В геометрии двугранная симметрия в трех измерениях — это одна из трех бесконечных последовательностей точечных групп в трех измерениях , которые имеют группу симметрии , которая в качестве абстрактной группы представляет собой группу диэдра Dih n (для n ≥ 2).
Существует 3 типа двугранной симметрии в трех измерениях, каждый из которых показан ниже в 3 обозначениях: обозначение Шенфлиса , обозначение Коксетера и обозначение орбифолда .
Для заданного n все три имеют n -кратную вращательную симметрию относительно одной оси ( поворот на угол 360°/ n не меняет объект) и 2-кратную вращательную симметрию относительно перпендикулярной оси, следовательно, относительно n из них. При n = ∞ они соответствуют трем группам Фриза . Используется обозначение Шенфлиса , обозначение Кокстера в скобках и обозначение орбифолда в круглых скобках. Термин «горизонтальный» (h) используется по отношению к вертикальной оси вращения.
В 2D группа симметрии D n включает отражения в линиях. Когда 2D-плоскость встроена горизонтально в 3D-пространство, такое отражение можно рассматривать либо как ограничение этой плоскости отражения через вертикальную плоскость, либо как ограничение плоскости вращения вокруг линии отражения на 180°. °. В 3D различают две операции: группа D n содержит только вращения, а не отражения. Другая группа — пирамидальная симметрия C nv того же порядка, 2 n .
При отражательной симметрии в плоскости, перпендикулярной оси n -кратного вращения, имеем D nh , [n], (*22 n ).
D nd (или D nv ), [2 n ,2 + ], (2* n ) имеет вертикальные зеркальные плоскости между горизонтальными осями вращения, а не через них. В результате вертикальная ось представляет собой 2 n -кратную ось роторного отражения .
D nh — группа симметрии правильной n -сторонней призмы , а также правильной n-сторонней бипирамиды . D nd — группа симметрии правильной n -сторонней антипризмы , а также правильного n-стороннего трапецоэдра . D n — группа симметрии частично повернутой призмы.
n = 1 не включено, поскольку три симметрии равны другим:
При n = 2 нет одной главной оси и двух дополнительных осей, а есть три эквивалентные.
Для D nh , [n,2], (*22n), порядок 4n
Для D nd , [2n,2 + ], (2*n), порядок 4n
D nd также является подгруппой D 2 nh .
D nh , [ n ], (*22 n ):
Д 5 ч , [5], (*225):
Д 4 д , [8,2 + ], (2*4):
Д 5 д , [10,2 + ], (2*5):
Д 17 д , [34,2+ ] , (2*17):
{{cite book}}
: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )