Фейнмана, когда Концевич определил инварианты узлов с помощью итерированных интегралов в первой половине 1990-х годов. [2] Он представлял особые точки особых узлов хордами, т. е. он имел дело только с диаграммами хорд. Д. Бар-Натан позже сформулировал их как 1-3-значные графы и изучил их алгебраические свойства, назвав их в своей статье «диаграммами китайских иероглифов». [4] Для их обозначения использовались несколько терминов, таких как диаграммы хорд, веб-диаграммы или диаграммы Фейнмана, но примерно с 2000 года их стали называть диаграммами Якоби, поскольку соотношение IHX соответствует тождеству Якоби для алгебр Ли .
Мы можем интерпретировать их с более общей точки зрения, используя кламмеры, которые были определены независимо Гусаровым и Кадзуо Хабиро во второй половине 1990-х годов.
Ссылки
^ Чмутов, Сергей; Дужи, Сергей (2012). Вайсштейн, Эрик В. (ред.). «Концевич Интеграл». Математический мир . Веб-ресурс Вольфрам . Проверено 4 декабря 2012 г.
^ ab Концевич, Максим (1993). "Инварианты узлов Васильева" (PDF) . Adv. Soviet Math . 16 (2): 137–150.
^ Бар-Натан, Д.; Гаруфалидис, С. (1996). «О гипотезе Мелвина-Мортона-Розанского». Математические изобретения . 125 : 103–133. дои : 10.1007/s002220050070. S2CID 16891212.
^ Бар-Натан, Д. (1995). «Об инвариантах узлов Васильева». Топология . 34 (2): 423–472. doi : 10.1016/0040-9383(95)93237-2 .
Библиография
Оцуки, Томотада (2001). Квантовые инварианты – исследование узлов, 3-многообразий и их множеств (1-е изд.). World Scientific Publishing Company. ISBN 9789810246754. ОЛ 9195378М.
+
= 0
=
−
=
−
= 0.
−
+
−
= 0.