Дифференциатор

Тип схемы

В электронике дифференциатор — это схема , которая выдает сигнал , приблизительно пропорциональный скорости изменения (т. е. производной по времени ) входного сигнала. Поскольку производная синусоиды в другой синусоиде , амплитуда которой умножается на ее частоту , настоящий дифференциатор, работающий на всех частотах, не может быть реализован (поскольку его коэффициент усиления должен был бы неограниченно увеличиваться с увеличением частоты). Реальные схемы, такие как фильтр верхних частот 1- ^го порядка, способны аппроксимировать дифференцирование на более низких частотах, ограничивая усиление выше частоты среза . Активный дифференциатор включает в себя усилитель , а пассивный дифференциатор состоит только из резисторов , конденсаторов и катушек индуктивности .

Пассивный дифференциатор

Цепи пассивных фильтров верхних частот 1-го порядка с четырьмя выводами, изображенные на рисунке и состоящие из резистора и ^{конденсатора} или , альтернативно , резистора и катушки индуктивности , называются дифференциаторами, поскольку они аппроксимируют дифференцирование на частотах значительно ниже частоты среза каждого фильтра. .

Согласно закону Ома , напряжения на двух концах емкостного дифференциатора связаны следующей передаточной функцией (которая имеет ноль в начале координат и полюс в точке ): ${\displaystyle s{=}{\tfrac {{\text{-}}1}{RC}}}$

${\displaystyle Y={\frac {Z_{R}}{Z_{R}+Z_{C}}}X={\frac {R}{R+{\frac {1}{sC}}}}X={\frac {sRC}{1+sRC}}X\implies Y\approx sRCX\quad {\text{for}}\ |s|\ll {\frac {1}{RC}}}$

что является хорошим приближением идеального дифференциатора на частотах значительно ниже частоты среза фильтра ( в герцах или радианах ) . ${\displaystyle {\tfrac {1}{2\pi RC}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{RC}}}$

Аналогично, передаточная функция индуктивного дифференциатора имеет нуль в начале координат и полюс в , что соответствует частоте среза в герцах или радианах. ${\displaystyle s{=}{\tfrac {{\text{-}}R}{L}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {R}{2\pi L}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {R}{L}}}$

Частотная характеристика цепей пассивного дифференциатора с осью частот, нормированной на частоту среза для емкостной цепи или для индуктивной цепи ${\displaystyle \omega _{0}{=}{\tfrac {1}{RC}}}$ ${\displaystyle \omega _{0}{=}{\tfrac {R}{L}}}$

Активный дифференциатор

Идеальный дифференциатор

Идеальный дифференциатор.

Схема дифференциатора (также известная как дифференцирующий усилитель или инвертирующий дифференциатор ) состоит из идеального операционного усилителя с резистором R , обеспечивающим отрицательную обратную связь , и конденсатором C на входе, таким образом, что:

• ${\displaystyle V_{\text{in}}}$— напряжение на C (от отрицательной клеммы виртуального заземления операционного усилителя ).
• ${\displaystyle V_{\text{out}}}$— напряжение на резисторе R (также на отрицательной клемме виртуального заземления операционного усилителя).
• ${\displaystyle I}$— ток, текущий от входа через R и C к выходу схемы.
  • Никакой ток не течет на входы идеального операционного усилителя, поскольку они имеют очень высокое входное сопротивление .

Согласно соотношению ток-напряжение конденсатора , этот ток , протекающий от входа через конденсатор к виртуальной земле, будет пропорционален производной входного напряжения: ${\displaystyle I}$

${\displaystyle I=C\,{\frac {dV_{\text{in}}}{dt}}\,.}$

Этот же ток преобразуется в напряжение, когда он проходит от виртуальной земли через резистор к выходу в соответствии с законом Ома : ${\displaystyle I}$

${\displaystyle 0-V_{\text{out}}=IR\,.}$

Вставка уравнения конденсатора дает выходное напряжение как функцию входного напряжения: ${\displaystyle I}$

${\displaystyle V_{\text{out}}=-RC{\frac {dV_{\text{in}}}{dt}}.}$

Следовательно,

• Выходное напряжение пропорционально производной по времени от входного напряжения с коэффициентом усиления . Следовательно, схема действует как дифференциатор и усилитель. ${\displaystyle RC.}$
• Знак минус указывает на то, что выходной сигнал имеет фазовый сдвиг (инверсию) на 180° относительно входного сигнала.
• Уравнение справедливо для любого частотного сигнала, если предположить, что это идеальный операционный усилитель (хотя реальный операционный усилитель имеет ограниченную полосу пропускания).

Низкоомный выход операционного усилителя изолирует нагрузку последующих каскадов, поэтому схема имеет одинаковый отклик независимо от нагрузки.

Если на вход подается постоянное напряжение постоянного тока, выходное напряжение равно нулю. Если входное напряжение изменяется с нуля на отрицательное, выходное напряжение становится положительным. Если приложенное входное напряжение изменяется с нуля на положительное, выходное напряжение становится отрицательным. Если на дифференциатор подается прямоугольный входной сигнал, то на выходе получается пиковый сигнал.

Работа в качестве фильтра верхних частот

Рассматривая конденсатор как импеданс с емкостным реактивным сопротивлением X c ₌1/2 πfCпозволяет анализировать дифференциатор как фильтр верхних частот. Обратная пропорциональность частоте означает, что на низкой частоте реактивное сопротивление конденсатора велико, а на высокой частоте — низкое. Поскольку конфигурация обратной связи обеспечивает выигрышР _ж/Х _с, это означает, что усиление низкое на низких частотах (или при медленно меняющемся входном сигнале) и выше на более высоких частотах (или при быстро меняющемся входном сигнале).

Частотная характеристика

Передаточная функция идеального дифференциатора равна , что приводит к тому, что график Боде его величины имеет положительный наклон +20 дБ на декаду на всех частотах и ​​имеет единичный коэффициент усиления на ${\displaystyle {\tfrac {V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}}={\text{-}}sRC}$ ${\displaystyle f_{\text{0dB}}{=}{\tfrac {1}{2\pi RC}}\,.}$

Преимущества

Небольшой постоянной времени достаточно, чтобы вызвать дифференцирование входного сигнала.

Ограничения

На высоких частотах:

• эта простая схема дифференциатора становится нестабильной и начинает колебаться;
• схема становится чувствительной к высокочастотному шуму, который при усилении доминирует над входным сигналом.
• ограниченное произведение усиления на полосу пропускания реальных операционных усилителей устанавливает верхний предел частоты для дифференциации

Практический дифференциатор

Чтобы преодолеть ограничения идеального дифференциатора, параллельно резистору обратной связи R подключают дополнительный малоемкий конденсатор С ₁ , который предотвращает колебание цепи дифференциатора, а резистор R ₁ включают последовательно с конденсатором С. , что ограничивает увеличение усиления соотношениемр/Р ₁.

Поскольку через резистор R присутствует отрицательная обратная связь , мы можем применить концепцию виртуальной земли , то есть напряжение на инвертирующей клемме равно 0 В на неинвертирующей клемме.

Применяя узловой анализ, получаем

${\displaystyle {\frac {0-V_{o}}{R}}+{\frac {0-V_{o}}{\frac {1}{sC_{1}}}}+{\frac {0-V_{i}}{R_{1}+{\frac {1}{sC}}}}=0,}$

${\displaystyle -V_{o}\left({\frac {1}{R}}+sC_{1}\right)={\frac {V_{i}}{R_{1}+{\frac {1}{sC}}}}.}$

Поэтому,

${\displaystyle {\frac {V_{o}}{V_{i}}}={\frac {-sRC}{(1+sR_{1}C)(1+sRC_{1})}}.}$

Следовательно, возникает один ноль в и один полюс в (соответствующий угловой частоте ) и еще один полюс в (соответствующий угловой частоте ). ${\displaystyle s{=}0}$ ${\displaystyle s{=}{\tfrac {{\text{-}}1}{R_{1}C}}}$ ${\displaystyle f_{1}{=}{\tfrac {1}{2\pi R_{1}C}}}$ ${\displaystyle s{=}{\tfrac {{\text{-}}1}{RC_{1}}}}$ ${\displaystyle f_{2}{=}{\tfrac {1}{2\pi RC_{1}}}}$

Частотная характеристика

Частотная характеристика этого практичного дифференциатора представляет собой полосовой фильтр с наклоном +20 дБ на декаду по полосе частот для дифференциации. Его график Боде, нормализованный с помощью и , равен: ${\displaystyle R_{1}C{=}10^{1}}$ ${\displaystyle RC_{1}{=}10^{{\text{-}}1}}$

Из приведенного выше графика видно, что:

• Ниже схема ослабляет и действует как дифференциатор. ${\displaystyle \omega _{1}}$
• Между и схема действует как повторитель напряжения или буфер. ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$
• Выше схема ослабляет и действует как интегратор . ${\displaystyle \omega _{2}}$

Установка даст один ноль в и два полюса в (соответствующие одной угловой частоте ), что приведет к следующей частотной характеристике (нормализованной с помощью ): ${\displaystyle RC_{1}{=}R_{1}C{=}RC}$ ${\displaystyle s{=}0}$ ${\displaystyle s{=}{\tfrac {{\text{-}}1}{RC}}}$ ${\displaystyle \omega _{1}{=}{\tfrac {1}{RC}}}$ ${\displaystyle RC{=}1}$

Из приведенного выше графика мы видим, что:

• Ниже схема действует как дифференциатор; ${\displaystyle \omega _{1}}$
• Выше схема действует как интегратор . ${\displaystyle \omega _{1}}$

Приложения

Схема дифференциатора по сути представляет собой фильтр верхних частот . Он может генерировать прямоугольную волну из входного треугольного сигнала и создавать всплески напряжения переменного направления при подаче прямоугольной волны. В идеальных случаях дифференциатор меняет влияние интегратора на форму сигнала, и наоборот. Следовательно, они чаще всего используются в схемах формирования сигнала для обнаружения высокочастотных составляющих во входном сигнале. Дифференциаторы являются важной частью электронных аналоговых компьютеров и аналоговых ПИД-регуляторов . Они также используются в частотных модуляторах в качестве детекторов скорости изменения.

Схема пассивного дифференциатора — одна из основных электронных схем , широко используемая при анализе цепей на основе метода эквивалентных схем .

Смотрите также

• Интегратор
• Инвертирующий дифференциатор в приложениях на операционных усилителях