Дисдиакис додекаэдр

Геометрическая фигура с 48 гранями

В геометрии дисдьякисдодекаэдр (также гексоктаэдр , ^[1] гексакисоктаэдр , октакискуб , октакисгексаэдр , кисромбический додекаэдр ^[2] ) — это каталонское тело с 48 гранями, двойственное архимедову усеченному кубооктаэдру . Как таковое, оно гране - транзитивно , но с неправильными многоугольниками граней. Оно напоминает увеличенный ромбический додекаэдр . Замена каждой грани ромбического додекаэдра плоской пирамидой создает многогранник, который выглядит почти как дисдьякисдодекаэдр и топологически эквивалентен ему.

Более формально, дисдьякисдодекаэдр является вершиной Клее ромбического додекаэдра и барицентрическим подразделением куба или правильного октаэдра . ^[3] Сетка ромбической додекаэдрической пирамиды также имеет ту же топологию .

Симметрия

Он имеет октаэдрическую симметрию Oh _h . Его коллективные ребра представляют собой плоскости отражения симметрии. Его также можно увидеть в угловой и средней триангуляции ребер правильного куба и октаэдра, а также ромбического додекаэдра.

Ребра сферического дисдьякисдодекаэдра принадлежат 9 большим окружностям . Три из них образуют сферический октаэдр (серый на изображениях ниже). Остальные шесть образуют три квадратных осоэдра (красный, зеленый и синий на изображениях ниже). Все они соответствуют зеркальным плоскостям — первая в диэдральной [2,2], а вторая в тетраэдрической [3,3] симметрии.

Декартовы координаты

Пусть . Тогда декартовы координаты вершин дисдьякисдодекаэдра с центром в начале координат равны: ${\displaystyle ~a={\frac {1}{1+2{\sqrt {2}}}}~{\color {Gray}\approx 0.261},~~b={\frac {1}{2+3{\sqrt {2}}}}~{\color {Gray}\approx 0.160},~~c={\frac {1}{3+3{\sqrt {2}}}}~{\color {Gray}\approx 0.138}}$

●   перестановки (± a , 0, 0)   (вершины октаэдра) ●   перестановки (± b , ± b , 0)   (вершины кубооктаэдра ) ● (   ± c , ± c , ± c )   (вершины куба)

Размеры

Если его наименьшие ребра имеют длину a , то его площадь поверхности и объем равны

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {6}{7}}{\sqrt {783+436{\sqrt {2}}}}\,a^{2}\\V&={\tfrac {1}{7}}{\sqrt {3\left(2194+1513{\sqrt {2}}\right)}}a^{3}\end{aligned}}}$

Грани — разносторонние треугольники. Их углы равны , и . ${\displaystyle \arccos {\biggl (}{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{12}}{\sqrt {2}}{\biggr )}~{\color {Gray}\approx 87.201^{\circ }}}$ ${\displaystyle \arccos {\biggl (}{\frac {3}{4}}-{\frac {1}{8}}{\sqrt {2}}{\biggr )}~{\color {Gray}\approx 55.024^{\circ }}}$ ${\displaystyle \arccos {\biggl (}{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr )}~{\color {Gray}\approx 37.773^{\circ }}}$

Ортогональные проекции

Усеченный кубооктаэдр и его двойственный, дисдьякисдодекаэдр, можно нарисовать в ряде симметричных ортогональных проективных ориентаций. Между многогранником и его двойственным, вершины и грани меняются местами, а ребра перпендикулярны.

Связанные многогранники и мозаики

Дисдиакисдодекаэдр является одним из представителей семейства двойственных к однородным многогранникам многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.

Это многогранники в последовательности, определяемой конфигурацией граней V4.6.2 n . Эта группа является особенной, так как имеет все четное число ребер на вершину и образует биссекторные плоскости через многогранники и бесконечные линии в плоскости, и продолжается в гиперболическую плоскость для любого n  ≥ 7.

При четном числе граней в каждой вершине эти многогранники и мозаики можно изобразить, чередуя два цвета так, чтобы все смежные грани имели разные цвета.

Каждая грань на этих доменах также соответствует фундаментальной области группы симметрии с порядками 2,3, n зеркал в каждой вершине треугольной грани.

Смотрите также

• Первая звёздчатая форма ромбододекаэдра
• Дисдякис триаконтаэдр
• Мозаика «Кисромбиль»
• Большой ромбогексакрон — однородный двойственный многогранник с одинаковой топологией поверхности.

Ссылки

1. "Ключевое слово: "формы" | ClipArt ETC".
2. Конвей, Симметрии вещей, стр. 284
3. Лангер, Джоэл С.; Сингер, Дэвид А. (2010), «Размышления о лемнискате Бернулли: сорок восемь граней математической жемчужины», Миланский математический журнал , 78 (2): 643–682, doi :10.1007/s00032-010-0124-5, MR  2781856
4. Коджа, Мехмет; Оздеш Коджа, Назифе; Кодж, Рамазон (2010). «Каталонские тела, полученные из 3D-корневых систем и кватернионов». Журнал математической физики . 51 (4). arXiv : 0908.3272 . doi : 10.1063/1.3356985.
5. Симметроэдры: многогранники из симметричного размещения правильных многоугольников Крейг С. Каплан

• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.(Раздел 3-9)
• Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Бургиль, Хаим Гудман-Штраус, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Глава 21, Наименование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, стр. 285, kisРомбический додекаэдр) 

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Дисдьякис додекаэдр» («Каталонское тело») на MathWorld .
• Интерактивная модель многогранника Дисдякис Додекаэдр (Гексакис Октаэдр)