Средняя длина свободного пробега

Среднее расстояние, проходимое движущейся частицей между столкновениями с другими частицами

В физике средняя длина свободного пробега — это среднее расстояние, которое проходит движущаяся частица (например, атом , молекула или фотон ) до существенного изменения своего направления или энергии (или, в определенном контексте, других свойств), как правило, в результате одного или нескольких последовательных столкновений с другими частицами.

Теория рассеяния

Плита мишени

Представьте себе пучок частиц, пролетающий через цель, и рассмотрите бесконечно тонкую пластину цели (см. рисунок). ^[1] Атомы (или частицы), которые могут остановить частицу пучка, показаны красным цветом. Величина средней длины свободного пробега зависит от характеристик системы. Предполагая, что все частицы цели находятся в состоянии покоя, а движется только частица пучка, это дает выражение для средней длины свободного пробега:

${\displaystyle \ell =(\sigma n)^{-1},}$

где ℓ — длина свободного пробега, n — число целевых частиц в единице объема, а σ — эффективная площадь поперечного сечения для столкновения.

Площадь пластины равна L ² , а ее объем равен L ²  dx . Типичное число останавливающих атомов в пластине равно концентрации n, умноженной на объем, т. е. n L ²  dx . Вероятность того, что частица пучка будет остановлена ​​в этой пластине, равна чистой площади останавливающих атомов, деленной на общую площадь пластины:

${\displaystyle {\mathcal {P}}({\text{stopping within }}dx)={\frac {{\text{Area}}_{\text{atoms}}}{{\text{Area}}_{\text{slab}}}}={\frac {\sigma nL^{2}\,dx}{L^{2}}}=n\sigma \,dx,}$

где σ — площадь (или, более формально, « сечение рассеяния ») одного атома.

Падение интенсивности пучка равно интенсивности входящего пучка, умноженной на вероятность остановки частицы внутри пластины:

${\displaystyle dI=-In\sigma \,dx.}$

Это обыкновенное дифференциальное уравнение :

${\displaystyle {\frac {dI}{dx}}=-In\sigma {\overset {\text{def}}{=}}-{\frac {I}{\ell }},}$

решение которого известно как закон Бера-Ламберта и имеет вид , где x — расстояние, пройденное лучом через цель, а I ₀ — интенсивность луча до его попадания в цель; ℓ называется средней длиной свободного пробега, поскольку она равна среднему расстоянию, пройденному частицей луча до остановки. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что вероятность того, что частица будет поглощена между x и x + dx, определяется как ${\displaystyle I=I_{0}e^{-x/\ell }}$

${\displaystyle d{\mathcal {P}}(x)={\frac {I(x)-I(x+dx)}{I_{0}}}={\frac {1}{\ell }}e^{-x/\ell }dx.}$

Таким образом, ожидаемое значение (или среднее, или просто среднее) x равно

${\displaystyle \langle x\rangle {\overset {\text{def}}{=}}\int _{0}^{\infty }xd{\mathcal {P}}(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\ell }}e^{-x/\ell }\,dx=\ell .}$

Доля частиц, которые не задерживаются ( ослабляются ) пластиной, называется пропусканием , где x равен толщине пластины. ${\displaystyle T=I/I_{0}=e^{-x/\ell }}$

Кинетическая теория газов

В кинетической теории газов средняя длина свободного пробега частицы, например молекулы , — это среднее расстояние, которое частица проходит между столкновениями с другими движущимися частицами. Вывод выше предполагал, что целевые частицы находятся в состоянии покоя; поэтому в действительности формула справедлива для пучка частиц с высокой скоростью относительно скоростей ансамбля идентичных частиц со случайными местоположениями. В этом случае движения целевых частиц сравнительно незначительны, отсюда и относительная скорость . ${\displaystyle \ell =(n\sigma )^{-1}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{\rm {rel}}\approx v}$

Если же, с другой стороны, частица пучка является частью установившегося равновесия с идентичными частицами, то квадрат относительной скорости равен:

${\displaystyle {\overline {\mathbf {v} _{\rm {relative}}^{2}}}={\overline {(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})^{2}}}={\overline {\mathbf {v} _{1}^{2}+\mathbf {v} _{2}^{2}-2\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}}.}$

В равновесии и являются случайными и некоррелированными, поэтому , а относительная скорость равна ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}}=0}$

${\displaystyle v_{\rm {rel}}={\sqrt {\overline {\mathbf {v} _{\rm {relative}}^{2}}}}={\sqrt {\overline {\mathbf {v} _{1}^{2}+\mathbf {v} _{2}^{2}}}}={\sqrt {2}}v.}$

Это означает, что число столкновений в разы больше числа с неподвижными целями. Поэтому применяется следующее соотношение: ^[2] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \ell =({\sqrt {2}}\,n\sigma )^{-1},}$

и используя ( закон идеального газа ) и (эффективную площадь поперечного сечения для сферических частиц с диаметром ), можно показать, что средняя длина свободного пробега равна ^[3] ${\displaystyle n=N/V=p/(k_{\text{B}}T)}$ ${\displaystyle \sigma =\pi d^{2}}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle \ell ={\frac {k_{\text{B}}T}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}p}},}$

где k _B — постоянная Больцмана , — давление газа, — абсолютная температура. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle T}$

На практике диаметр молекул газа не определен четко. Фактически, кинетический диаметр молекулы определяется в терминах средней длины свободного пробега. Обычно молекулы газа не ведут себя как твердые сферы, а скорее притягиваются друг к другу на больших расстояниях и отталкиваются друг от друга на коротких, что можно описать с помощью потенциала Леннарда-Джонса . Один из способов работы с такими «мягкими» молекулами — использовать параметр Леннарда-Джонса σ в качестве диаметра.

Другой способ — предположить, что газ твердых сфер имеет ту же вязкость , что и рассматриваемый фактический газ. Это приводит к среднему свободному пробегу ^[4]

${\displaystyle \ell ={\frac {\mu }{\rho }}{\sqrt {\frac {\pi m}{2k_{\text{B}}T}}}={\frac {\mu }{p}}{\sqrt {\frac {\pi k_{\text{B}}T}{2m}}},}$

где - молекулярная масса, - плотность идеального газа, а μ - динамическая вязкость. Это выражение можно представить в следующей удобной форме ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \rho =mp/(k_{\text{B}}T)}$

${\displaystyle \ell ={\frac {\mu }{p}}{\sqrt {\frac {\pi R_{\rm {specific}}T}{2}}},}$

где — удельная газовая постоянная , равная 287 Дж/(кг*К) для воздуха. ${\displaystyle R_{\rm {specific}}=k_{\text{B}}/m}$

В следующей таблице перечислены некоторые типичные значения для воздуха при различных давлениях при комнатной температуре. Обратите внимание, что различные определения диаметра молекулы, а также различные предположения о значении атмосферного давления (100 против 101,3 кПа) и комнатной температуры (293,17 К против 296,15 К или даже 300 К) могут привести к несколько иным значениям средней длины свободного пробега.

В других областях

Рентгенография

Длина свободного пробега фотонов в диапазоне энергий от 1 кэВ до 20 МэВ для элементов с Z = от 1 до 100. ^[6] Разрывы обусловлены низкой плотностью газовых элементов. Шесть полос соответствуют окрестностям шести благородных газов . Также показаны местоположения краев поглощения .

В гамма- радиографии средняя длина свободного пробега карандашного пучка моноэнергетических фотонов — это среднее расстояние, которое фотон проходит между столкновениями с атомами материала мишени. Оно зависит от материала и энергии фотонов:

${\displaystyle \ell =\mu ^{-1}=((\mu /\rho )\rho )^{-1},}$

где μ — линейный коэффициент затухания , μ/ρ — массовый коэффициент затухания , а ρ — плотность материала. Массовый коэффициент затухания можно найти или рассчитать для любой комбинации материала и энергии, используя базы данных Национального института стандартов и технологий (NIST). ^{[7] [8]}

В рентгеновской радиографии расчет длины свободного пробега более сложен, поскольку фотоны не являются моноэнергетическими, а имеют некоторое распределение энергий, называемое спектром . По мере того, как фотоны проходят через целевой материал, они ослабляются с вероятностями, зависящими от их энергии, в результате чего их распределение изменяется в процессе, называемом ужесточением спектра. Из-за ужесточения спектра длина свободного пробега рентгеновского спектра изменяется с расстоянием.

Иногда толщина материала измеряется в числе средних длин свободного пробега . Материал толщиной в один средний свободный пробег ослабит до 37% (1/ e ) фотонов. Эта концепция тесно связана со слоем половинной мощности (HVL): материал толщиной в один HVL ослабит 50% фотонов. Стандартное рентгеновское изображение — это трансмиссионное изображение, изображение с отрицательным логарифмом его интенсивности иногда называют изображением числа средних длин свободного пробега .

Электроника

При макроскопическом переносе заряда длина свободного пробега носителя заряда в металле пропорциональна электрической подвижности , величине, напрямую связанной с электропроводностью , то есть: ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu ={\frac {q\tau }{m}}={\frac {q\ell }{m^{*}v_{\rm {F}}}},}$

где q — заряд , — среднее свободное время , m ^* — эффективная масса , а v _F — скорость Ферми носителя заряда. Скорость Ферми можно легко вывести из энергии Ферми с помощью нерелятивистского уравнения кинетической энергии. Однако в тонких пленках толщина пленки может быть меньше предсказанной длины свободного пробега, что делает поверхностное рассеяние гораздо более заметным, эффективно увеличивая удельное сопротивление . ${\displaystyle \tau }$

Подвижность электронов через среду с размерами, меньшими, чем длина свободного пробега электронов, происходит посредством баллистической проводимости или баллистического переноса. В таких сценариях электроны изменяют свое движение только при столкновениях со стенками проводника.

Оптика

Если взять суспензию не поглощающих свет частиц диаметром d с объемной долей Φ , то средняя длина свободного пробега фотонов составит: ^[9]

${\displaystyle \ell ={\frac {2d}{3\Phi Q_{\text{s}}}},}$

где Q _s — коэффициент эффективности рассеяния. Q _s можно оценить численно для сферических частиц, используя теорию Ми .

Акустика

В пустой полости средняя длина свободного пробега отдельной частицы, отскакивающей от стенок, равна:

${\displaystyle \ell ={\frac {FV}{S}},}$

где V — объем полости, S — общая внутренняя площадь поверхности полости, а F — константа, связанная с формой полости. Для большинства простых форм полости F приблизительно равен 4. ^[10]

Это соотношение используется при выводе уравнения Сэбина в акустике, использующего геометрическое приближение распространения звука. ^[11]

Ядерная физика и физика элементарных частиц

В физике элементарных частиц понятие длины свободного пробега обычно не используется, заменяясь схожим понятием длины затухания . В частности, для высокоэнергетических фотонов, которые в основном взаимодействуют посредством образования пар электрон-позитрон , длина излучения используется во многом подобно длине свободного пробега в радиографии.

Модели независимых частиц в ядерной физике требуют невозмущенного движения нуклонов внутри ядра до того, как они начнут взаимодействовать с другими нуклонами. ^[12]

Эффективная длина свободного пробега нуклона в ядерной материи должна быть несколько больше размеров ядра, чтобы можно было использовать модель независимых частиц. Это требование, по-видимому, противоречит предположениям, сделанным в теории... Здесь мы сталкиваемся с одной из фундаментальных проблем физики ядерной структуры, которая еще не решена.

—  Джон Маркус Блатт и Виктор Вайскопф , Теоретическая ядерная физика (1952) ^[13]

Смотрите также

• Теория рассеяния
• Баллистическая проводимость
• Вакуум
• Число Кнудсена
• Оптика

Ссылки

1. Чен, Фрэнк Ф. (1984). Введение в физику плазмы и управляемый термоядерный синтез (1-е изд.). Plenum Press. стр. 156. ISBN 0-306-41332-9.
2. С. Чепмен и Т. Г. Коулинг, Математическая теория неоднородных газов, 3-е издание, Cambridge University Press, 1990, ISBN 0-521-40844-X , стр. 88. 
3. "Средняя длина свободного пробега, молекулярные столкновения". Hyperphysics.phy-astr.gsu.edu . Получено 2011-11-08 .
4. Винченти, WG и Кругер, CH (1965). Введение в физическую газовую динамику . Krieger Publishing Company. стр. 414.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
5. Дженнингс, С. (1988). «Средняя длина свободного пробега в воздухе». Журнал аэрозольных наук . 19 (2): 159. Bibcode : 1988JAerS..19..159J. doi : 10.1016/0021-8502(88)90219-4.
6. На основе данных из "NIST: Примечание - Базы данных коэффициентов формы и ослабления рентгеновского излучения". Physics.nist.gov. 1998-03-10 . Получено 2011-11-08 .
7. Хаббелл, Дж. Х .; Сельцер, С. М. «Таблицы массовых коэффициентов ослабления рентгеновского излучения и массовых коэффициентов поглощения энергии». Национальный институт стандартов и технологий . Получено 19 сентября 2007 г.
8. Бергер, М. Дж.; Хаббелл, Дж. Х .; Сельцер, СМ.; Чанг, Дж.; Курси, Дж. С.; Сукумар, Р.; Цукер, Д. С. "XCOM: База данных сечений фотонов". Национальный институт стандартов и технологий (NIST) . Получено 19 сентября 2007 г.
9. Mengual, O.; Meunier, G.; Cayré, I.; Puech, K.; Snabre, P. (1999). "TURBISCAN MA 2000: измерение множественного рассеяния света для анализа нестабильности концентрированной эмульсии и суспензии". Talanta . 50 (2): 445–56. doi :10.1016/S0039-9140(99)00129-0. PMID  18967735.
10. Янг, Роберт В. (июль 1959 г.). «Уравнение реверберации Сабина и расчеты звуковой мощности». Журнал Акустического общества Америки . 31 (7): 918. Bibcode : 1959ASAJ...31..912Y. doi : 10.1121/1.1907816.
11. Дэвис, Д. и Патронис, Э. «Инженерия звуковых систем» (1997) Focal Press, ISBN 0-240-80305-1 стр. 173. 
12. Кук, Норман Д. (2010). "Средняя длина свободного пробега нуклонов в ядрах". Модели атомного ядра (2-е изд.). Гейдельберг: Springer . стр. 324. ISBN 978-3-642-14736-4.
13. Блатт, Джон М.; Вайскопф, Виктор Ф. (1979). Теоретическая ядерная физика. doi :10.1007/978-1-4612-9959-2. ISBN 978-1-4612-9961-5.

Внешние ссылки

• Калькулятор длины свободного пробега
• Gas Dynamics Toolbox: расчет средней длины свободного пробега для смесей газов с использованием модели VHS