Дисперсионное соотношение

Зависимость длины волны от волнового числа от частоты волны

В призме дисперсия заставляет разные цвета преломляться под разными углами, расщепляя белый свет на радугу цветов.

В физических науках и электротехнике дисперсионные соотношения описывают влияние дисперсии на свойства волн в среде. Дисперсионное соотношение связывает длину волны или волновое число волны с ее частотой . Зная дисперсионное соотношение, можно вычислить зависящую от частоты фазовую скорость и групповую скорость каждой синусоидальной компоненты волны в среде как функцию частоты. В дополнение к зависящим от геометрии и зависящим от материала дисперсионным соотношениям, всеобъемлющие соотношения Крамерса–Кронига описывают зависимость распространения и затухания волн от частоты .

Дисперсия может быть вызвана либо геометрическими граничными условиями ( волноводы , мелководье), либо взаимодействием волн с передающей средой. Элементарные частицы , рассматриваемые как волны материи , имеют нетривиальное дисперсионное соотношение, даже при отсутствии геометрических ограничений и других сред.

При наличии дисперсии волна не распространяется с неизменной формой, что приводит к появлению отчетливо зависящих от частоты фазовой скорости и групповой скорости .

Дисперсия

Дисперсия происходит, когда синусоидальные волны разных длин волн имеют разные скорости распространения, так что волновой пакет смешанных длин волн имеет тенденцию распространяться в пространстве. Скорость плоской волны, , является функцией длины волны : ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle v=v(\lambda ).}$

Скорость волны, длина волны и частота f связаны соотношением

${\displaystyle v(\lambda )=\lambda \ f(\lambda ).}$

Функция выражает дисперсионное соотношение данной среды. Дисперсионные соотношения чаще всего выражаются через угловую частоту и волновое число . Переписывая приведенное выше соотношение в этих переменных, получаем ${\displaystyle f(\lambda )}$ ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$

${\displaystyle \omega (k)=v(k)\cdot k.}$

где теперь мы рассматриваем f как функцию k . Использование ω ( k ) для описания дисперсионного соотношения стало стандартным, поскольку и фазовая скорость ω / k, и групповая скорость dω / dk имеют удобные представления через эту функцию.

Рассматриваемые плоские волны можно описать следующим образом:

${\displaystyle A(x,t)=A_{0}e^{2\pi i{\frac {x-vt}{\lambda }}}=A_{0}e^{i(kx-\omega t)},}$

где

• А — амплитуда волны,
• А ₀ = А (0, 0),
• x — это положение вдоль направления распространения волны, а
• t — время, в которое описывается волна.

Плоские волны в вакууме

Плоские волны в вакууме представляют собой простейший случай распространения волн: нет геометрических ограничений, нет взаимодействия с передающей средой.

Электромагнитные волны в вакууме

Для электромагнитных волн в вакууме угловая частота пропорциональна волновому числу:

${\displaystyle \omega =ck.}$

Это линейное дисперсионное соотношение. В этом случае фазовая скорость и групповая скорость одинаковы:

${\displaystyle v={\frac {\omega }{k}}={\frac {d\omega }{dk}}=c,}$

и, таким образом, обе они равны скорости света в вакууме, которая не зависит от частоты.

Дисперсионные соотношения де Бройля

Для волн материи де Бройля соотношение дисперсии частоты нелинейно: Уравнение говорит, что частота волны материи в вакууме изменяется с волновым числом ( ) в нерелятивистском приближении. Изменение состоит из двух частей: постоянной части, обусловленной частотой де Бройля массы покоя ( ) и квадратичной части, обусловленной кинетической энергией. $${\displaystyle \omega (k)\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.}$$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$ ${\displaystyle \hbar \omega _{0}=m_{0}c^{2}}$

Вывод

В то время как применение материальных волн происходит при нерелятивистской скорости, де Бройль применил специальную теорию относительности для вывода своих волн. Исходя из релятивистского соотношения энергии-импульса : используйте соотношения де Бройля для энергии и импульса для материальных волн , $${\displaystyle E^{2}=(p{\textrm {c}})^{2}+\left(m_{0}{\textrm {c}}^{2}\right)^{2}\,}$$

${\displaystyle E=\hbar \omega \,,\quad \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \,,}$

где ω — угловая частота , а k — волновой вектор с величиной | k | = k , равный волновому числу . Разделим на и извлечем квадратный корень. Это дает релятивистское соотношение дисперсии частоты : ${\displaystyle \hbar }$ $${\displaystyle \omega (k)={\sqrt {k^{2}c^{2}+\left({\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}\right)^{2}}}\,.}$$

Практическая работа с материальными волнами происходит при нерелятивистской скорости. Для аппроксимации мы вытаскиваем частоту, зависящую от массы покоя: $${\displaystyle \omega ={\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}{\sqrt {1+\left({\frac {k\hbar }{m_{0}c}}\right)^{2}}}\,.}$$

Затем мы видим, что множитель очень мал, поэтому для не слишком большого значения мы расширяем и умножаем: Это дает нерелятивистское приближение, обсуждавшееся выше. Если мы начнем с нерелятивистского уравнения Шредингера, то в итоге мы останемся без первого члена, массы покоя. ${\displaystyle \hbar /c}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\sqrt {1+x^{2}}}\approx 1+x^{2}/2,}$ $${\displaystyle \omega (k)\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.}$$

Частота в зависимости от волнового числа

Как упоминалось выше, когда в среде основное внимание уделяется преломлению, а не поглощению, то есть действительной части показателя преломления , функциональную зависимость угловой частоты от волнового числа принято называть дисперсионным соотношением . Для частиц это означает знание энергии как функции импульса.

Волны и оптика

Название «дисперсионное соотношение» изначально пришло из оптики . Можно сделать эффективную скорость света зависимой от длины волны, заставив свет проходить через материал с непостоянным показателем преломления , или используя свет в неоднородной среде, такой как волновод . В этом случае форма волны будет распространяться со временем, так что узкий импульс станет протяженным импульсом, т. е. будет рассеиваться. В этих материалах известна как групповая скорость ^[1] и соответствует скорости, с которой распространяется пик импульса, значению, отличному от фазовой скорости . ^[2] ${\displaystyle {\frac {\partial \omega }{\partial k}}}$

Глубокие волны

Частотная дисперсия поверхностных гравитационных волн на глубокой воде. Красный квадрат ■ движется с фазовой скоростью, а зеленые точки ● распространяются с групповой скоростью. В этом случае глубоководья фазовая скорость в два раза больше групповой скорости. Красный квадрат ■ пересекает фигуру за то же время, которое требуется зеленой точке ● для прохождения половины.

Дисперсионное уравнение для волн на глубокой воде часто записывается как

${\displaystyle \omega ={\sqrt {gk}},}$

где g — ускорение силы тяжести. Глубокая вода в этом отношении обычно обозначается как случай, когда глубина воды больше половины длины волны. ^[3] В этом случае фазовая скорость равна

${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\sqrt {\frac {g}{k}}},}$

и групповая скорость равна

${\displaystyle v_{g}={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {1}{2}}v_{p}.}$

Волны на веревочке

Двухчастотные биения недисперсной поперечной волны. Поскольку волна недисперсная, то ● фазовая и ● групповая скорости равны.

Для идеальной струны дисперсионное уравнение можно записать как

${\displaystyle \omega =k{\sqrt {\frac {T}{\mu }}},}$

где T — сила натяжения струны, а μ — масса струны на единицу длины. Что касается случая электромагнитных волн в вакууме, то идеальные струны, таким образом, являются недисперсионной средой, т. е. фазовая и групповая скорости равны и независимы (в первом порядке) от частоты колебаний.

Для неидеальной струны, где учитывается жесткость, дисперсионное соотношение записывается как

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {T}{\mu }}k^{2}+\alpha k^{4},}$

где — константа, зависящая от строки. ${\displaystyle \alpha }$

Электронная зонная структура

При изучении твердых тел изучение дисперсионного соотношения электронов имеет первостепенное значение. Периодичность кристаллов означает, что для данного импульса возможны многие уровни энергии и что некоторые энергии могут быть недоступны ни при каком импульсе. Совокупность всех возможных энергий и импульсов известна как зонная структура материала. Свойства зонной структуры определяют, является ли материал изолятором , полупроводником или проводником .

Фононы

Фононы для звуковых волн в твердом теле то же, что фотоны для света: они являются квантами, которые его переносят. Дисперсионное соотношение фононов также нетривиально и важно, поскольку напрямую связано с акустическими и термическими свойствами материала. Для большинства систем фононы можно разделить на два основных типа: те, чьи полосы становятся нулевыми в центре зоны Бриллюэна , называются акустическими фононами , поскольку они соответствуют классическому звуку в пределе больших длин волн. Остальные являются оптическими фононами , поскольку они могут возбуждаться электромагнитным излучением.

Электронная оптика

При использовании высокоэнергетических (например, 200 кэВ, 32 фДж) электронов в просвечивающем электронном микроскопе энергетическая зависимость линий зоны Лауэ высшего порядка (HOLZ) в картинах дифракции сходящихся пучков электронов (CBED) позволяет, по сути, напрямую отображать поперечные сечения трехмерной дисперсионной поверхности кристалла . ^[4] Этот динамический эффект нашел применение в точном измерении параметров решетки, энергии пучка, а в последнее время и в электронной промышленности: деформации решетки.

История

Исаак Ньютон изучал преломление в призмах, но не смог распознать материальную зависимость дисперсионного соотношения, отвергнув работу другого исследователя, чьи измерения дисперсии призмы не совпадали с собственными измерениями Ньютона. ^[5]

Дисперсия волн на воде была изучена Пьером-Симоном Лапласом в 1776 году. ^[6]

Универсальность соотношений Крамерса–Кронига (1926–27) стала очевидной в последующих работах о связи дисперсионного соотношения с причинностью в теории рассеяния всех типов волн и частиц. ^[7]

Смотрите также

• Эллипсометрия
• Сверхкороткий импульс
• Волны в плазме

Ссылки

1. FA Jenkins и HE White (1957). Основы оптики . Нью-Йорк: McGraw-Hill. стр. 223. ISBN 0-07-032330-5.
2. RA Serway, CJ Moses и CA Moyer (1989). Современная физика . Филадельфия: Saunders. стр. 118. ISBN 0-534-49340-8.
3. RG Dean и RA Dalrymple (1991). Механика волн на воде для инженеров и ученых . Расширенная серия по океанической инженерии. Том 2. World Scientific, Сингапур. ISBN 978-981-02-0420-4.См. стр. 64–66.
4. PM Jones, GM Rackham и JW Steeds (1977). "Эффекты зоны Лауэ высшего порядка в электронной дифракции и их использование в определении параметров решетки". Труды Королевского общества . A 354 (1677): 197. Bibcode :1977RSPSA.354..197J. doi :10.1098/rspa.1977.0064. S2CID  98158162.
5. Уэстфолл, Ричард С. (1983). Никогда не отдыхай: Биография Исаака Ньютона (иллюстрированное, переработанное издание). Кембриджский университет. стр. 276. ISBN 9780521274357.
6. ADD Craik (2004). «Истоки теории волн на воде». Annual Review of Fluid Mechanics . 36 : 1–28. Bibcode :2004AnRFM..36....1C. doi :10.1146/annurev.fluid.36.050802.122118.
7. Джон С. Толл (1956). «Причинность и дисперсионное отношение: Логические основы». Phys. Rev. 104 ( 6): 1760–1770. Bibcode :1956PhRv..104.1760T. doi :10.1103/PhysRev.104.1760.

Внешние ссылки

• Плакат о моделировании CBED для визуализации дисперсионных поверхностей, авторы Андрей Чувилин и Уте Кайзер
• Калькулятор угловой частоты