Связанная решетка карт

Связанная решетка отображений ( CML ) — это динамическая система , которая моделирует поведение нелинейных систем (особенно дифференциальных уравнений с частными производными ). Они в основном используются для качественного изучения хаотической динамики пространственно-протяженных систем. Это включает в себя динамику пространственно-временного хаоса , где число эффективных степеней свободы расходится по мере увеличения размера системы. ^[1]

Особенностями CML являются дискретная динамика времени , дискретные базовые пространства (решетки или сети) и реальные (числа или векторы), локальные, непрерывные переменные состояния . ^[2] Изучаемые системы включают популяции , химические реакции , конвекцию , поток жидкости и биологические сети . Совсем недавно CML были применены к вычислительным сетям ^[3], выявляя пагубные методы атак и каскадные сбои .

CML сопоставимы с моделями клеточных автоматов с точки зрения их дискретных характеристик. ^[4] Однако значение каждого узла в сети клеточных автоматов строго зависит от его соседа(ов) с предыдущего временного шага. Каждый узел CML зависит только от своих соседей относительно члена связи в уравнении рекуррентности . Однако сходства могут усугубляться при рассмотрении многокомпонентных динамических систем.

Введение

CML обычно включает в себя систему уравнений (связанных или несвязанных), конечное число переменных, глобальную или локальную схему связи и соответствующие термины связи. Базовая решетка может существовать в бесконечных измерениях. Отображения, представляющие интерес в CML, обычно демонстрируют хаотическое поведение. Такие отображения можно найти здесь: Список хаотических отображений .

Логистическое отображение демонстрирует хаотическое поведение, легко идентифицируемое в одном измерении для параметра r > 3,57:

${\displaystyle \qquad x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})}$

На рисунке 1 инициализируется случайными значениями по небольшой решетке; значения разъединены относительно соседних узлов. То же самое рекуррентное соотношение применяется в каждой точке решетки, хотя параметр r немного увеличивается с каждым временным шагом. Результатом является сырая форма хаотического поведения в решетке карты. Однако нет никаких существенных пространственных корреляций или соответствующих фронтов для хаотического поведения. Никакого очевидного порядка не наблюдается. ${\displaystyle x_{0}}$

Для базовой связи мы рассматриваем связь «один сосед», где значение в любом заданном месте вычисляется из рекурсивных отображений как на себя, так и на соседний сайт . Параметр связи имеет одинаковый вес. Опять же, значение постоянно по всей решетке, но немного увеличивается с каждым временным шагом. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s-1}$ ${\displaystyle \epsilon =0.5}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \qquad x_{n+1}=(\epsilon )[rx_{n}(1-x_{n})]_{s}+(1-\epsilon )[rx_{n}(1-x_{n})]_{s-1}}$

Несмотря на то, что рекурсия хаотична, в ходе эволюции развивается более твердая форма. Вытянутые конвективные пространства сохраняются по всей решетке (см. рисунок 2).

История

CML впервые были введены в середине 1980-х годов в серии тесно опубликованных публикаций. ^{[5] [6] [7] [8]} Капрал использовал CML для моделирования химических пространственных явлений. Кузнецов стремился применить CML к электрическим схемам, разработав подход ренормгруппы (аналогичный универсальности Фейгенбаума для пространственно протяженных систем). Фокус Канеко был более широким, и он до сих пор известен как самый активный исследователь в этой области. ^[9] Наиболее изученная модель CML была введена Канеко в 1983 году, где уравнение рекуррентности выглядит следующим образом:

${\displaystyle u_{s}^{t+1}=(1-\varepsilon )f(u_{s}^{t})+{\frac {\varepsilon }{2}}\left(f(u_{s+1}^{t})+f(u_{s-1}^{t})\right)\ \ \ t\in \mathbb {N} ,\ \varepsilon \in [0,1]}$

где и — реальное отображение. ${\displaystyle u_{s}^{t}\in {\mathbb {R} }\ ,}$ ${\displaystyle f}$

Применяемая стратегия CML была следующей:

• Выбрать набор переменных поля на решетке на макроскопическом уровне. Размерность (не ограниченная системой CML) следует выбирать так, чтобы она соответствовала исследуемому физическому пространству.
• Разложите процесс (лежащий в основе явления) на независимые компоненты.
• Заменить каждый компонент нелинейным преобразованием полевых переменных в каждой точке решетки и членом связи в подходящих выбранных соседях.
• Последовательно выполняйте динамику каждого блока («процедуру»).

Классификация

Система CML развивается в дискретном времени посредством отображения на векторных последовательностях. Эти отображения являются рекурсивной функцией двух конкурирующих терминов: индивидуальной нелинейной реакции и пространственного взаимодействия (связь) переменной интенсивности. CML можно классифицировать по силе этого параметра(ов) связи.

Большая часть современных опубликованных работ по CMLs основана на слабосвязанных системах ^[2] , где изучаются диффеоморфизмы пространства состояний, близкие к тождеству. Слабая связь с монотонными ( бистабильными ) динамическими режимами демонстрирует явления пространственного хаоса и популярна в нейронных моделях. ^[10] Слабосвязанные унимодальные отображения характеризуются своими стабильными периодическими точками и используются в моделях сетей регуляции генов . Пространственно-временные хаотические явления могут быть продемонстрированы с помощью хаотических отображений, подчиняющихся коэффициентам слабой связи, и популярны в моделях явлений фазового перехода .

Промежуточные и сильные взаимодействия являются менее плодотворными областями изучения. Промежуточные взаимодействия изучаются в отношении фронтов и бегущих волн , извилистых бассейнов, извилистых бифуркаций, кластеров и неуникальных фаз. Сильные взаимодействия наиболее известны для моделирования эффектов синхронизации динамических пространственных систем, таких как модель Курамото .

Эти классификации не отражают локальную или глобальную (GMLs ^[11] ) природу связи взаимодействия. Они также не рассматривают частоту связи, которая может существовать как степень свободы в системе. ^[12] Наконец, они не различают размеры базового пространства или граничные условия .

Удивительно, но динамика CML имеет мало общего с локальными картами, которые составляют их элементарные компоненты. Для каждой модели требуется строгое математическое исследование, чтобы идентифицировать хаотическое состояние (за пределами визуальной интерпретации). Для этого были выполнены строгие доказательства. Например: существование хаоса пространства-времени в слабых пространственных взаимодействиях одномерных карт с сильными статистическими свойствами было доказано Бунимовичем и Синаем в 1988 году. ^[13] Аналогичные доказательства существуют для слабосвязанных гиперболических карт при тех же условиях.

Для случая, когда базовая карта основана на обобщенной карте Бернулли, можно показать, что полный спектр Ляпунова для CML может быть оценен аналитически в ряде случаев. ^[14]

Уникальные качественные классы CML

CML открыли новые качественные классы универсальности в феноменологии (CML). Такие классы включают:

• Пространственная бифуркация и замороженный хаос
• Выбор узора
• Выбор зигзагообразных узоров и хаотичное распространение дефектов
• Пространственно-временная прерывистость
• Солитонная турбулентность
• Глобальные бегущие волны, генерируемые локальными фазовыми сдвигами
• Пространственная бифуркация нисходящего потока в системах с открытым потоком.

Визуальные явления

Уникальные качественные классы, перечисленные выше, могут быть визуализированы. Применяя модель Канеко 1983 к логистической карте, можно наблюдать несколько качественных классов CML. Они показаны ниже, обратите внимание на уникальные параметры: ${\displaystyle {f(x_{n})}=1-ax^{2}}$

Количественный анализ квантификаторов

Связанные решетки карт, являющиеся прототипом пространственно протяженных систем, которые легко моделировать, представляют собой эталон для определения и введения многих показателей пространственно-временного хаоса, наиболее значимыми из которых являются:

• Спектр мощности в пространстве и времени
• Спектры Ляпунова ^[15]
• Плотность измерения
• Плотность энтропии Колмогорова–Синая
• Распределения паттернов
• Энтропия паттерна
• Скорость распространения конечных и бесконечно малых возмущений
• Взаимная информация и корреляция в пространстве-времени
• Показатели Ляпунова , локализация векторов Ляпунова
• Показатели Ляпунова сопутствующего и подпространственного времени .
• Пространственные и временные показатели Ляпунова ^[16]

Смотрите также

• Решёточная модель (физика)
• Клеточные автоматы
• показатель Ляпунова
• Стохастические клеточные автоматы
• Карта Рулькова
• Карта Киалво

Ссылки

1. Канеко, Кунихико (1992). «Обзор связанных решеток отображений». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 2 (3). AIP Publishing: 279–282. Bibcode : 1992Chaos...2..279K. doi : 10.1063/1.165869. ISSN  1054-1500. PMID  12779975.
2. Chazottes, Jean-René; Fernandez, Bastien, ред. (2005). Динамика связанных решеток карт и связанных с ними пространственно расширенных систем . Конспект лекций по физике 671. Берлин: Springer. стр. 1–4. ISBN 9783540242895. OCLC  61030071.
3. Сюй, Цзянь; Ван, Сяоа Фань (2005). «Каскадные отказы в безмасштабных связанных решетках карт». 2005 IEEE Международный симпозиум по схемам и системам . Том 4. С. 3395–3398. doi :10.1109/ISCAS.2005.1465357. ISBN 0-7803-8834-8.
4. Badii, R.; Politi, A. (1997). Сложность: иерархические структуры и масштабирование в физике . Кембриджская нелинейная научная серия 6. Кембридж, Англия: Cambridge University Press. ISBN 9780521418904. OCLC  34677022.
5. Канеко, К. (1 сентября 1984 г.). «Удвоение периода кинк-антикинковых моделей, квазипериодичность в антиферроподобных структурах и пространственная перемежаемость в связанной логистической решетке: к прелюдии к «полевой теории хаоса»». Progress of Theoretical Physics . 72 (3). Oxford University Press (OUP): 480–486. Bibcode : 1984PThPh..72..480K. doi : 10.1143/ptp.72.480 . ISSN  0033-068X.
6. Уоллер, Ирен; Капрал, Рэймонд (1 октября 1984 г.). «Пространственная и временная структура в системах связанных нелинейных осцилляторов». Physical Review A. 30 ( 4). Американское физическое общество (APS): 2047–2055. Bibcode : 1984PhRvA..30.2047W. doi : 10.1103/physreva.30.2047. ISSN  0556-2791.
7. Crutchfield, James P. (1984). «Пространственно-временная динамика в видеообратной связи». Physica D: Nonlinear Phenomena . 10 (1–2). Elsevier BV: 229–245. Bibcode : 1984PhyD...10..229C. doi : 10.1016/0167-2789(84)90264-1. ISSN  0167-2789. S2CID  48964208.
8. С. П. Кузнецов и А. С. Пиковский, Известия ВУС, Радиофизика 28, 308 (1985)
9. «Лаборатория Канеко».
10. Нодзава, Хироши (1992). «Модель нейронной сети как глобально связанная карта и приложения, основанные на хаосе». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 2 (3). AIP Publishing: 377–386. Bibcode :1992Chaos...2..377N. doi :10.1063/1.165880. ISSN  1054-1500. PMID  12779987.
11. Ho, Ming-Chung; Hung, Yao-Chen; Jiang, I-Min (2004). "Phase synchronizen in inhomogeneous globally coupled map sets" (PDF) . Physics Letters A . 324 (5–6). Elsevier BV: 450–457. Bibcode :2004PhLA..324..450H. doi :10.1016/j.physleta.2004.03.017. ISSN  0375-9601. Архивировано из оригинала (PDF) 1 декабря 2008 г.
12. Келлер, Герхард; Ливерани, Карлангело (22 мая 2009 г.). «Картографические решетки, связанные столкновениями» (PDF) . Сообщения по математической физике . 291 (2). Springer Science and Business Media LLC: 591–597. arXiv : 0811.3543 . Bibcode : 2009CMaPh.291..591K. doi : 10.1007/s00220-009-0835-z. ISSN  0010-3616. S2CID  1820988.
13. Бунимович, LA; Синай, Ya G (1 ноября 1988). "Пространственно-временной хаос в связанных решетках отображений". Нелинейность . 1 (4). IOP Publishing: 491–516. Bibcode :1988Nonli...1..491B. doi :10.1088/0951-7715/1/4/001. ISSN  0951-7715. S2CID  250862658.
14. Маккартни, М (2022). «Хаос на гиперкубе и других местах». Международный журнал математического образования в науке и технике . 55 (1): 184–192. doi :10.1080/0020739X.2022.2113466. ISSN  1464-5211.
15. Isola, S; Politi, A; Ruffo, S; Torcini, A (1990). "Спектры Ляпунова решеток связанных отображений" (PDF) . Physics Letters A . 143 (8). Elsevier BV: 365–368. Bibcode :1990PhLA..143..365I. doi :10.1016/0375-9601(90)90373-v. ISSN  0375-9601. Архивировано из оригинала (PDF) 24 ноября 2016 г. . Получено 23 ноября 2016 г. .
16. Лепри, Стефано; Полити, Антонио; Торчини, Алессандро (1996). «Хронотопический анализ Ляпунова. I. Подробная характеристика одномерных систем». Журнал статистической физики . 82 (5–6). Springer Science and Business Media LLC: 1429–1452. arXiv : chao-dyn/9504005 . Bibcode : 1996JSP....82.1429L. doi : 10.1007/bf02183390. ISSN  0022-4715. S2CID  56433838.

Дальнейшее чтение

• Chazottes, Jean-René; Fernandez, Bastien, ред. (2005). Динамика связанных решеток карт и связанных с ними пространственно расширенных систем . Конспект лекций по физике 671. Берлин: Springer. стр. 1–4. ISBN 9783540242895. OCLC  61030071.
• Шон Д. Петель; Нед Дж. Коррон; Эрик Боллт (2006). "Символическая динамика связанных решеток карт" (PDF) . Physical Review Letters . 96 (3): 034105. Bibcode : 2006PhRvL..96c4105P. doi : 10.1103/PhysRevLett.96.034105. PMID  16486708.
• Э. Этли Джексон (1989), Перспективы нелинейной динамики: Том 2, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-42633-2
• Шустер, Х. Г.; Джаст, В. (2005), Детерминированный хаос , John Wiley and Sons Ltd, ISBN 3-527-40415-5, OCLC  58054938
• «Введение в хаос и нелинейную динамику».

Внешние ссылки

• «Лаборатория Канеко».
• Динамика связанных решеток отображений. Париж: Институт Анри Пуанкаре. 21 июня – 2 июля 2004 г. Архивировано из оригинала 26 ноября 2006 г.
• «Институт сложных систем». Istituto dei Sistemi Complessi . Флоренция , Италия
• «Решетка связанных карт и глобально связанная карта».
• "Инструмент моделирования и анализа динамических систем". AnT 4.669 . Архивировано из оригинала 18 июля 2011 г.