Дифференциальное уравнение с задержкой

Тип дифференциального уравнения

В математике дифференциальные уравнения с задержкой ( DDE ) представляют собой тип дифференциальных уравнений , в которых производная неизвестной функции в определенный момент времени задается через значения функции в предыдущие моменты времени. DDE также называются системами с задержкой во времени , системами с последействием или мертвым временем, наследственными системами, уравнениями с отклоняющимся аргументом или дифференциально-разностными уравнениями. Они относятся к классу систем с функциональным состоянием , т. е. дифференциальным уравнениям с частными производными (PDE), которые являются бесконечномерными, в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений (ODE), имеющих конечномерный вектор состояния. Четыре момента могут дать возможное объяснение популярности DDE: ^[1]

1. Последействие — прикладная проблема: хорошо известно, что вместе с растущими ожиданиями динамических характеристик инженерам нужно, чтобы их модели вели себя более похоже на реальный процесс. Многие процессы включают явления последействия в свою внутреннюю динамику. Кроме того, приводы , датчики и коммуникационные сети , которые теперь участвуют в контурах управления с обратной связью, вносят такие задержки. Наконец, помимо фактических задержек, для упрощения моделей очень высокого порядка часто используются временные задержки. Затем интерес к DDE продолжает расти во всех научных областях и, особенно, в технике управления.
2. Системы задержки по-прежнему устойчивы ко многим классическим контроллерам: можно было бы подумать, что простейшим подходом будет замена их некоторыми конечномерными приближениями. К сожалению, игнорирование эффектов, которые адекватно представлены DDE, не является общей альтернативой: в лучшем случае (постоянные и известные задержки) это приводит к той же степени сложности в конструкции управления. В худшем случае (например, изменяющиеся во времени задержки) это потенциально катастрофично с точки зрения стабильности и колебаний.
3. Добровольное введение задержек может принести пользу системе контроля . ^[2]
4. Несмотря на свою сложность, DDE часто представляют собой простые бесконечномерные модели в очень сложной области уравнений в частных производных (УЧП).

Общая форма дифференциального уравнения с задержкой по времени для имеет вид , где представляет собой траекторию решения в прошлом. В этом уравнении — функциональный оператор от до ${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x(t),x_{t}),}$$ ${\displaystyle x_{t}=\{x(\tau ):\tau \leq t\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\times C^{1}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Примеры

• Постоянная задержка $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\,d\mu (\tau )\right)}$$
• Дискретная задержка для $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x(t),x(t-\tau _{1}),\dots ,x(t-\tau _{m}))}$$ ${\displaystyle \tau _{1}>\dots >\tau _{m}\geq 0.}$
• Линейный с дискретными задержками, где . $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t-\tau _{1})+\dots +A_{m}x(t-\tau _{m})}$$ ${\displaystyle A_{0},\dotsc ,A_{m}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$
• Уравнение пантографа , где a , b и λ являются константами и 0 < λ < 1. Это уравнение и некоторые более общие формы названы в честь пантографов на поездах. ^{[3] [4]} $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=ax(t)+bx(\lambda t),}$$

Решение DDE

DDE в основном решаются пошагово с принципом, называемым методом шагов. Например, рассмотрим DDE с одной задержкой $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t),x(t-\tau ))}$$

с заданным начальным условием . Тогда решение на интервале задается как , которое является решением неоднородной начальной задачи с . Это можно продолжить для последующих интервалов, используя решение для предыдущего интервала как неоднородный член. На практике начальная задача часто решается численно. ${\displaystyle \phi \colon [-\tau ,0]\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle [0,\tau ]}$ ${\displaystyle \psi (t)}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\psi (t)=f(\psi (t),\phi (t-\tau )),}$$ ${\displaystyle \psi (0)=\phi (0)}$

Пример

Предположим, что и . Тогда начальная задача может быть решена с помощью интегрирования, ${\displaystyle f(x(t),x(t-\tau ))=ax(t-\tau )}$ ${\displaystyle \phi (t)=1}$

$${\displaystyle x(t)=x(0)+\int _{s=0}^{t}{\frac {d}{dt}}x(s)\,ds=1+a\int _{s=0}^{t}\phi (s-\tau )\,ds,}$$

т.е. , где начальное условие задается как . Аналогично, для интервала мы интегрируем и подгоняем начальное условие, ${\displaystyle x(t)=at+1}$ ${\displaystyle x(0)=\phi (0)=1}$ ${\displaystyle t\in [\tau ,2\tau ]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)=x(\tau )+\int _{s=\tau }^{t}{\frac {d}{dt}}x(s)\,ds&=(a\tau +1)+a\int _{s=\tau }^{t}\left(a(s-\tau )+1\right)ds\\&=(a\tau +1)+a\int _{s=0}^{t-\tau }\left(as+1\right)ds,\end{aligned}}}$$

то есть, ${\textstyle x(t)=(a\tau +1)+a(t-\tau )\left({\frac {1}{2}}{a(t-\tau )}+1\right).}$

Сведение к ОДУ

В некоторых случаях дифференциальные уравнения могут быть представлены в формате, похожем на дифференциальные уравнения с запаздыванием .

• Пример 1. Рассмотрим уравнение. Введем , чтобы получить систему ОДУ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )e^{\lambda \tau }\,d\tau \right).}$$ ${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )e^{\lambda \tau }\,d\tau }$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x,y),\quad {\frac {d}{dt}}y(t)=x-\lambda y.}$$
• Пример 2 Уравнение эквивалентно уравнению, где $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\cos(\alpha \tau +\beta )\,d\tau \right)}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x,y),\quad {\frac {d}{dt}}y(t)=\cos(\beta )x+\alpha z,\quad {\frac {d}{dt}}z(t)=\sin(\beta )x-\alpha y,}$$ $${\displaystyle y=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\cos(\alpha \tau +\beta )\,d\tau ,\quad z=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\sin(\alpha \tau +\beta )\,d\tau .}$$

Характеристическое уравнение

Подобно ОДУ , многие свойства линейных DDE можно охарактеризовать и проанализировать с помощью характеристического уравнения . ^[5] Характеристическое уравнение, связанное с линейным DDE с дискретными задержками, представляет собой экспоненциальный полином, заданный формулой $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t-\tau _{1})+\dots +A_{m}x(t-\tau _{m})}$$ $${\displaystyle \det(-\lambda I+A_{0}+A_{1}e^{-\tau _{1}\lambda }+\dotsb +A_{m}e^{-\tau _{m}\lambda })=0.}$$

Корни λ характеристического уравнения называются характеристическими корнями или собственными значениями, а набор решений часто называют спектром . Из-за экспоненты в характеристическом уравнении DDE имеет, в отличие от случая ODE, бесконечное число собственных значений, что делает спектральный анализ более сложным. Однако спектр имеет некоторые свойства, которые можно использовать в анализе. Например, несмотря на то, что существует бесконечное число собственных значений, в любой вертикальной полосе комплексной плоскости имеется только конечное число собственных значений. ^[6]

Это характеристическое уравнение является нелинейной собственной проблемой , и существует много методов для численного вычисления спектра. ^{[7] [8]} В некоторых особых ситуациях можно решить характеристическое уравнение явно. Рассмотрим, например, следующее DDE: Характеристическое уравнение имеет вид Существует бесконечное число решений этого уравнения для комплексного λ . Они задаются как , где W _k — k -я ветвь функции Ламберта W , поэтому: $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=-x(t-1).}$$ $${\displaystyle -\lambda -e^{-\lambda }=0.}$$ $${\displaystyle \lambda =W_{k}(-1),}$$ $${\displaystyle x(t)=x(0)\,e^{W_{k}(-1)\cdot t}.}$$

Еще один пример

Следующий DDE: ^[9] $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}u(t)=2u(2t+1)-2u(2t-1).}$$

Имеем в качестве решения функцию: ^[10] с функцией Фабиуса . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle u(t)={\begin{cases}F(t+1),\quad |t|<1\\0,\quad |t|\geq 1\end{cases}}}$$ ${\displaystyle F(t)}$

Приложения

• Динамика сахарного диабета ^[11]
• Эпидемиология ^{[12] [13]}
• Динамика численности населения ^{[14] [15]}
• Классическая электродинамика ^[16]

Смотрите также

• Функционально-дифференциальное уравнение
• Неравенство Халаная

Ссылки

1. Ричард, Жан-Пьер (2003). «Системы с задержкой времени: обзор некоторых последних достижений и открытых проблем». Automatica . 39 (10): 1667–1694. doi :10.1016/S0005-1098(03)00167-5.
2. Lavaei, Javad; Sojoudi, Somayeh; Murray, Richard M. (2010). "Простая реализация контроллеров непрерывного времени на основе задержки". Труды Американской конференции по управлению 2010 года. С. 5781–5788. doi :10.1109/ACC.2010.5530439. ISBN 978-1-4244-7427-1. S2CID  1200900.
3. Грибель, Томас (2017-01-01). «Уравнение пантографа в квантовом исчислении». Магистерские диссертации .
4. Окендон, Джон Ричард; Тайлер, AB; Темпл, Джордж Фредерик Джеймс (1971-05-04). «Динамика системы сбора тока для электровоза». Труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки . 322 (1551): 447–468. Bibcode : 1971RSPSA.322..447O. doi : 10.1098/rspa.1971.0078. S2CID  110981464.
5. Михилс, Вим; Никулеску, Сильвиу-Юлиан (2007). Устойчивость и стабилизация систем с задержкой во времени. Достижения в проектировании и управлении. Общество промышленной и прикладной математики. стр. 3–32. doi :10.1137/1.9780898718645. ISBN 978-0-89871-632-0.
6. Михилс, Вим; Никулеску, Сильвиу-Юлиан (2007). Устойчивость и стабилизация систем с задержкой во времени. Достижения в проектировании и управлении. Общество промышленной и прикладной математики. стр. 9. doi : 10.1137/1.9780898718645. ISBN 978-0-89871-632-0.
7. Михилс, Вим; Никулеску, Сильвиу-Юлиан (2007). Устойчивость и стабилизация систем с задержкой во времени. Достижения в проектировании и управлении. Общество промышленной и прикладной математики. стр. 33–56. doi :10.1137/1.9780898718645. ISBN 978-0-89871-632-0.
8. Аппельтанс, Питер; Михилс, Вим (29.04.2023). «Анализ и проектирование контроллеров систем с задержкой времени с использованием TDS-CONTROL. Учебное пособие и руководство». arXiv : 2305.00341 [math.OC].
9. Хуан Ариас де Рейна (2017). «Арифметика функции Фабия». arXiv : 1702.06487 [math.NT].
10. "A288163 - Оеис".
11. Макроглоу, Афина; Ли, Цзясюй; Куан, Ян (2006-03-01). "Математические модели и программные средства для регуляторной системы глюкозы-инсулина и диабета: обзор". Прикладная численная математика . Избранные статьи, Третья международная конференция по численным решениям уравнений Вольтерра и запаздывающих уравнений. 56 (3): 559–573. doi :10.1016/j.apnum.2005.04.023. ISSN  0168-9274.
12. Salpeter, Edwin E.; Salpeter, Shelley R. (1998-02-15). «Математическая модель эпидемиологии туберкулеза с оценками репродуктивного числа и функции задержки заражения». American Journal of Epidemiology . 147 (4): 398–406. doi : 10.1093/oxfordjournals.aje.a009463 . ISSN  0002-9262. PMID  9508108.
13. Кадзивара, Цуёси; Сасаки, Тору; Такеучи, Ясухиро (2012-08-01). «Построение функционалов Ляпунова для дифференциальных уравнений с запаздыванием в вирусологии и эпидемиологии». Нелинейный анализ: приложения в реальном мире . 13 (4): 1802–1826. doi :10.1016/j.nonrwa.2011.12.011. ISSN  1468-1218.
14. Гопалсами, К. (1992). Устойчивость и колебания в дифференциальных уравнениях с запаздыванием динамики населения. Математика и ее приложения. Дордрехт, Нидерланды: Kluwer Academic Publishers. doi : 10.1007/978-94-015-7920-9. ISBN 978-0792315940.
15. Куанг, И. (1993). Дифференциальные уравнения с запаздыванием и их применение в динамике населения. Математика в науке и технике. Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0080960029.
16. Лопес, Альваро Г. (2020-09-01). «Об электродинамическом происхождении квантовых флуктуаций». Нелинейная динамика . 102 (1): 621–634. arXiv : 2001.07392 . doi :10.1007/s11071-020-05928-5. ISSN  1573-269X. S2CID  210838940.

Дальнейшее чтение

• Беллен, Альфредо; Зеннаро, Марино (2003). Численные методы для дифференциальных уравнений с запаздыванием. Численная математика и научные вычисления. Оксфорд, Великобритания: Oxford University Press. ISBN 978-0198506546.
• Беллман, Ричард; Кук, Кеннет Л. (1963). Дифференциально-разностные уравнения (PDF) . Математика в науке и технике. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Academic Press. ISBN 978-0120848508.
• Briat, Corentin (2015). Линейные системы с переменными параметрами и задержкой по времени: анализ, наблюдение, фильтрация и управление. Достижения в области задержек и динамики. Heidelberg, DE: Springer-Verlag. ISBN 978-3662440490.
• Драйвер, Родни Д. (1977). Обыкновенные и запаздывающие дифференциальные уравнения. Прикладные математические науки. Том 20. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4684-9467-9. ISBN 978-0387902319.
• Erneux, Thomas (2009). Прикладные дифференциальные уравнения с запаздыванием. Обзоры и руководства по прикладным математическим наукам. Том 3. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer Science+Business Media. doi :10.1007/978-0-387-74372-1. ISBN 978-0387743714.

Внешние ссылки

• Скип Томпсон (ред.). "Уравнения с запаздыванием". Scholarpedia .