Фильтр верхних частот

Тип электронной схемы или оптического фильтра

Идеальная частотная характеристика фильтра верхних частот

Фильтр верхних частот ( ФВЧ ) — это электронный фильтр , который пропускает сигналы с частотой выше определенной частоты среза и ослабляет сигналы с частотами ниже частоты среза. Величина ослабления для каждой частоты зависит от конструкции фильтра. Фильтр верхних частот обычно моделируется как линейная система, не зависящая от времени . Иногда его называют фильтром нижних частот или фильтром нижних частот в контексте аудиотехники. ^[1] Фильтры верхних частот имеют множество применений, например, блокирование постоянного тока от схем, чувствительных к ненулевым средним напряжениям или радиочастотным устройствам. Их также можно использовать вместе с фильтром нижних частот для создания полосового фильтра .

В оптической области фильтры часто характеризуются длиной волны, а не частотой. Фильтр высоких и низких частот имеют противоположные значения, при этом фильтр «высоких частот» (чаще «коротких частот») пропускает только более короткие длины волн (более высокие частоты), а фильтр «низких частот» (чаще «длинных частот») — наоборот.

Описание

В электронике фильтр — это двухпортовая электронная схема , которая удаляет частотные компоненты из сигнала (изменяющегося во времени напряжения или тока), подаваемого на ее входной порт. Фильтр верхних частот ослабляет частотные компоненты ниже определенной частоты, называемой его частотой среза, позволяя проходить более высокочастотным компонентам. Это контрастирует с фильтром нижних частот , который ослабляет частоты выше определенной частоты, и полосовым фильтром , который пропускает определенную полосу частот и ослабляет частоты как выше, так и ниже этой полосы.

В оптике фильтр верхних частот — это прозрачное или полупрозрачное окно из цветного материала, которое пропускает свет с длиной волны больше определенной и ослабляет свет с более короткими длинами волн. Поскольку свет часто измеряется не частотой, а длиной волны , которая обратно пропорциональна частоте, оптический фильтр верхних частот, который ослабляет частоты света ниже частоты среза, часто называют коротковолновым фильтром; он ослабляет более длинные волны.

Непрерывные схемы

Пассив первого порядка

Рисунок 1: Пассивный аналоговый фильтр верхних частот первого порядка, реализованный с помощью RC-цепи.

Резистор и либо конденсатор, либо индуктор могут быть сконфигурированы как фильтр верхних частот первого порядка. Простой емкостный фильтр верхних частот первого порядка, показанный на рисунке 1, реализуется путем подачи входного напряжения на последовательное соединение конденсатора и резистора и использования напряжения на резисторе в качестве выходного сигнала. Передаточная функция этой линейной системы, инвариантной во времени, имеет вид:

${\displaystyle {\frac {V_{\rm {out}}(s)}{V_{\rm {in}}(s)}}={\frac {sRC}{\sqrt {1+(sRC)^{2}}}}.}$

Произведение сопротивления и емкости ( R × C ) представляет собой постоянную времени (τ); она обратно пропорциональна частоте среза f _c , то есть,

${\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi \tau }}={\frac {1}{2\pi RC}},\,}$

где f _c в герцах , τ в секундах , R в омах , а C в фарадах . Частотная характеристика фильтра достигает -3 дБ относительно на бесконечной частоте на частоте среза.

Активный первого порядка

Рисунок 2: Активный фильтр верхних частот

На рисунке 2 показана активная электронная реализация фильтра верхних частот первого порядка с использованием операционного усилителя . Передаточная функция этой линейной системы, инвариантной во времени, имеет вид:

${\displaystyle {\frac {V_{\rm {out}}(s)}{V_{\rm {in}}(s)}}={\frac {-sR_{2}C}{1+sR_{1}C}}.}$

В этом случае фильтр имеет коэффициент усиления в полосе пропускания − R ₂ / R ₁ и имеет частоту среза

${\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi \tau }}={\frac {1}{2\pi R_{1}C}},\,}$

Поскольку этот фильтр активен , он может иметь неединичное усиление в полосе пропускания. То есть высокочастотные сигналы инвертируются и усиливаются с помощью R ₂ / R ₁ .

Все эти фильтры верхних частот первого порядка называются дифференциаторами , поскольку они выполняют дифференциацию сигналов, полоса частот которых значительно ниже частоты среза фильтра.

Высшие порядки

Фильтры более высокого порядка имеют более крутой наклон в полосе задерживания, так что наклон фильтров n- ^го порядка равен 20n дБ на декаду. Фильтры более высокого порядка могут быть получены простым каскадированием этих фильтров первого порядка. В то время как согласование импеданса и нагрузка должны учитываться при соединении пассивных фильтров в цепочку, активные фильтры могут быть легко соединены в цепочку, поскольку сигнал восстанавливается выходом операционного усилителя на каждом этапе. Существуют различные топологии фильтров и фильтры сетевого синтеза для более высоких порядков, которые упрощают проектирование.

Дискретно-временная реализация

Также могут быть разработаны дискретные по времени фильтры верхних частот. Разработка дискретных по времени фильтров выходит за рамки этой статьи; однако простой пример можно получить из преобразования непрерывного по времени фильтра верхних частот, представленного выше, в реализацию с дискретным временем. То есть, поведение непрерывного времени может быть дискретизировано .

Из схемы на рисунке 1 выше, согласно законам Кирхгофа и определению емкости :

${\displaystyle {\begin{cases}V_{\text{out}}(t)=I(t)\,R&{\text{(V)}}\\Q_{c}(t)=C\,\left(V_{\text{in}}(t)-V_{\text{out}}(t)\right)&{\text{(Q)}}\\I(t)={\frac {\operatorname {d} Q_{c}}{\operatorname {d} t}}&{\text{(I)}}\end{cases}}}$

где заряд, хранящийся в конденсаторе в момент времени . Подстановка уравнения (Q) в уравнение (I), а затем уравнения (I) в уравнение (V) дает: ${\displaystyle Q_{c}(t)}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle V_{\text{out}}(t)=\overbrace {C\,\left({\frac {\operatorname {d} V_{\text{in}}}{\operatorname {d} t}}-{\frac {\operatorname {d} V_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}\right)} ^{I(t)}\,R=RC\,\left({\frac {\operatorname {d} V_{\text{in}}}{\operatorname {d} t}}-{\frac {\operatorname {d} V_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}\right)}$

Это уравнение можно дискретизировать. Для простоты предположим, что выборки входных и выходных данных берутся в равномерно распределенных точках времени, разделенных временем. Пусть выборки будут представлены последовательностью , а будут представлены последовательностью , которая соответствует тем же точкам времени. Сделаем следующие замены: ${\displaystyle \Delta _{T}}$ ${\displaystyle V_{\text{in}}}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle V_{\text{out}}}$ ${\displaystyle (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$

${\displaystyle y_{i}=RC\,\left({\frac {x_{i}-x_{i-1}}{\Delta _{T}}}-{\frac {y_{i}-y_{i-1}}{\Delta _{T}}}\right)}$

И перестановка членов дает рекуррентное соотношение

${\displaystyle y_{i}=\overbrace {{\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}y_{i-1}} ^{\text{Decaying contribution from prior inputs}}+\overbrace {{\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)} ^{\text{Contribution from change in input}}}$

То есть эта дискретная по времени реализация простого непрерывного по времени RC-фильтра верхних частот

${\displaystyle y_{i}=\alpha y_{i-1}+\alpha (x_{i}-x_{i-1})\qquad {\text{where}}\qquad \alpha \triangleq {\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}}$

По определению, . Выражение для параметра дает эквивалентную постоянную времени в терминах периода выборки и : ${\displaystyle 0\leq \alpha \leq 1}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle RC}$ ${\displaystyle \Delta _{T}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle RC=\Delta _{T}\left({\frac {\alpha }{1-\alpha }}\right)}$.

Напоминая, что

${\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}}$так ${\displaystyle RC={\frac {1}{2\pi f_{c}}}}$

тогда и связаны соотношением: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f_{c}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2\pi \Delta _{T}f_{c}+1}}}$

и

${\displaystyle f_{c}={\frac {1-\alpha }{2\pi \alpha \Delta _{T}}}}$.

Если , то постоянная времени равна периоду дискретизации. Если , то значительно меньше интервала дискретизации, а . ${\displaystyle \alpha =0.5}$ ${\displaystyle RC}$ ${\displaystyle \alpha \ll 0.5}$ ${\displaystyle RC}$ ${\displaystyle RC\approx \alpha \Delta _{T}}$

Алгоритмическая реализация

Соотношение рекуррентности фильтра обеспечивает способ определения выходных образцов в терминах входных образцов и предыдущего выхода. Следующий алгоритм псевдокода будет имитировать эффект фильтра верхних частот на серии цифровых образцов, предполагая, что образцы равномерно распределены:

// Возвращаем выходные выборки RC-фильтра верхних частот, заданные входные выборки,// временной интервал dt и постоянная времени RC- функция highpass( real[1..n] x, real dt, real RC) var  real[1..n] y var  real α := RC / (RC + dt) у[1] := х[1] для i от 2 до n у[i] := α × у[i−1] + α × (x[i] − x[i−1]) вернуть y

Цикл, который вычисляет каждый из выходов, можно преобразовать в эквивалент: ${\displaystyle n}$

 для i от 2 до n у[i] := α × (у[i−1] + х[i] − х[i−1])

Однако более ранняя форма показывает, как параметр α изменяет влияние предыдущего выхода y[i-1] и текущего изменения входа (x[i] - x[i-1]) . В частности,

• Большое α подразумевает, что выход будет затухать очень медленно, но также будет сильно зависеть даже от небольших изменений на входе. Согласно соотношению между параметром α и постоянной времени выше, большое α соответствует большой и, следовательно, низкой угловой частоте фильтра. Следовательно, этот случай соответствует фильтру верхних частот с очень узкой полосой задерживания. Поскольку он возбуждается небольшими изменениями и имеет тенденцию удерживать свои предыдущие значения на выходе в течение длительного времени, он может пропускать относительно низкие частоты. Однако постоянный вход (т. е. вход с {{{1}}} ) всегда будет затухать до нуля, как и следовало ожидать от фильтра верхних частот с большим . ${\displaystyle RC}$ ${\displaystyle RC}$ ${\displaystyle RC}$
• Малое значение α подразумевает, что выходной сигнал будет быстро затухать и потребует больших изменений входного сигнала (т. е. (x[i] - x[i-1]) велико), чтобы сильно изменить выходной сигнал. Согласно соотношению между параметром α и постоянной времени, указанному выше, малое значение α соответствует малой и, следовательно, высокой угловой частоте фильтра. Следовательно, этот случай соответствует фильтру верхних частот с очень широкой полосой задерживания. Поскольку он требует больших (т. е. быстрых) изменений и имеет тенденцию быстро забывать свои предыдущие выходные значения, он может пропускать только относительно высокие частоты, как и следовало ожидать от фильтра верхних частот с малым . ${\displaystyle RC}$ ${\displaystyle RC}$ ${\displaystyle RC}$

Приложения

Аудио

Фильтры верхних частот имеют множество применений. Они используются как часть аудиокроссовера для направления высоких частот на твитер , одновременно ослабляя басовые сигналы, которые могут помешать работе динамика или повредить его. Когда такой фильтр встраивается в корпус динамика , он обычно является пассивным фильтром , который также включает фильтр нижних частот для сабвуфера и поэтому часто использует как конденсатор, так и индуктор (хотя очень простые фильтры верхних частот для твитеров могут состоять из последовательного конденсатора и ничего больше). Например, приведенная выше формула, примененная к твитеру с сопротивлением 10 Ом, определит значение конденсатора для частоты среза 5 кГц. , или приблизительно 3,2 мкФ. ${\displaystyle C={\frac {1}{2\pi fR}}={\frac {1}{6.28\times 5000\times 10}}=3.18\times 10^{-6}}$

Альтернативой, которая обеспечивает хорошее качество звука без индукторов (которые склонны к паразитной связи, дороги и могут иметь значительное внутреннее сопротивление), является использование двухканального усиления с активными RC-фильтрами или активными цифровыми фильтрами с отдельными усилителями мощности для каждого громкоговорителя . Такие кроссоверы с низким током и низким напряжением на уровне линии называются активными кроссоверами . ^[1]

Фильтры гула — это фильтры верхних частот, применяемые для удаления нежелательных звуков, близких к нижнему пределу слышимого диапазона или ниже. Например, шумы (например, шаги или шум моторов от проигрывателей и кассетных дек ) могут быть удалены, поскольку они нежелательны или могут перегрузить схему выравнивания RIAA предусилителя . ^[1]

Фильтры верхних частот также используются для связи по переменному току на входах многих усилителей мощности звука , для предотвращения усиления постоянного тока, который может повредить усилителю, лишить его запаса по мощности и генерировать ненужное тепло в звуковой катушке громкоговорителей . Один усилитель, профессиональная аудиомодель DC300, выпускаемая Crown International с 1960-х годов, вообще не имела фильтрации верхних частот и могла использоваться для усиления сигнала постоянного тока обычной 9-вольтовой батареи на входе для подачи 18 вольт постоянного тока в аварийной ситуации для питания микшерного пульта . ^[2] Однако базовая конструкция этой модели была заменена более новыми конструкциями, такими как серия Crown Macro-Tech, разработанная в конце 1980-х годов, которая включала фильтрацию верхних частот 10 Гц на входах и переключаемую фильтрацию верхних частот 35 Гц на выходах. ^[3] Другим примером является серия усилителей QSC Audio PLX, которая включает в себя внутренний фильтр верхних частот 5 Гц, который применяется к входам всякий раз, когда отключены дополнительные фильтры верхних частот 50 и 30 Гц. ^[4]

Фильтр нижних частот 75 Гц с входного канала микшерного пульта Mackie 1402 , измеренный с помощью программного обеспечения Smaart . Этот фильтр верхних частот имеет наклон 18 дБ на октаву.

Микшерные пульты часто включают фильтрацию верхних частот на каждой полосе канала . Некоторые модели имеют фиксированный наклон, фиксированную частоту фильтров верхних частот на 80 или 100 Гц, которые можно задействовать; другие модели имеют регулируемые фильтры верхних частот, фильтры с фиксированным наклоном, которые можно установить в указанном диапазоне частот, например, от 20 до 400 Гц на Midas Heritage 3000 или от 20 до 20 000 Гц на цифровой микшерной консоли Yamaha M7CL . Опытный системный инженер и микшер живого звука Брюс Мэйн рекомендует включать фильтры верхних частот для большинства источников входного сигнала микшера, за исключением таких, как бас-барабан , бас-гитара и фортепиано, источников, которые будут иметь полезные низкочастотные звуки. Мэйн пишет, что входы блока DI (в отличие от микрофонных входов) не нуждаются в фильтрации верхних частот, поскольку они не подвержены модуляции низкочастотной промывкой сцены — низкочастотными звуками, исходящими от сабвуферов или системы оповещения и охватывающими сцену. Main указывает, что фильтры верхних частот обычно используются для направленных микрофонов, которые имеют эффект близости — низкочастотное усиление для очень близких источников. Это низкочастотное усиление обычно вызывает проблемы до 200 или 300 Гц, но Main отмечает, что он видел микрофоны, которые выигрывают от настройки фильтра верхних частот 500 Гц на консоли. ^[5]

Изображение

Пример применения фильтра верхних частот к правой половине фотографии. Левая сторона не изменена, Правая сторона с применением фильтра верхних частот (в данном случае с радиусом 4,9).

Фильтры верхних и нижних частот также используются в цифровой обработке изображений для выполнения изменений изображений, улучшений, шумоподавления и т. д., используя конструкции, выполненные либо в пространственной области , либо в частотной области . ^[6] Операция нерезкого маскирования или повышения резкости, используемая в программном обеспечении для редактирования изображений, представляет собой фильтр с высоким усилением, обобщение фильтра верхних частот.

Смотрите также

• DSL-фильтр
• Полосовой режекторный фильтр
• Косая тройка
• Дифференциатор
• Свертка
• Круговая свертка

Ссылки

1. Уоткинсон, Джон (1998). Искусство воспроизведения звука . Focal Press. стр. 268, 479. ISBN 0-240-51512-9. Получено 9 марта 2010 г. .
2. Эндрюс, Кит; опубликовано как ssltech (11 января 2010 г.). "Re: Управление доской для такого большого шоу?". Запись, инжиниринг и производство . ProSoundWeb. Архивировано из оригинала 15 июля 2011 г. Получено 9 марта 2010 г.
3. "Руководство по эксплуатации: MA-5002VZ" (PDF) . Серия Macro-Tech . Crown Audio. 2007. Архивировано из оригинала (PDF) 3 января 2010 г. . Получено 9 марта 2010 г. .
4. "Руководство пользователя: Усилители серии PLX" (PDF) . QSC Audio. 1999. Архивировано из оригинала (PDF) 9 февраля 2010 г. . Получено 9 марта 2010 г. .
5. Мэйн, Брюс (16 февраля 2010 г.). «Cut 'Em Off At The Pass: Effective Uses Of High-Pass Filtering». Live Sound International . Фрамингем, Массачусетс: ProSoundWeb, EH Publishing.
6. Пол М. Мазер (2004). Компьютерная обработка дистанционно полученных изображений: введение (3-е изд.). John Wiley and Sons. стр. 181. ISBN 978-0-470-84919-4.

Внешние ссылки

• Распространенные импульсные реакции
• ECE 209: Обзор цепей как систем LTI, краткий учебник по математическому анализу (электрических) систем LTI.
• ECE 209: Источники сдвига фазы, интуитивное объяснение источника сдвига фазы в фильтре верхних частот. Также проверяет простую пассивную передаточную функцию ФНЧ с помощью тригонометрического тождества.