Функция Ламберта W

Многозначная функция в математике

Произведение логарифма функции Ламберта W, построенное на комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 i

График y = W ( x ) для вещественных x < 6 и y > −4 . Верхняя ветвь (синяя) с y ≥ −1 представляет собой график функции W ₀ (главная ветвь), нижняя ветвь (синяя) с y ≤ −1 представляет собой график функции W ₋₁ . Минимальное значение x находится при {−1/ e , −1}.

В математике функция Ламберта W , называемая также омега-функцией или логарифмом произведения , ^[1] — это многозначная функция , а именно ветви обратного соотношения функции f ( w ) = we ^w , где w — любое комплексное число и e ^w — показательная функция . Функция названа в честь Иоганна Ламберта , который рассматривал аналогичную проблему в 1758 году. Основываясь на работе Ламберта, Леонард Эйлер описал функцию W как таковую в 1783 году.

Для каждого целого числа k существует одна ветвь, обозначаемая W _k ( z ) , которая представляет собой комплексную функцию одного комплексного аргумента. W0 известен как _{главная} ветвь . Эти функции обладают следующим свойством: если z и w — любые комплексные числа, то

${\displaystyle we^{w}=z}$

имеет место тогда и только тогда, когда

${\displaystyle w=W_{k}(z)\ \ {\text{ for some integer }}k.}$

При работе только с действительными числами двух ветвей W ₀ и W ₋₁ достаточно: для действительных чисел x и y уравнение

${\displaystyle ye^{y}=x}$

можно решить относительно y, только если x ≥ −1/е; мы получаем y = W ₀ ( x ), если x ≥ 0 , и два значения y = W ₀ ( x ) и y = W ₋₁ ( x ), если -1/е≤ Икс < 0 .

Ветви функции Ламберта W не могут быть выражены через элементарные функции . ^[2] Это полезно в комбинаторике , например, при перечислении деревьев . Его можно использовать для решения различных уравнений, включающих экспоненты (например, максимумы распределений Планка , Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака ), а также встречается при решении дифференциальных уравнений с запаздыванием , таких как y ′( t ) = a y ( т - 1) . В биохимии и, в частности , в кинетике ферментов , решение в открытой форме для анализа кинетики Михаэлиса-Ментен с течением времени описывается с помощью W- функции Ламберта.

Основная ветвь функции Ламберта W на комплексной плоскости, построенная с раскраской области . Обратите внимание на ветвь, разрезанную вдоль отрицательной вещественной оси, заканчивающуюся на —1/е.

Модуль главной ветви функции Ламберта W , окрашенный в соответствии с arg W ( z )

Терминология

Основная ветвь W ₀ в Цифровой библиотеке математических функций обозначается Wp , а ветвь W ₋₁ там обозначается Wm .

Выбранное здесь соглашение об обозначениях (с W ₀ и W ₋₁ ) соответствует каноническим ссылкам на W- функцию Ламберта Корлесса, Гонне, Хэйра, Джеффри и Кнута . ^[3]

Название «логарифм произведения» можно понимать так: поскольку обратная функция f ( w ) = e ^w называется логарифмом , имеет смысл называть обратную «функцию» произведения we w ^« произведением логарифма». (Техническое примечание: как и комплексный логарифм , он многозначен, и поэтому W описывается как обратное отношение , а не обратная функция.) Он связан с константой омега , которая равна W ₀ (1) .

История

Ламберт впервые рассмотрел связанное с ним трансцендентное уравнение Ламберта в 1758 году ^[4] , что привело к появлению статьи Леонарда Эйлера в 1783 году ^[5] , в которой обсуждался особый случай we ^w .

Уравнение, которое рассматривал Ламберт, было

${\displaystyle x=x^{m}+q.}$

Эйлер преобразовал это уравнение к виду

${\displaystyle x^{a}-x^{b}=(a-b)cx^{a+b}.}$

Оба автора получили рядное решение для своих уравнений.

Решив это уравнение, Эйлер приступил к рассмотрению этого случая . Взяв пределы, он вывел уравнение ${\displaystyle a=b}$

${\displaystyle \ln x=cx^{a}.}$

Затем он положил и получил решение сходящегося ряда для полученного уравнения, выразив его через . ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$

После взятия производных по и некоторых манипуляций получается стандартный вид функции Ламберта. ${\displaystyle x}$

В 1993 году сообщалось, что функция Ламберта обеспечивает точное решение квантово-механической модели дельта-функции Дирака с двумя ямами для равных зарядов ^[6] — фундаментальной проблемы физики. Вдохновленный этим, Роб Корлесс и разработчики системы компьютерной алгебры Maple поняли, что «W-функция Ламберта широко использовалась во многих областях, но из-за различных обозначений и отсутствия стандартного названия осведомленность о функции была не такой высокой. как должно было быть». ^{[3] [7]} ${\displaystyle W}$

Другой пример обнаружения этой функции — кинетика Михаэлиса-Ментен . ^[8]

Хотя было широко распространено мнение, что функция Ламберта не может быть выражена через элементарные ( лиувиллевы ) функции, первое опубликованное доказательство появилось только в 2008 году. ^[9] ${\displaystyle W}$

Элементарные свойства, ветви и диапазон

Диапазон функции W , показывающий все ветви. Черные кривые (включая действительную ось) образуют изображение действительной оси, оранжевые кривые — изображение мнимой оси. Фиолетовая кривая — это изображение маленького круга вокруг точки z = 0 ; красные кривые — изображение маленького круга вокруг точки z = −1/e .

График мнимой части W _n ( x + iy ) для ветвей n = −2, −1, 0, 1, 2 . График аналогичен графику многозначной функции комплексного логарифма, за исключением того, что расстояние между листами не является постоянным и соединение основного листа отличается.

Существует счетное количество ветвей функции W , обозначаемой Wk ₍ z ) , для целого числа k ; W ₀ ( z ) — основная (или главная) ветвь. W ₀ ( z ) определяется для всех комплексных чисел z , а W _k ( z ) с k ≠ 0 определяется для всех ненулевых z . Имеем W ₀ (0) = 0 иЛимг → 0 W _k ( z ) знак равно -∞ для всех k ≠ 0 .

Точка ветвления главной ветви находится в точке z = −1/е, с разрезом, простирающимся до −∞ вдоль отрицательной вещественной оси. Этот разрез отделяет главную ветвь от двух ветвей W _-1 и W ₁ . Во всех ветвях W _k с k ≠ 0 имеется точка ветвления при z = 0 и ветвь, разрезанная вдоль всей отрицательной вещественной оси.

Все функции W _k ( z ), k ∈ Z инъективны , а их образы не пересекаются. Область значений всей многозначной функции W представляет собой комплексную плоскость. Образ действительной оси есть объединение действительной оси и квадратрисы Гиппия , параметрической кривой w = − t cot t + it .

Обратный

Области комплексной плоскости, для которых , где z = x + iy . Более темные границы определенной области включаются в более светлую область того же цвета. Точка {−1, 0} включена как в (синюю) область, так и в (серую) область. Горизонтальные линии сетки кратны π . ${\displaystyle W(n,ze^{z})=z}$ ${\displaystyle n=-1}$ ${\displaystyle n=0}$

Приведенный выше график диапазона также очерчивает области на комплексной плоскости, где справедлива простая обратная зависимость. подразумевает, что существует такое , что , где зависит от значения . Значение целого числа резко меняется, когда оно находится на срезе ветки , что означает, что ≤ 0 , за исключением случаев, когда оно ≤ −1/ . ${\displaystyle W(n,ze^{z})=z}$ ${\displaystyle f=ze^{z}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z=W(n,f)=W(n,ze^{z})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ze^{z}}$ ${\displaystyle W(n,ze^{z})}$ ${\displaystyle ze^{z}}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle ze^{z}}$ ${\displaystyle e}$

Определив , где и действительные, и выразив в полярных координатах, видно, что ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle e^{z}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}ze^{z}&=(x+iy)e^{x(\cos y+i\sin y)}\\&=e^{x(x\cos y-y\sin y)}+ie^{x(x\sin y+y\cos y)}\\\end{aligned}}}$

Для ветвь, срезанная для, является неположительной действительной осью, так что ${\displaystyle n\neq 0}$ ${\displaystyle W(n,ze^{z})}$

${\displaystyle x\sin y+y\cos y=0\Rightarrow x=-y/\tan(y),}$

и

${\displaystyle (x\cos y-y\sin y)e^{x}\leq 0.}$

Для , ветвь, срезанная для , является действительной осью с , так что неравенство принимает вид ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle W[n,ze^{z}]}$ ${\displaystyle -\infty <z\leq -1/e}$

${\displaystyle (x\cos y-y\sin y)e^{x}\leq -1/e.}$

Внутри областей, ограниченных указанным выше, нет разрывных изменений , и эти области определяют, где функция просто обратима, т.е. ${\displaystyle W(n,ze^{z})}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W(n,ze^{z})=z}$

Исчисление

Производная

Путем неявного дифференцирования можно показать, что все ветви W удовлетворяют дифференциальному уравнению

${\displaystyle z(1+W){\frac {dW}{dz}}=W\quad {\text{for }}z\neq -{\frac {1}{e}}.}$

( W не дифференцируемо при z = −1/е.) Как следствие, получаем следующую формулу для производной W :

${\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\quad {\text{for }}z\not \in \left\{0,-{\frac {1}{e}}\right\}.}$

Используя тождество e ^{W ( z )} =я/Вт ( z ), мы получаем следующую эквивалентную формулу:

${\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}\quad {\text{for }}z\neq -{\frac {1}{e}}.}$

В начале у нас есть

${\displaystyle W'_{0}(0)=1.}$

интеграл

Функция W ( x ) и многие другие выражения, включающие W ( x ) , могут быть проинтегрированы с помощью замены w = W ( x ) , т.е. x = we ^w :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int W(x)\,dx&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\&=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.\end{aligned}}}$

(Последнее уравнение более распространено в литературе, но не определено при x = 0 ). Одним из следствий этого (с учетом того, что W ₀ ( e ) = 1 ) является тождество

${\displaystyle \int _{0}^{e}W_{0}(x)\,dx=e-1.}$

Асимптотические разложения

Ряд Тейлора W 0 _вокруг 0 ​​можно найти с помощью теоремы обращения Лагранжа и имеет вид

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}=x-x^{2}+{\tfrac {3}{2}}x^{3}-{\tfrac {8}{3}}x^{4}+{\tfrac {125}{24}}x^{5}-\cdots .}$

Радиус сходимости _1/е, как можно увидеть с помощью теста отношения . Функция, определенная этим рядом, может быть расширена до голоморфной функции , определенной для всех комплексных чисел с ветвью, разрезанной на интервале (−∞, −1/е] ; эта голоморфная функция определяет главную ветвь функции Ламберта W.

_{Для больших} значений x W 0 асимптотически равна

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(x)&=L_{1}-L_{2}+{\frac {L_{2}}{L_{1}}}+{\frac {L_{2}\left(-2+L_{2}\right)}{2L_{1}^{2}}}+{\frac {L_{2}\left(6-9L_{2}+2L_{2}^{2}\right)}{6L_{1}^{3}}}+{\frac {L_{2}\left(-12+36L_{2}-22L_{2}^{2}+3L_{2}^{3}\right)}{12L_{1}^{4}}}+\cdots \\[5pt]&=L_{1}-L_{2}+\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{l}\left[{\begin{smallmatrix}l+m\\l+1\end{smallmatrix}}\right]}{m!}}L_{1}^{-l-m}L_{2}^{m},\end{aligned}}}$

где L ₁ = ln x , L ₂ = ln ln x и [^{л + м}
_{л + 1}] — неотрицательноечисло Стирлинга первого рода. ^[3]Сохраняя только первые два члена разложения,

${\displaystyle W_{0}(x)=\ln x-\ln \ln x+{\mathcal {o}}(1).}$

Другая вещественная ветвь, W ₋₁ , определенная в интервале [−1/е, 0) имеет аппроксимацию того же вида, когда x приближается к нулю, причем в этом случае L ₁ = ln(− x ) и L ₂ = ln(−ln(− x )) . ^[3]

Целые и комплексные степени

Целые степени W ₀ также допускают простое разложение в ряд Тейлора (или Лорана ) в нуле:

${\displaystyle W_{0}(x)^{2}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {-2\left(-n\right)^{n-3}}{(n-2)!}}x^{n}=x^{2}-2x^{3}+4x^{4}-{\tfrac {25}{3}}x^{5}+18x^{6}-\cdots .}$

В более общем смысле, для r ∈ Z формула обращения Лагранжа дает

${\displaystyle W_{0}(x)^{r}=\sum _{n=r}^{\infty }{\frac {-r\left(-n\right)^{n-r-1}}{(n-r)!}}x^{n},}$

что, вообще говоря, является рядом Лорана порядка r . Эквивалентно, последнее можно записать в виде разложения Тейлора степеней W ₀ ( x ) / x :

${\displaystyle \left({\frac {W_{0}(x)}{x}}\right)^{r}=e^{-rW_{0}(x)}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {r\left(n+r\right)^{n-1}}{n!}}\left(-x\right)^{n},}$

которое справедливо для любого r ∈ C и | х | <1/е.

Границы и неравенства

Для функции Ламберта известен ряд неасимптотических оценок.

Хурфар и Хассани ^{[10] показали, что для} x ≥ e справедлива следующая оценка :

${\displaystyle \ln x-\ln \ln x+{\frac {\ln \ln x}{2\ln x}}\leq W_{0}(x)\leq \ln x-\ln \ln x+{\frac {e}{e-1}}{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}.}$

Они также показали общую границу

${\displaystyle W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {x+y}{1+\ln(y)}}\right),}$

для каждого и с равенством только для . Граница позволяет сделать множество других границ, например, взятие, которое дает границу ${\displaystyle y>1/e}$ ${\displaystyle x\geq -1/e}$ ${\displaystyle x=y\ln(y)}$ ${\displaystyle y=x+1}$

${\displaystyle W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {2x+1}{1+\ln(x+1)}}\right).}$

В 2013 г. было доказано ^[11] , что ветвь W ₋₁ можно ограничить следующим образом:

${\displaystyle -1-{\sqrt {2u}}-u<W_{-1}\left(-e^{-u-1}\right)<-1-{\sqrt {2u}}-{\tfrac {2}{3}}u\quad {\text{for }}u>0.}$

Роберто Яконо и Джон П. Бойд ^[12] расширили границы следующим образом:

${\displaystyle \ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)-{\frac {\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}{1+\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}}\ln \left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)\leq W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)-\ln \left(\left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)\left(1-{\frac {\ln \left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)}{1+\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}}\right)\right).}$

Личности

График W _j ( x e ^x ), где синий соответствует j = 0, а красный — j = −1. Диагональная линия представляет интервалы, где W _j ( x e ^x ) = x

Произведение логарифма функции Ламберта W W 2(z), построенное в комплексной плоскости от −2−2i до 2+2i

Из определения следуют несколько тождеств:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\geq -1,\\W_{-1}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\leq -1.\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что, поскольку f ( x ) = xe ^x не является инъективным , не всегда выполняется условие W ( f ( x )) = x , во многом как в случае с обратными тригонометрическими функциями . При фиксированных x < 0 и x ≠ −1 уравнение xe ^x = ye ^y имеет два действительных решения относительно y , одно из которых, конечно же, y = x . Тогда для i = 0 и x < −1 , а также для i = −1 и x ∈ (−1, 0) y = W _i ( xe ^x ) является другим решением.

Некоторые другие личности: ^[13]

${\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)e^{W(x)}=x,\quad {\text{therefore:}}\\[5pt]&e^{W(x)}={\frac {x}{W(x)}},\qquad e^{-W(x)}={\frac {W(x)}{x}},\qquad e^{nW(x)}=\left({\frac {x}{W(x)}}\right)^{n}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \ln W_{0}(x)=\ln x-W_{0}(x)\quad {\text{for }}x>0.}$^[14]

${\displaystyle W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{0}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}{\frac {1}{e}}\leq x.}$

${\displaystyle W_{-1}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{-1}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}0<x\leq {\frac {1}{e}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)=\ln {\frac {x}{W(x)}}&&{\text{for }}x\geq -{\frac {1}{e}},\\[5pt]&W\left({\frac {nx^{n}}{W\left(x\right)^{n-1}}}\right)=nW(x)&&{\text{for }}n,x>0\end{aligned}}}$

(который можно распространить на другие n и x , если выбрана правильная ветвь).

${\displaystyle W(x)+W(y)=W\left(xy\left({\frac {1}{W(x)}}+{\frac {1}{W(y)}}\right)\right)\quad {\text{for }}x,y>0.}$

Подставляя −ln x в определение: ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}0&<x\leq e,\\[5pt]W_{-1}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}x&>e.\end{aligned}}}$

С повторной экспонентой Эйлера h ( x ) :

${\displaystyle {\begin{aligned}h(x)&=e^{-W(-\ln x)}\\&={\frac {W(-\ln x)}{-\ln x}}\quad {\text{for }}x\neq 1.\end{aligned}}}$

Особые значения

Ниже приведены особые значения основной ветви:

${\displaystyle W_{0}\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {i\pi }{2}}.}$

${\displaystyle W_{0}\left(-{\frac {1}{e}}\right)=-1.}$

${\displaystyle W_{0}\left(2\ln 2\right)=\ln 2.}$

${\displaystyle W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\ {\text{ provided }}\ x\geqslant 1/e\approx 0.36788.}$

${\displaystyle W_{0}\left(x^{x+1}\ln x\right)=x\ln x\ {\text{ provided }}\ x>0.}$

${\displaystyle W_{0}(0)=0.}$

${\displaystyle W_{0}(1)=\Omega =\left(\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{\left(e^{t}-t\right)^{2}+\pi ^{2}}}\right)^{-1}-1\approx 0.56714329\ldots }$( константа омега ).

${\displaystyle W_{0}(1)=e^{-W_{0}(1)}=\ln \left({\frac {1}{W_{0}(1)}}\right)=-\ln W_{0}(1).}$

${\displaystyle W_{0}(e)=1.}$

${\displaystyle W_{0}\left(e^{1+e}\right)=e.}$

${\displaystyle W_{0}\left({\frac {\sqrt {e}}{2}}\right)={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle W_{0}\left({\frac {\sqrt[{n}]{e}}{n}}\right)={\frac {1}{n}}}$

${\displaystyle W_{0}(-1)\approx -0.31813+1.33723i.}$

Представительства

Главную ветвь функции Ламберта можно представить собственным интегралом по Пуассону: ^[16]

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}W_{0}(-x)=\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)-xe^{\cos t}\sin \left({\tfrac {5}{2}}t-\sin t\right)}{1-2xe^{\cos t}\cos(t-\sin t)+x^{2}e^{2\cos t}}}\sin \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\,dt\quad {\text{for }}|x|<{\frac {1}{e}}.}$

В более широком смысле —1/е≤ x ≤ e значительно более простое представление было найдено Мезё: ^[17]

${\displaystyle W_{0}(x)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\ln \left({\frac {e^{e^{it}}-xe^{-it}}{e^{e^{it}}-xe^{it}}}\right)\,dt.}$

Другое представление главной ветви было найдено тем же автором ^[18] и ранее Калугиным-Джеффри-Корлессом: ^[19]

${\displaystyle W_{0}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\ln \left(1+x{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt.}$

Для главной ветви также справедливо следующее представление цепной дроби : ^[20]

${\displaystyle W_{0}(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2+{\cfrac {5x}{3+{\cfrac {17x}{10+{\cfrac {133x}{17+{\cfrac {1927x}{190+{\cfrac {13582711x}{94423+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}.}$

Кроме того, если | W ₀ ( Икс ) | < 1 : ^[21]

${\displaystyle W_{0}(x)={\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.}$

В свою очередь, если | W ₀ ( Икс ) | > е , тогда

${\displaystyle W_{0}(x)=\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.}$

Другие формулы

Определенные интегралы

Существует несколько полезных формул определенных интегралов, включающих главную ветвь функции W , в том числе следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\pi }W_{0}\left(2\cot ^{2}x\right)\sec ^{2}x\,dx=4{\sqrt {\pi }}.\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx=2{\sqrt {2\pi }}.\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }W_{0}\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\,dx={\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}}$

Первое тождество можно найти, записав интеграл Гаусса в полярных координатах .

Второе тождество можно получить, сделав замену u = W ₀ ( x ) , что дает

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=ue^{u},\\[5pt]{\frac {dx}{du}}&=(u+1)e^{u}.\end{aligned}}}$

Таким образом

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }u^{\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}du+\int _{0}^{\infty }u^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}du\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw&&\quad (u=2w)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)+{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\right)+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {\pi }}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}}$

Третье тождество может быть получено из второго путем замены u = x ⁻² , а первое также может быть получено из третьего путем замены z =1/√ 2загар х .

За исключением z вдоль разреза ветвления (−∞, −1/е] (где интеграл не сходится), главная ветвь функции Ламберта W может быть вычислена с помощью следующего интеграла: ^[22]

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(z)&={\frac {z}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\left(1-\nu \cot \nu \right)^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}\,d\nu \\[5pt]&={\frac {z}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\left(1-\nu \cot \nu \right)^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}\,d\nu ,\end{aligned}}}$

где два интегральных выражения эквивалентны из-за симметрии подынтегральной функции.

Неопределенные интегралы

$${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C}$$

1-е доказательство

Ввести переменную подстановки ${\displaystyle u=W(x)\rightarrow ue^{u}=x\;\;\;\;{\frac {d}{du}}ue^{u}=(u+1)e^{u}}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int {\frac {u}{ue^{u}}}(u+1)e^{u}\,du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int {\frac {\cancel {\color {OliveGreen}{u}}}{{\cancel {\color {OliveGreen}{u}}}{\cancel {\color {BrickRed}{e^{u}}}}}}\left(u+1\right){\cancel {\color {BrickRed}{e^{u}}}}\,du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int u+1\,du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {u^{2}}{2}}+u+C}$

${\displaystyle u=W(x)}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C}$

2-е доказательство

${\displaystyle W(x)e^{W(x)}=x\rightarrow {\frac {W(x)}{x}}=e^{-W(x)}}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int e^{-W(x)}\,dx}$

${\displaystyle u=W(x)\rightarrow ue^{u}=x\;\;\;\;{\frac {d}{\,du}}ue^{u}=\left(u+1\right)e^{u}}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int e^{-u}(u+1)e^{u}\,du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int {\cancel {\color {OliveGreen}{e^{-u}}}}\left(u+1\right){\cancel {\color {OliveGreen}{e^{u}}}}\,du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int u+1\,du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {u^{2}}{2}}+u+C}$

${\displaystyle u=W(x)}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C}$

$${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C}$$

Доказательство

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx}$

${\displaystyle u=Bx\rightarrow {\frac {u}{B}}=x\;\;\;\;{\frac {d}{du}}{\frac {u}{B}}={\frac {1}{B}}}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;\int W\left(Ae^{u}\right){\frac {1}{B}}du}$

${\displaystyle v=e^{u}\rightarrow \ln \left(v\right)=u\;\;\;\;{\frac {d}{dv}}\ln \left(v\right)={\frac {1}{v}}}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {W\left(Av\right)}{v}}dv}$

${\displaystyle w=Av\rightarrow {\frac {w}{A}}=v\;\;\;\;{\frac {d}{dw}}{\frac {w}{A}}={\frac {1}{A}}}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {{\cancel {\color {OliveGreen}{A}}}W(w)}{w}}{\cancel {\color {OliveGreen}{\frac {1}{A}}}}dw}$

${\displaystyle t=W\left(w\right)\rightarrow te^{t}=w\;\;\;\;{\frac {d}{dt}}te^{t}=\left(t+1\right)e^{t}}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {t}{te^{t}}}\left(t+1\right)e^{t}dt}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {\cancel {\color {OliveGreen}{t}}}{{\cancel {\color {OliveGreen}{t}}}{\cancel {\color {BrickRed}{e^{t}}}}}}\left(t+1\right){\cancel {\color {BrickRed}{e^{t}}}}dt}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int t+1dt}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {t^{2}}{2B}}+{\frac {t}{B}}+C}$

${\displaystyle t=W\left(w\right)}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(w\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(w\right)}{B}}+C}$

${\displaystyle w=Av}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Av\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Av\right)}{B}}+C}$

${\displaystyle v=e^{u}}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{u}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{u}\right)}{B}}+C}$

${\displaystyle u=Bx}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C}$

$${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C}$$

Доказательство

Введем переменную подстановки , которая дает нам и ${\displaystyle u=W(x)}$ ${\displaystyle ue^{u}=x}$ ${\displaystyle {\frac {d}{du}}ue^{u}=\left(u+1\right)e^{u}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;&=\;\int {\frac {u}{\left(ue^{u}\right)^{2}}}\left(u+1\right)e^{u}du\\&=\;\int {\frac {u+1}{ue^{u}}}du\\&=\;\int {\frac {u}{ue^{u}}}du\;+\;\int {\frac {1}{ue^{u}}}du\\&=\;\int e^{-u}du\;+\;\int {\frac {e^{-u}}{u}}du\end{aligned}}}$

${\displaystyle v=-u\rightarrow -v=u\;\;\;\;{\frac {d}{dv}}-v=-1}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\int e^{v}\left(-1\right)dv\;+\;\int {\frac {e^{-u}}{u}}du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;-e^{v}+\operatorname {Ei} \left(-u\right)+C}$

${\displaystyle v=-u}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;-e^{-u}+\operatorname {Ei} \left(-u\right)+C}$

${\displaystyle u=W(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;&=\;-e^{-W(x)}+\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)+C\\&=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C\end{aligned}}}$

Приложения

Решение уравнений

Функция Ламберта W используется для решения уравнений, в которых неизвестная величина входит как в основание, так и в показатель степени или как внутри, так и вне логарифма. Стратегия состоит в том, чтобы преобразовать такое уравнение в одну из форм ze ^z = w , а затем найти z , используя функцию W.

Например, уравнение

${\displaystyle 3^{x}=2x+2}$

(где x — неизвестное действительное число) можно решить, переписав его как

${\displaystyle {\begin{aligned}&(x+1)\ 3^{-x}={\frac {1}{2}}&({\mbox{multiply by }}3^{-x}/2)\\\Leftrightarrow \ &(-x-1)\ 3^{-x-1}=-{\frac {1}{6}}&({\mbox{multiply by }}{-}1/3)\\\Leftrightarrow \ &(\ln 3)(-x-1)\ e^{(\ln 3)(-x-1)}=-{\frac {\ln 3}{6}}&({\mbox{multiply by }}\ln 3)\end{aligned}}}$

Это последнее уравнение имеет желаемую форму, и решения для действительного x :

${\displaystyle (\ln 3)(-x-1)=W_{0}\left({\frac {-\ln 3}{6}}\right)\ \ \ {\textrm {or}}\ \ \ (\ln 3)(-x-1)=W_{-1}\left({\frac {-\ln 3}{6}}\right)}$

и поэтому:

${\displaystyle x=-1-{\frac {W_{0}\left(-{\frac {\ln 3}{6}}\right)}{\ln 3}}=-0.79011\ldots \ \ {\textrm {or}}\ \ x=-1-{\frac {W_{-1}\left(-{\frac {\ln 3}{6}}\right)}{\ln 3}}=1.44456\ldots }$

Как правило, решение

${\displaystyle x=a+b\,e^{cx}}$

является:

${\displaystyle x=a-{\frac {1}{c}}W(-bc\,e^{ac})}$

где a , b и c — комплексные константы, причем b и c не равны нулю, а функция W имеет любой целочисленный порядок.

Вязкие потоки

Фронты и отложения зернистых и селевых потоков, а также фронты вязких жидкостей в природных явлениях и в лабораторных экспериментах можно описать с помощью омега-функции Ламберта – Эйлера следующим образом:

${\displaystyle H(x)=1+W\left((H(0)-1)e^{(H(0)-1)-{\frac {x}{L}}}\right),}$

где H ( x ) – высота селевого потока, x – положение русла ниже по течению, L – единый параметр модели, состоящий из нескольких физических и геометрических параметров потока, высоты потока и градиента гидравлического давления.

В трубопроводном потоке функция Ламберта W является частью явной формулировки уравнения Колбрука для определения коэффициента трения Дарси . Этот коэффициент используется для определения падения давления на прямом участке трубы при турбулентном потоке . ^[23]

Зависящий от времени поток в простых гидравлических системах

Основная ветвь W- функции Ламберта использовалась в области машиностроения при изучении зависящего от времени переноса ньютоновских жидкостей между двумя резервуарами с различными уровнями свободной поверхности с использованием центробежных насосов. ^[24] Функция Ламберта W обеспечила точное решение скорости потока жидкости как в ламинарном, так и в турбулентном режимах:

$${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{\text{turb}}&={\frac {Q_{i}}{\zeta _{i}}}W_{0}\left[\zeta _{i}\,e^{(\zeta _{i}+\beta t/b)}\right]\\Q_{\text{lam}}&={\frac {Q_{i}}{\xi _{i}}}W_{0}\left[\xi _{i}\,e^{\left(\xi _{i}+\beta t/(b-\Gamma _{1})\right)}\right]\end{aligned}}}$$

${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle t}$

Нейровизуализация

Функция Ламберта W использовалась в области нейровизуализации для связи изменений мозгового кровотока и потребления кислорода в вокселах мозга с соответствующим сигналом, зависящим от уровня оксигенации крови (жирным шрифтом). ^[25]

Химическая инженерия

W -функция Ламберта использовалась в области химической технологии для моделирования толщины пористой электродной пленки в суперконденсаторе на основе стеклоуглерода для электрохимического хранения энергии. Функция Ламберта W оказалась точным решением для процесса термической активации в газовой фазе, где рост углеродной пленки и горение той же пленки конкурируют друг с другом. ^{[26] [27]}

Рост кристаллов

При росте кристаллов отрицательный принцип W-функции Ламберта можно использовать для расчета коэффициента распределения , и концентрации растворенного вещества в расплаве , [ ^{28] [29]} из уравнения Шейля : ${\textstyle k}$ ${\textstyle C_{L}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&k={\frac {W_{0}(Z)}{\ln(1-fs)}}\\&C_{L}={\frac {C_{0}}{(1-fs)}}e^{W_{0}(Z)}\\&Z={\frac {C_{S}}{C_{0}}}(1-fs)\ln(1-fs)\end{aligned}}}$

Материаловедение

W -функция Ламберта использовалась в области выращивания эпитаксиальных пленок для определения критической толщины пленки, в которой возникают дислокации . Это расчетная толщина эпитаксиальной пленки, при которой в соответствии с термодинамическими принципами в пленке образуются кристаллографические дислокации, чтобы минимизировать упругую энергию, запасенную в пленках. До применения Ламберта W для решения этой задачи критическая толщина должна была быть определена путем решения неявного уравнения. Ламберт В. превращает это в явное уравнение для удобной аналитической обработки. ^[30]

Пористые среды

W- функция Ламберта использовалась в области течения жидкости в пористых средах для моделирования наклона границы раздела, разделяющей две гравитационно разделенные жидкости в однородном наклоненном пористом слое с постоянным наклоном и толщиной, где более тяжелая жидкость, впрыскиваемая в нижний конец, вытесняет жидкость для зажигалок, которая производится с той же скоростью из верхнего конца. Основная ветвь решения соответствует стабильным смещениям, тогда как ветвь -1 применяется, если перемещение неустойчиво, когда более тяжелая жидкость течет под более легкой жидкостью. ^[31]

Числа Бернулли и род Тодда

Уравнение (связанное с производящими функциями чисел Бернулли и рода Тодда ):

${\displaystyle Y={\frac {X}{1-e^{X}}}}$

можно решить с помощью двух вещественных ветвей W ₀ и W ₋₁ :

${\displaystyle X(Y)={\begin{cases}W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)-W_{0}\left(Ye^{Y}\right)=Y-W_{0}\left(Ye^{Y}\right)&{\text{for }}Y<-1,\\W_{0}\left(Ye^{Y}\right)-W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)=Y-W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)&{\text{for }}-1<Y<0.\end{cases}}}$

Это приложение показывает, что разность ветвей функции W можно использовать для решения других трансцендентных уравнений. ^[32]

Статистика

Центроид набора гистограмм, определенных относительно симметризованной дивергенции Кульбака – Лейблера (также называемой дивергенцией Джеффриса ^[33] ), имеет замкнутую форму с использованием функции Ламберта W. ^[34]

Объединение тестов на инфекционные заболевания

Для определения оптимального размера группы для объединения тестов, чтобы хотя бы один человек был инфицирован, используется W- функция Ламберта. ^{[35] [36] [37]}

Точные решения уравнения Шредингера

Функция Ламберта W появляется в квантово-механическом потенциале, который дает пятое (после гармонического осциллятора плюс центробежного, кулоновского плюс обратного квадрата, потенциала Морса и обратного квадратного корня) точное решение стационарной функции. размерное уравнение Шрёдингера в терминах вырожденных гипергеометрических функций. Потенциал задается как

${\displaystyle V={\frac {V_{0}}{1+W\left(e^{-{\frac {x}{\sigma }}}\right)}}.}$

Особенность решения состоит в том, что каждое из двух фундаментальных решений, составляющих общее решение уравнения Шредингера, дается комбинацией двух конфлюэнтных гипергеометрических функций с аргументом, пропорциональным ^[38]

${\displaystyle z=W\left(e^{-{\frac {x}{\sigma }}}\right).}$

Функция Ламберта W также появляется в точном решении для энергии связанного состояния одномерного уравнения Шредингера с двойным дельта-потенциалом .

Точное решение константы связи КХД

В квантовой хромодинамике , квантовой теории поля сильного взаимодействия , константа связи вычисляется пертурбативно, порядок n соответствует диаграммам Фейнмана , включающим n квантовых петель. ^[39] Решение первого порядка, n=1, является точным (при этом порядок) и аналитическим. При более высоких порядках, n>1, точного аналитического решения не существует, и для получения приближенного решения обычно используется итерационный метод . Однако для второго порядка, n=2, функция Ламберта обеспечивает точное (хотя и неаналитическое) решение. ^[39] ${\displaystyle \alpha _{\text{s}}}$

Точные решения уравнений вакуума Эйнштейна

В метрическом решении Шварцшильда вакуумных уравнений Эйнштейна функция W необходима для перехода от координат Эддингтона – Финкельштейна к координатам Шварцшильда. По этой причине он также появляется при построении координат Крускала–Секереша .

Резонансы потенциала дельта-оболочки

S-волновые резонансы потенциала дельта-оболочки можно точно записать через W- функцию Ламберта. ^[40]

Термодинамическое равновесие

Если в реакции участвуют реагенты и продукты, теплоемкости которых постоянны с температурой, то константа равновесия K подчиняется

${\displaystyle \ln K={\frac {a}{T}}+b+c\ln T}$

для некоторых констант a , b и c . Когда c (равныйΔ С _р/р) не равно нулю, мы можем найти значение или значения T , где K равно заданному значению, следующим образом, где мы используем L для ln T .

${\displaystyle {\begin{aligned}-a&=(b-\ln K)T+cT\ln T\\&=(b-\ln K)e^{L}+cLe^{L}\\[5pt]-{\frac {a}{c}}&=\left({\frac {b-\ln K}{c}}+L\right)e^{L}\\[5pt]-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}&=\left(L+{\frac {b-\ln K}{c}}\right)e^{L+{\frac {b-\ln K}{c}}}\\[5pt]L&=W\left(-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}\right)+{\frac {\ln K-b}{c}}\\[5pt]T&=\exp \left(W\left(-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}\right)+{\frac {\ln K-b}{c}}\right).\end{aligned}}}$

Если a и c имеют одинаковый знак, будет либо два решения, либо ни одного (или одно, если аргумент W точно равен —1/е). (Верхнее решение может быть неактуальным.) Если они имеют противоположные знаки, то решение будет одно.

Фазовое разделение полимерных смесей

При расчете фазовой диаграммы термодинамически несовместимых полимерных смесей по модели Эдмонда-Огстона решения для бинодали и связующих линий формулируются в терминах W -функций Ламберта. ^[41]

Закон смещения Вина в D -мерной вселенной

Закон смещения Вина выражается как . При и , где – спектральная плотность энергии энергии, находят . Решение показывает, что спектральная плотность энергии зависит от размерности Вселенной. ^[42] ${\displaystyle \nu _{\max }/T=\alpha =\mathrm {const} }$ ${\displaystyle x=h\nu _{\max }/k_{\mathrm {B} }T}$ ${\displaystyle d\rho _{T}\left(x\right)/dx=0}$ ${\displaystyle \rho _{T}}$ ${\displaystyle e^{-x}=1-{\frac {x}{D}}}$ ${\displaystyle x=D+W\left(-De^{-D}\right)}$

Переписка AdS/CFT

Классические поправки конечного размера к дисперсионным соотношениям гигантских магнонов, одиночных спайков и струн ГКП можно выразить через W -функцию Ламберта. ^{[43] [44]}

Эпидемиология

В пределе t → ∞ модели SIR доля восприимчивых и выздоровевших лиц имеет решение в терминах W- функции Ламберта. ^[45]

Определение времени полета снаряда

Общее время полета снаряда, испытывающего сопротивление воздуха, пропорциональное его скорости, можно в точной форме определить с помощью W- функции Ламберта .

Распространение электромагнитных поверхностных волн

Трансцендентное уравнение, возникающее при определении волнового числа распространения электромагнитной аксиально-симметричной поверхностной волны (одиночной моды ТМ01 с низким затуханием), распространяющейся в цилиндрической металлической проволоке, приводит к уравнению вида u ln u = v ( где u и v объединяют геометрические и физические факторы задачи), которая решается W- функцией Ламберта. Первое решение этой проблемы, предложенное Зоммерфельдом примерно в 1898 году, уже содержало итерационный метод определения значения W -функции Ламберта. ^[46]

Ортогональные траектории реальных эллипсов

Семейство эллипсов с центром параметризуется эксцентриситетом . Ортогональные траектории этого семейства задаются дифференциальным уравнением, общим решением которого является семейство . ${\displaystyle x^{2}+(1-\varepsilon ^{2})y^{2}=\varepsilon ^{2}}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \left({\frac {1}{y}}+y\right)dy=\left({\frac {1}{x}}-x\right)dx}$ ${\displaystyle y^{2}=}$ ${\displaystyle W_{0}(x^{2}\exp(-2C-x^{2}))}$

Обобщения

Стандартная функция Ламберта W выражает точные решения трансцендентных алгебраических уравнений (от x ) вида:

где a ₀ , c и r — действительные константы. Решение

$${\displaystyle x=r+{\frac {1}{c}}W\left({\frac {c\,e^{-cr}}{a_{0}}}\right).}$$

W ^{[47] [48] [49]}

• Приложение к общей теории относительности и квантовой механике ( квантовой гравитации ) в более низких измерениях, фактически связь (неизвестная до 2007 года ^[50] ) между этими двумя областями, где правая часть ( 1 ) заменяется квадратичным полиномом в х :

  где r ₁ и r ₂ — вещественные различные константы, корни квадратного многочлена. Здесь решением является функция, которая имеет один аргумент x , но такие термины, как r _i и a ₀ , являются параметрами этой функции. В этом отношении обобщение напоминает гипергеометрическую функцию и G -функцию Мейера , но принадлежит другому классу функций. Когда r ₁ = r ₂ , обе части ( 2 ) можно разложить на множители и свести к ( 1 ), и, таким образом, решение сводится к решению стандартной функции W. Уравнение ( 2 ) выражает уравнение, управляющее дилатонным полем, из которого выводится метрика R = T или линейной задачи гравитации двух тел в 1 + 1 измерениях (одно пространственное измерение и одно временное измерение) для случая неравного покоя массы, а также собственные энергии квантовомеханической модели дельта-функции Дирака с двойной ямой для неравных зарядов в одном измерении.

• Аналитические решения собственных энергий частного случая квантовомеханической задачи трех тел , а именно (трехмерной) молекулы-иона водорода . ^[51] Здесь правая часть ( 1 ) заменяется отношением полиномов бесконечного порядка по x :

  где r _i и s _i — различные действительные константы, а x — функция собственной энергии и межъядерного расстояния R. Уравнение ( 3 ) с его частными случаями, выраженными в ( 1 ) и ( 2 ), относится к большому классу дифференциальных уравнений с запаздыванием . Понятие Г.Х. Харди о «ложной производной» обеспечивает точные кратные корни для особых случаев ( 3 ). ^[52]

Приложения W- функции Ламберта в фундаментальных физических задачах не исчерпываются даже для стандартного случая, выраженного в ( 1 ), наблюдаемого в последнее время в области атомной, молекулярной и оптической физики . ^[53]

Участки

• Графики функции Ламберта W на комплексной плоскости
• 
  z = Re( W ₀ ( x + iy ))
• 
  z = Im( W ₀ ( x + iy ))
• 
  г = | W ₀ ( Икс + iy ) |
• 
  Наложение предыдущих трех графиков

Численная оценка

Функция W может быть аппроксимирована с использованием метода Ньютона , при этом последовательные приближения к w = W ( z ) (так что z = we ^w ) будут

${\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}+w_{j}e^{w_{j}}}}.}$

Функция W также может быть аппроксимирована методом Галлея :

${\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}\left(w_{j}+1\right)-{\dfrac {\left(w_{j}+2\right)\left(w_{j}e^{w_{j}}-z\right)}{2w_{j}+2}}}}}$

приведено в Corless et al. ^[3] для вычисления W.

В реальном случае его можно аппроксимировать рекурсивной формулой с квадратичной скоростью Р. Яконо и Дж. П. Бойда: ^[12] ${\displaystyle x\geq -1/e}$

${\displaystyle w_{n+1}(x)={\frac {w_{n}(x)}{1+w_{n}(x)}}\left(1+\log \left({\frac {x}{w_{n}(x)}}\right)\right).}$

Лайош Лоци доказывает, что, выбирая подходящее , ${\displaystyle w_{0}(x)}$

• если : ${\displaystyle x\in (e,\infty )}$ ${\displaystyle w_{0}(x)=\log(x)-\log(\log(x)),}$
• если ${\displaystyle x\in (0,e):}$ ${\displaystyle w_{0}(x)=x/e,}$
• если ${\displaystyle x\in (-1/e,0):}$
  • для основного филиала : ${\displaystyle W_{0}}$ ${\displaystyle w_{0}(x)={\frac {ex}{1+ex+{\sqrt {1+ex}}}}\log(1+{\sqrt {1+ex}}),}$
  • для филиала : ${\displaystyle W_{-1}}$
    • ${\displaystyle w_{0}(x)=-1-{\sqrt {2(1+ex)}},}$для ${\displaystyle x\in (-1/e,-1/4],}$
    • ${\displaystyle w_{0}(x)=\log(-x)-\log(-\log(-x)),}$для ${\displaystyle x\in (-1/4,0),}$

можно заранее определить максимальное количество шагов итерации для любой точности: ^[54]

• если (теорема 2.4): ${\displaystyle x\in (e,\infty )}$ ${\displaystyle 0<W_{0}(x)-w_{n}(x)<\left(\log(1+1/e)\right)^{2^{n}},}$
• если (теорема 2.9): ${\displaystyle x\in (0,e)}$ ${\displaystyle 0<W_{0}(x)-w_{n}(x)<{\frac {\left(1-1/e\right)^{2^{n}-1}}{5}},}$
• если ${\displaystyle x\in (-1/e,0):}$
  • для главной ветви (теорема 2.17): ${\displaystyle W_{0}}$ ${\displaystyle 0<w_{n}(x)-W_{0}(x)<\left(1/10\right)^{2^{n}},}$
  • для ветви (теорема 2.23): ${\displaystyle W_{-1}}$ ${\displaystyle 0<W_{-1}(x)-w_{n}(x)<\left(1/2\right)^{2^{n}}.}$

Программное обеспечение

Функция Ламберта W реализована как LambertWв Maple, ^[55] lambertw в GP (и glambertWв PARI ), lambertwв Matlab , ^[56] также lambertwв Octave с specfunпакетом, как lambert_wв Maxima, ^[57] как ProductLog(с молчаливым псевдонимом LambertW) в Mathematica , ^[58] как в пакете специальных функций lambertwPython scipy , ^[59] как в модуле LambertWPerl , ^[60] и as , функции в разделе специальных функций Научной библиотеки GNU (GSL). В библиотеках Boost C++ это вызовы , , и . В R функция Ламберта W реализована как функции и в пакете. ^[61]ntheorygsl_sf_lambert_W0gsl_sf_lambert_Wm1lambert_w0lambert_wm1lambert_w0_primelambert_wm1_primelambertW0lambertWm1lamW

Код C++ для всех ветвей сложной функции Ламберта W доступен на домашней странице Иштвана Мезё. ^[62]

Смотрите также

• Омега-функция Райта
• Трехчленное уравнение Ламберта
• Теорема обращения Лагранжа
• Экспериментальная математика
• Метод Гольштейна – Херринга
• Модель R = T
• Пи- лемма Росса

Примечания

1. Лехтонен, Юсси (апрель 2016 г.), Рис, Марк (ред.), «Функция Ламберта W в экологических и эволюционных моделях», Methods in Ecology and Evolution , 7 (9): 1110–1118, doi : 10.1111/2041- 210x.12568 , S2CID  124111881
2. Чоу, Тимоти Ю. (1999), «Что такое число закрытой формы?», American Mathematical Monthly , 106 (5): 440–448, arXiv : math/9805045 , doi : 10.2307/2589148, JSTOR  2589148, MR  1699262.
3. Corless, RM; Гонне, GH; Заяц, ДЭГ; Джеффри, диджей; Кнут, DE (1996). «О функции Ламберта W» (PDF) . Достижения в области вычислительной математики . 5 : 329–359. дои : 10.1007/BF02124750. S2CID  29028411.
4. Ламберт Дж. Х., «Наблюдения за вариациями матезина пурама», Acta Helveticae физико-математическо-анатомико-ботанико-медика , Группа III, 128–168, 1758.
5. Эйлер, Л. "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus". Акта Акад. Научный. Петрополь. 2 , 29–51, 1783. Перепечатано в журнале Эйлера, L. Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Алгебраические комментарии . Лейпциг, Германия: Тойбнер, стр. 350–369, 1921.
6. Скотт, TC; Бэбб, Дж. Ф.; Дальгарно, А; Морган, Джон Д. (15 августа 1993 г.). «Расчет обменных сил: общие результаты и конкретные модели». Дж. Хим. Физ . Американский институт физики. 99 (4): 2841–2854. Бибкод : 1993JChPh..99.2841S. дои : 10.1063/1.465193. ISSN  0021-9606.
7. Корлесс, РМ; Гонне, GH; Заяц, ДЭГ; Джеффри, диджей (1993). «Функция Ламберта в Maple». Технический информационный бюллетень Maple . 9 :12–22. CiteSeerX 10.1.1.33.2556 . ${\displaystyle W}$ 
8. Мезё, Иштван (2022). Функция Ламберта W: ее обобщения и приложения. дои : 10.1201/9781003168102. ISBN 9781003168102. S2CID  247491347.
9. Бронштейн, Мануэль; Корлесс, Роберт М.; Давенпорт, Джеймс Х.; Джеффри, диджей (2008). «Алгебраические свойства функции Ламберта W {\displaystyle W} из результатов Розенлихта и Лиувилля» (PDF) . Интегральные преобразования и специальные функции . 19 (10): 709–712. дои : 10.1080/10652460802332342. S2CID  120069437. Архивировано (PDF) из оригинала 11 декабря 2015 г.
10. А. Хурфар, М. Хассани, Неравенства для функции Ламберта W и гиперстепенной функции, JIPAM, теорема 2.7, страница 7, том 9, выпуск 2, статья 51. 2008.
11. Хацигеоргиу, И. (2013). «Границы функции Ламберта и их применение к анализу сбоев взаимодействия пользователей». Коммуникационные письма IEEE . 17 (8): 1505–1508. arXiv : 1601.04895 . дои : 10.1109/LCOMM.2013.070113.130972. S2CID  10062685.
12. Яконо, Роберто; Бойд, Джон П. (01 декабря 2017 г.). «Новые приближения к главной вещественной ветви W-функции Ламберта». Достижения в области вычислительной математики . 43 (6): 1403–1436. дои : 10.1007/s10444-017-9530-3. ISSN  1572-9044. S2CID  254184098.
13. «Функция Ламберта: тождества (формула 01.31.17.0001)» .
14. "W-функция Ламберта" .
15. https://isa-afp.org/entries/Lambert_W.html Примечание: хотя одно из предположений соответствующей леммы гласит, что x должно быть > 1/ e , проверка указанной леммы показывает, что это предположение не используется. Нижняя граница на самом деле равна x > 0. Причина переключения ветвей в точке e проста: для x > 1 всегда есть два решения: −ln  x и еще одно, которое можно получить из точки x на другой стороне точки. e , который передавал бы то же значение в W ; они должны пересекаться в точке x = e : [1] W _n не может отличить значение ln x/x от x < e от того же значения от другого x > e , поэтому он не может изменить порядок возвращаемых значений.
16. Финч, SR (2003). Математические константы . Издательство Кембриджского университета. п. 450.
17. Мезё, Иштван. «Интегральное представление главной ветви функции Ламберта W» . Проверено 24 апреля 2022 г.
18. Мезё, Иштван (2020). «Интегральное представление функции Ламберта W». arXiv : 2012.02480 [math.CA]..
19. Калугин, Герман А.; Джеффри, Дэвид Дж.; Корлесс, Роберт М. (2011). «Стилтьес, Пуассон и другие интегральные представления для функций Ламберта W». arXiv : 1103,5640 [math.CV]..
20. Дубинов, А.Е.; Дубинова И.Д.; Сайков, СК (2006). Функция Ламберта В и ее приложения к математическим задачам физики . РФЯЦ-ВНИИЭФ. п. 53.
21. Роберт М., Корлесс; Дэвид Дж., Джеффри; Дональд Э., Кнут (1997). «Последовательность рядов для функции Ламберта W ». Материалы международного симпозиума 1997 года по символьным и алгебраическим вычислениям - ISSAC '97 . стр. 197–204. дои : 10.1145/258726.258783. ISBN 978-0897918756. S2CID  6274712.
22. «Функция Ламберта W». Исследовательский центр компьютерной алгебры Онтарио.
23. Еще, А.А. (2006). «Аналитические решения уравнения Колбрука и Уайта и перепада давления при течении идеального газа в трубах». Химико-техническая наука . 61 (16): 5515–5519. Бибкод :2006ЧЭнС..61.5515М. doi :10.1016/j.ces.2006.04.003.
24. Пеллегрини, CC; Заппи, Джорджия; Вилалта-Алонсо, Г. (12 мая 2022 г.). «Аналитическое решение для расчета нестационарного расхода в простых разветвленных гидравлических системах с центробежными насосами». Арабский журнал науки и техники . 47 (12): 16273–16287. дои : 10.1007/s13369-022-06864-9. ISSN  2193-567X. S2CID  248762601.
25. Сотеро, Роберто С.; Итуррия-Медина, Ясир (2011). «От сигналов, зависящих от уровня оксигенации крови (жирный шрифт), до карт температуры мозга». Bull Math Biol (Представлена ​​рукопись). 73 (11): 2731–47. doi : 10.1007/s11538-011-9645-5. PMID  21409512. S2CID  12080132.
26. Браун, Артур; Вокаун, Александр; Германнс, Хайнц-Гюнтер (2003). «Аналитическое решение задачи роста с двумя движущимися границами». Прикладная математическая модель . 27 (1): 47–52. дои : 10.1016/S0307-904X(02)00085-9 .
27. Браун, Артур; Берч, Мартин; Шнайдер, Бернхард; Кетц, Рюдигер (2000). «Модель роста пленки в образцах с двумя движущимися границами - применение и расширение модели непрореагировавшего ядра». Хим. англ. наука . 55 (22): 5273–5282. дои : 10.1016/S0009-2509(00)00143-3.
28. Асадян, М; Саиди, Х; Ядегари, М; Шоджаи, М. (июнь 2014 г.). «Определение равновесной сегрегации, эффективных коэффициентов сегрегации и диффузии для Nd + 3, легированного в расплавленном АИГ». Журнал роста кристаллов . 396 (15): 61–65. Бибкод : 2014JCrGr.396...61A. doi : 10.1016/j.jcrysgro.2014.03.028.https://doi.org/10.1016/j.jcrysgro.2014.03.028
29. Асадян, М; Забихи, Ф; Саиди, Х. (март 2024 г.). «Сегрегация и конституционное переохлаждение при росте кристаллов Nd: YAG Чохральского». Журнал роста кристаллов . 630 : 127605. doi : 10.1016/j.jcrysgro.2024.127605.https://doi.org/10.1016/j.jcrysgro.2024.127605
30. Браун, Артур; Бриггс, Кейт М.; Боэни, Питер (2003). «Аналитическое решение критической толщины образования дислокаций Мэтьюза и Блейксли в тонких пленках, выращенных эпитаксиально». J Рост кристаллов . 241 (1–2): 231–234. Бибкод : 2002JCrGr.241..231B. дои : 10.1016/S0022-0248(02)00941-7.
31. Колла, Пьетро (2014). «Новый аналитический метод движения двухфазной границы раздела в наклонной пористой среде». ПРОЦЕДУРЫ, Тридцать восьмой семинар по разработке геотермальных резервуаров, Стэнфордский университет . СГП-ТР-202.([2])
32. DJ Джеффри и Дж. Э. Янковски, «Различия в ветвях и Ламберт В.»
33. Флавия-Корина Митрой-Симеонидис; Ион Ангел; Сигэру Фуруичи (2019). «Кодировки для расчета гипоэнтропии перестановки и их применение к данным о натурном пожаре в отсеке». Акта Техника Напоценсис . 62, IV: 607–616.
34. Ф. Нильсен, «Центроиды Джеффриса: выражение в закрытой форме для положительных гистограмм и гарантированное точное приближение для частотных гистограмм»
35. https://arxiv.org/abs/2005.03051 Дж. Бэтсон и др., «СРАВНЕНИЕ АРХИТЕКТУР ГРУППОВОГО ТЕСТИРОВАНИЯ ДЛЯ ТЕСТИРОВАНИЯ НА COVID-19».
36. А. З. Бродер, «Заметки о тестах двойного объединения».
37. Рудольф Ханель, Стефан Тёрнер (2020). «Повышение эффективности тестирования за счет объединенного тестирования на SARS-CoV-2 — формула оптимального размера пула». ПЛОС ОДИН . 15, 11 (11): e0240652. Бибкод : 2020PLoSO..1540652H. дои : 10.1371/journal.pone.0240652 . ПМЦ 7641378 . ПМИД  33147228. 
38. А. М. Ишханян, "Барьер Ламберта В - точно решаемый конфлюэнтный гипергеометрический потенциал".
39. Деур, Александр; Бродский, Стэнли Дж.; Де Терамонд, Гай Ф. (2016). «Работающая муфта QCD». Прогресс в области физики элементарных частиц и ядерной физики . 90 : 1–74. arXiv : 1604.08082 . Бибкод :2016ПрПНП..90....1Д. дои :10.1016/j.ppnp.2016.04.003. S2CID  118854278.
40. де ла Мадрид, Р. (2017). «Численный расчет ширин распада, констант распада и энергетических спектров распада резонансов потенциала дельта-оболочки». Нукл. Физ. А. _ 962 : 24–45. arXiv : 1704.00047 . Бибкод : 2017NuPhA.962...24D. doi :10.1016/j.nuclphysa.2017.03.006. S2CID  119218907.
41. Бот, А.; Деви, БКК; Венема, П. (2021). «Распадающиеся бинарные полимерные смеси: вырождение вириальных коэффициентов и их извлечение из фазовых диаграмм». АСУ Омега . 6 (11): 7862–7878. дои : 10.1021/acsomega.1c00450 . ПМЦ 7992149 . ПМИД  33778298. 
42. Кардосо, ТР; де Кастро, А.С. (2005). «Излучение черного тела в D-мерной вселенной». Преподобный Брас. Энс. Фис . 27 (4): 559–563. дои : 10.1590/S1806-11172005000400007 . hdl : 11449/211894 .
43. Флоратос, Эммануэль; Георгиу, Джордж; Линардопулос, Георгиос (2014). «Большое спиновое расширение струн ГКП». JHEP . 2014 (3): 0180. arXiv : 1311.5800 . Бибкод : 2014JHEP...03..018F. doi : 10.1007/JHEP03(2014)018. S2CID  53355961.
44. Флоратос, Эммануэль; Линардопулос, Георгиос (2015). «Расширения гигантских магнонов и одиночных шипов с большим спином и большой обмоткой». Нукл. Физ. Б. _ 897 : 229–275. arXiv : 1406.0796 . Бибкод : 2015NuPhB.897..229F. doi :10.1016/j.nuclphysb.2015.05.021. S2CID  118526569.
45. Wolfram Research, Inc. «Математика, версия 12.1». Шампейн, Иллинойс, 2020.
46. Мендонса, JRG (2019). «Распространение электромагнитных поверхностных волн в металлической проволоке и W -функция Ламберта ». Американский журнал физики . 87 (6): 476–484. arXiv : 1812.07456 . Бибкод : 2019AmJPh..87..476M. дои : 10.1119/1.5100943. S2CID  119661071.
47. Скотт, TC; Манн, РБ; Мартинес II, Роберто Э. (2006). «Общая теория относительности и квантовая механика: к обобщению функции Ламберта W ». AAECC (Прикладная алгебра в технике, связи и вычислениях) . 17 (1): 41–47. arXiv : math-ph/0607011 . Бибкод : 2006math.ph...7011S. дои : 10.1007/s00200-006-0196-1. S2CID  14664985.
48. Скотт, TC; Плата, Г.; Гротендорст, Дж. (2013). «Асимптотический ряд обобщенной функции Ламберта W». SIGSAM (Специальная группа ACM по символическим и алгебраическим манипуляциям) . 47 (185): 75–83. дои : 10.1145/2576802.2576804. S2CID  15370297.
49. Скотт, TC; Плата, Г.; Гротендорст, Дж.; Чжан, WZ (2014). «Численные числа обобщенной функции Ламберта W». СИГСАМ . 48 (1/2): 42–56. дои : 10.1145/2644288.2644298. S2CID  15776321.
50. Фарруджа, PS; Манн, РБ; Скотт, TC (2007). « Гравитация N -тел и уравнение Шрёдингера». Сорт. Квантовая гравитация . 24 (18): 4647–4659. arXiv : gr-qc/0611144 . Бибкод : 2007CQGra..24.4647F. дои : 10.1088/0264-9381/24/18/006. S2CID  119365501.
51. Скотт, TC; Обер-Фрекон, М.; Гротендорст, Дж. (2006). «Новый подход к исследованию электронных энергий молекулярного иона водорода». хим. Физ . 324 (2–3): 323–338. arXiv : физика/0607081 . Бибкод : 2006CP....324..323S. CiteSeerX 10.1.1.261.9067 . doi :10.1016/j.chemphys.2005.10.031. S2CID  623114. 
52. Меньян, Од; Скотт, TC (2016). «Конкретизация обобщенной функции Ламберта W ». СИГСАМ . 50 (2): 45–60. дои : 10.1145/2992274.2992275. S2CID  53222884.
53. Скотт, TC; Люхов, А.; Брессанини, Д.; Морган, JD III (2007). «Узловые поверхности собственных функций атома гелия» (PDF) . Физ. Преподобный А. 75 (6): 060101. Бибкод : 2007PhRvA..75f0101S. doi :10.1103/PhysRevA.75.060101. hdl : 11383/1679348 . Архивировано (PDF) из оригинала 22 сентября 2017 г.
54. Лоци, Лайош (15 ноября 2022 г.). «Гарантированная и высокоточная оценка W-функции Ламберта». Прикладная математика и вычислительная техника . 433 : 127406. doi : 10.1016/j.amc.2022.127406 . hdl : 10831/89771 . ISSN  0096-3003.
55. "LambertW - Помощь Maple" .
56. Ламбертв - MATLAB
57. Maxima, система компьютерной алгебры
58. Журнал продуктов в WolframAlpha
59. «Scipy.special.lambertw — Справочное руководство SciPy v0.16.1» .
60. Теория в MetaCPAN
61. Адлер, Авраам (24 апреля 2017 г.), lamW: Функция Ламберта W , получено 19 декабря 2017 г.
62. Веб-страница Иштвана Мезё.

Рекомендации

• Корлесс, Р.; Гонне, Г.; Заяц, Д.; Джеффри, Д.; Кнут, Дональд (1996). «О функции Ламберта W» (PDF) . Достижения в области вычислительной математики . 5 : 329–359. arXiv : 1809.07369 . дои : 10.1007/BF02124750. ISSN  1019-7168. S2CID  29028411. Архивировано из оригинала (PDF) 14 декабря 2010 г. Проверено 10 марта 2007 г.
• Шапо-Блондо, Ф.; Монир, А. (2002). «Оценка функции Ламберта W и ее применение к генерации обобщенного гауссовского шума с показателем 1/2» (PDF) . IEEE Транс. Сигнальный процесс . 50 (9). дои :10.1109/TSP.2002.801912. Архивировано из оригинала (PDF) 28 марта 2012 г. Проверено 10 марта 2004 г.
• Фрэнсис; и другие. (2000). «Количественная общая теория периодического дыхания». Тираж . 102 (18): 2214–21. CiteSeerX  10.1.1.505.7194 . дои : 10.1161/01.cir.102.18.2214. PMID  11056095. S2CID  14410926.(Функция Ламберта используется для решения дифференциально-замедленной динамики при заболеваниях человека.)
• Хейс, Б. (2005). «Почему W?» (PDF) . Американский учёный . 93 (2): 104–108. дои : 10.1511/2005.2.104. Архивировано (PDF) из оригинала 10 октября 2022 г.
• Рой, Р.; Олвер, FWJ (2010), «Функция Ламберта W», Олвер, Фрэнк WJ ; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МР  2723248.
• Стюарт, Шон М. (2005). «Новая элементарная функция для наших учебных программ?» (PDF) . Австралийский журнал для старших математиков . 19 (2): 8–26. ISSN  0819-4564. Архивировано (PDF) из оригинала 10 октября 2022 г.
• Веберик Д., «Развлекаемся с функцией Ламберта W(x)» arXiv:1003.1628 (2010); Веберик, Д. (2012). « Функция Ламберта W для приложений в физике». Компьютерная физика. Коммуникации . 183 (12): 2622–2628. arXiv : 1209.0735 . Бибкод : 2012CoPhC.183.2622V. дои : 10.1016/j.cpc.2012.07.008. S2CID  315088.
• Хацигеоргиу, И. (2013). «Границы функции Ламберта и их применение к анализу сбоев взаимодействия пользователей». Коммуникационные письма IEEE . 17 (8): 1505–1508. arXiv : 1601.04895 . дои : 10.1109/LCOMM.2013.070113.130972. S2CID  10062685.

Внешние ссылки

• Цифровая библиотека Национального института науки и технологий - Ламберт В.
• MathWorld — W-функция Ламберта
• Вычисление функции Ламберта W
• Корлесс и др. Заметки об исследованиях Ламберта В.
• Реализация GPL C++ с итерацией Галлея и Фрича.
• Специальные функции Научной библиотеки GNU – GSL
• [3]