число Маха

Отношение скорости объекта, движущегося в жидкости, к местной скорости звука

F /A-18 Hornet создает паровой конус на околозвуковой скорости непосредственно перед достижением скорости звука.

Число Маха ( M или Ma ), часто только Маха , ( / m ɑː k / ; немецкий: [max] ) — безразмерная величина в гидродинамике , представляющая отношение скорости потока за границей к локальной скорости звука . ^{[1] [2]} Он назван в честь австрийского физика и философа Эрнста Маха .

${\displaystyle \mathrm {M} ={\frac {u}{c}},}$

где:

M – местное число Маха,

u - локальная скорость потока относительно границ (либо внутренних, например объекта, погруженного в поток, либо внешнего, например канала), и

c — скорость звука в среде, которая в воздухе изменяется пропорционально квадратному корню из термодинамической температуры .

По определению, при скорости  1 Маха локальная скорость потока u равна скорости звука. При скорости  0,65 Маха u составляет 65% скорости звука (дозвуковая), а при скорости  1,35 Маха u на 35% быстрее скорости звука (сверхзвуковой). Пилоты высотных аэрокосмических аппаратов используют число Маха полета, чтобы выразить истинную воздушную скорость транспортного средства , но поле потока вокруг транспортного средства варьируется в трех измерениях с соответствующими вариациями местного числа Маха.

Локальная скорость звука и, следовательно, число Маха зависят от температуры окружающего газа. Число Маха в основном используется для определения приближения, с помощью которого поток можно рассматривать как несжимаемый поток . Средой может быть газ или жидкость. Граница может перемещаться в среде или быть неподвижной, пока среда течет вдоль нее, или они могут обе двигаться с разными скоростями : значение имеет их относительная скорость по отношению друг к другу. Границей может быть граница объекта, погруженного в среду, или канала, такого как сопло , диффузор или аэродинамическая труба , направляющая среду. Поскольку число Маха определяется как отношение двух скоростей, оно является безразмерным числом . Если M  <0,2–0,3 и поток квазистационарный и изотермический , эффекты сжимаемости будут небольшими, и можно использовать упрощенные уравнения потока несжимаемой жидкости. ^{[1] [2]}

Этимология

Число Маха названо в честь физика и философа Эрнста Маха ^[3] по предложению авиационного инженера Якоба Аккерета в 1929 году ^{. [4]} Слово Мах всегда пишется с заглавной буквы, поскольку оно происходит от имени собственного, и поскольку число Маха является безразмерной величиной, а не единицей измерения , число стоит после слова Мах; второе число Маха - 2 Маха  вместо 2  Маха (или Маха). Это чем-то напоминает раннюю современную единицу измерения океана ( синоним сажени ), которая также была первой единицей и, возможно, повлияла на использование термина Мах. В течение десятилетия, предшествовавшего полету человека со скоростью, превышающей скорость звука , авиационные инженеры называли скорость звука числом Маха , а не 1 Маха . ^[5]

Обзор

Скорость звука (синий) зависит только от изменения температуры на высоте (красный) и может быть рассчитана на основе нее, поскольку изолированные эффекты плотности и давления на скорость звука компенсируют друг друга. Скорость звука увеличивается с высотой в двух областях стратосферы и термосферы из-за эффектов нагрева в этих регионах.

Число Маха является мерой характеристик сжимаемости потока жидкости : жидкость (воздух) ведет себя под влиянием сжимаемости аналогичным образом при заданном числе Маха, независимо от других переменных. ^[6] Согласно модели Международной стандартной атмосферы , сухой воздух на среднем уровне моря , стандартная температура 15 °C (59 °F), скорость звука составляет 340,3 метра в секунду (1116,5 футов/с; 761,23 миль в час; 1225,1 км). /ч; 661,49 узлов). ^[7] Скорость звука не является константой; в газе она увеличивается пропорционально квадратному корню из абсолютной температуры , а поскольку температура атмосферы обычно снижается с увеличением высоты от уровня моря до 11 000 метров (36 089 футов), скорость звука также уменьшается. Например, в стандартной модели атмосферы температура снижается до -56,5 ° C (-69,7 ° F) на высоте 11 000 метров (36 089 футов) с соответствующей скоростью звука (  1 Маха) 295,0 метров в секунду (967,8 футов / с); 659,9 миль в час; 1062 км/ч; 573,4 узла), 86,7% от значения уровня моря.

Появление в уравнении неразрывности

В качестве меры сжимаемости потока число Маха может быть получено из соответствующего масштабирования уравнения неразрывности . ^[8] Полное уравнение неразрывности для общего потока жидкости:

$${\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\bf {u}})=0\equiv -{1 \over {\rho }}{D\rho \over {Dt}}=\nabla \cdot {\bf {u}}}$$

производная материалаплотностьскорость потокаизэнтропическим ${\displaystyle D/Dt}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\bf {u}}}$ ${\displaystyle dp=c^{2}d\rho }$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle -{1 \over {\rho c^{2}}}{Dp \over {Dt}}=\nabla \cdot {\bf {u}}}$$

обезразмеривание

$${\displaystyle {\bf {x}}^{*}={\bf {x}}/L,\quad t^{*}=Ut/L,\quad {\bf {u}}^{*}={\bf {u}}/U,\quad p^{*}=(p-p_{\infty })/\rho _{0}U^{2},\quad \rho ^{*}=\rho /\rho _{0}}$$

${\displaystyle L}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p_{\infty }}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$

$${\displaystyle -{U^{2} \over {c^{2}}}{1 \over {\rho ^{*}}}{Dp^{*} \over {Dt^{*}}}=\nabla ^{*}\cdot {\bf {u}}^{*}\implies -{\text{M}}^{2}{1 \over {\rho ^{*}}}{Dp^{*} \over {Dt^{*}}}=\nabla ^{*}\cdot {\bf {u}}^{*}}$$

несжимаемого потока ${\displaystyle {\text{M}}=U/c}$ ${\displaystyle {\text{M}}\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \nabla \cdot {\bf {u}}=0}$

Классификация режимов Маха

Хотя термины «дозвуковой» и «сверхзвуковой» в чистом смысле относятся к скоростям ниже и выше местной скорости звука соответственно, аэродинамики часто используют одни и те же термины, чтобы говорить об определенных диапазонах значений Маха. Это происходит из-за наличия трансзвукового режима вокруг полета (набегающего потока) M = 1, где аппроксимации уравнений Навье-Стокса, используемые для дозвукового проектирования, больше не применимы; Самое простое объяснение состоит в том, что обтекание планера локально начинает превышать M = 1, хотя число Маха набегающего потока ниже этого значения.

Между тем, сверхзвуковой режим обычно используется, чтобы говорить о наборе чисел Маха, для которых можно использовать линеаризованную теорию, где, например, поток ( воздуха ) не вступает в химическую реакцию и где теплообменом между воздухом и транспортным средством можно разумно пренебречь. в расчетах.

В следующей таблице указаны режимы или диапазоны значений Маха , а не чистые значения слов «дозвуковой» и «сверхзвуковой» .

Как правило, НАСА определяет высокий гиперзвук как любое число Маха от 10 до 25, а скорость входа в атмосферу - как любое число, превышающее 25 Маха. К самолетам, работающим в этом режиме, относятся космические шаттлы и различные космические самолеты, находящиеся в стадии разработки.

Высокоскоростное обтекание объектов

Полет можно условно разделить на шесть категорий:

Для сравнения: необходимая скорость для низкой околоземной орбиты составляет примерно 7,5 км/с = 25,4 Маха в воздухе на больших высотах.

На околозвуковых скоростях поле течения вокруг объекта включает как дозвуковую, так и сверхзвуковую части. Трансзвуковой период начинается с появлением вокруг объекта первых зон течения М > 1. В случае аэродинамического профиля (например, крыла самолета) это обычно происходит над крылом. Сверхзвуковой поток может замедлиться до дозвукового только при нормальном толчке; обычно это происходит перед задней кромкой. (Рис.1а)

С ростом скорости зона течения М > 1 увеличивается как в сторону передней, так и в сторону задней кромки. При достижении и прохождении М = 1 нормальный скачок достигает задней кромки и становится слабым косым скачком: течение над скачком замедляется, но остается сверхзвуковым. Впереди объекта создается нормальная ударная волна, и единственной дозвуковой зоной в поле потока является небольшая область вокруг передней кромки объекта. (Рис.1б)

Рис. 1. Число Маха при околозвуковом обтекании профиля; М < 1 (а) и М > 1 (б).

Когда самолет превышает 1 Маха (т.е. звуковой барьер ), прямо перед самолетом создается большая разница давления . Эта резкая разница давлений, называемая ударной волной , распространяется назад и наружу от самолета в форме конуса (так называемый конус Маха ). Именно эта ударная волна вызывает звуковой удар, слышимый, когда над головой пролетает быстро движущийся самолет. Человек внутри самолета этого не услышит. Чем выше скорость, тем уже конус; при чуть большем M = 1 это вообще не конус, а ближе к слегка вогнутой плоскости.

На полностью сверхзвуковой скорости ударная волна начинает принимать форму конуса, и течение либо полностью сверхзвуковое, либо (в случае тупого объекта) между носовой частью объекта и создаваемой им впереди ударной волной остается лишь очень небольшая дозвуковая область потока. самого себя. (В случае острого предмета между носом и ударной волной воздуха нет: ударная волна начинается от носа.)

По мере увеличения числа Маха увеличивается и сила ударной волны , и конус Маха становится все более узким. Когда поток жидкости пересекает ударную волну, его скорость уменьшается, а температура, давление и плотность увеличиваются. Чем сильнее шок, тем значительнее изменения. При достаточно больших числах Маха температура над ударной волной возрастает настолько, что начинаются ионизация и диссоциация молекул газа за ударной волной. Такие течения называются гиперзвуковыми.

Понятно, что любой объект, движущийся с гиперзвуковой скоростью, будет также подвергаться воздействию тех же экстремальных температур, что и газ за носовой ударной волной, и, следовательно, выбор термостойких материалов становится важным.

Высокоскоростное течение в канале

Когда поток в канале становится сверхзвуковым, происходит одно существенное изменение. Сохранение массового расхода заставляет ожидать, что сжатие канала потока приведет к увеличению скорости потока (т. е. сужение канала приводит к более быстрому потоку воздуха), и на дозвуковых скоростях это справедливо. Однако как только поток становится сверхзвуковым, соотношение площади потока и скорости меняется на противоположное: расширение канала фактически увеличивает скорость.

Очевидный результат: для ускорения потока до сверхзвука необходимо сужающееся-расширяющееся сопло, в котором сужающаяся часть ускоряет поток до звуковых скоростей, а расширяющаяся часть продолжает ускорение. Такие сопла называются соплами де Лаваля , и в крайних случаях они способны развивать гиперзвуковую скорость (13 Маха (15 900 км/ч; 9 900 миль в час) при 20 ° C).

Авиационный махометр или электронная система полетной информации ( EFIS ) может отображать число Маха, полученное на основе давления торможения ( трубка Пито ) и статического давления.

Расчет

Если известна скорость звука, число Маха, с которым летит самолет, можно рассчитать по формуле

${\displaystyle \mathrm {M} ={\frac {u}{c}}}$

где:

М — число Маха

u - скорость движущегося самолета,

c — скорость звука на данной высоте (вернее, температура)

а скорость звука зависит от термодинамической температуры как:

${\displaystyle c={\sqrt {\gamma \cdot R_{*}\cdot T}},}$

где:

${\displaystyle \gamma \,}$- отношение удельной теплоты газа при постоянном давлении к теплоте при постоянном объеме (1,4 для воздуха)

${\displaystyle R_{*}}$– удельная газовая постоянная воздуха.

${\displaystyle T,}$– статическая температура воздуха.

Если скорость звука неизвестна, число Маха можно определить путем измерения различных давлений воздуха (статического и динамического) и использования следующей формулы, полученной из уравнения Бернулли для чисел Маха менее 1,0. Предполагая, что воздух является идеальным газом , формула для расчета числа Маха в дозвуковом сжимаемом потоке выглядит следующим образом: ^[9]

${\displaystyle \mathrm {M} ={\sqrt {{\frac {2}{\gamma -1}}\left[\left({\frac {q_{c}}{p}}+1\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right]}}\,}$

где:

q _c – ударное давление (динамическое давление),

p — статическое давление

${\displaystyle \gamma \,}$- отношение удельной теплоты газа при постоянном давлении к теплоте при постоянном объеме (1,4 для воздуха)

Формула для расчета числа Маха в сверхзвуковом сжимаемом потоке получена из сверхзвукового уравнения Пито Рэлея :

${\displaystyle {\frac {p_{t}}{p}}=\left[{\frac {\gamma +1}{2}}\mathrm {M} ^{2}\right]^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}\cdot \left[{\frac {\gamma +1}{1-\gamma +2\gamma \,\mathrm {M} ^{2}}}\right]^{\frac {1}{\gamma -1}}}$

Расчет числа Маха по давлению в трубке Пито

Число Маха является функцией температуры и истинной воздушной скорости. Однако летные приборы самолета используют для расчета числа Маха перепад давления, а не температуру.

Предполагая, что воздух является идеальным газом , формула для расчета числа Маха в дозвуковом сжимаемом потоке находится из уравнения Бернулли для M <1 (выше): ^[9]

${\displaystyle \mathrm {M} ={\sqrt {5\left[\left({\frac {q_{c}}{p}}+1\right)^{\frac {2}{7}}-1\right]}}\,}$

Формулу для расчета числа Маха в сверхзвуковом сжимаемом потоке можно найти из сверхзвукового уравнения Пито Рэлея (см. выше) с использованием параметров для воздуха:

${\displaystyle \mathrm {M} \approx 0.88128485{\sqrt {\left({\frac {q_{c}}{p}}+1\right)\left(1-{\frac {1}{7\,\mathrm {M} ^{2}}}\right)^{2.5}}}}$

где:

q _c — динамическое давление, измеренное за нормальным скачком.

Как можно видеть, M появляется в обеих частях уравнения, и для практических целей для численного решения необходимо использовать алгоритм поиска корня (уравнение представляет собой септическое уравнение в M ² и, хотя некоторые из них могут быть решены явно , теорема Абеля–Руффини гарантирует, что не существует общего вида корней этих многочленов). Сначала определяется, действительно ли M больше 1,0, путем расчета M из дозвукового уравнения. Если в этой точке M больше 1,0, то значение M из дозвукового уравнения используется в качестве начального условия для итерации сверхзвукового уравнения с фиксированной точкой, которое обычно сходится очень быстро. ^[9] Альтернативно можно использовать метод Ньютона .

Смотрите также

• Критическое число Маха  - наименьшее число Маха, при котором поток воздуха над некоторой точкой самолета достигает скорости звука.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта
• Махметр  – Летательный прибор
• Ramjet  - сверхзвуковой атмосферный реактивный двигатель.
• ГПВРД  - реактивный двигатель, в котором сгорание происходит в сверхзвуковом потоке воздуха.
• Скорость звука  - Скорость звуковой волны в упругой среде.
• Истинная воздушная скорость  - скорость самолета относительно воздушной массы, через которую он летит.
• Порядки величины (скорость)

Примечания

1. Янг, Дональд Ф.; Мансон, Брюс Р.; Окииси, Теодор Х .; Хюбш, Уэйд В. (21 декабря 2010 г.). Краткое введение в механику жидкости (5-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 95. ИСБН 978-0-470-59679-1. LCCN  2010038482. OCLC  667210577. OL  24479108M.
2. Гребель, Уильям П. (19 января 2001 г.). Инженерная механика жидкости (1-е изд.). ЦРК Пресс . п. 16. ISBN 978-1-56032-733-2. OCLC  1034989004. ОЛ  9794889М.
3. "Эрнст Мах". Британская энциклопедия . 2016 . Проверено 6 января 2016 г.
4. Якоб Акерет: Der Luftwiderstand bei sehr großen Geschwindigkeiten. Schweizerische Bauzeitung 94 (октябрь 1929 г.), стр. 179–183. См. также: Н. Ротт: Якоб Аккерт и история числа Маха. Ежегодный обзор механики жидкости 17 (1985), стр. 1–9.
5. Боди, Уоррен М., Lockheed P-38 Lightning , ISBN Widewing Publications 0-9629359-0-5 . 
6. Нэнси Холл (ред.). "Число Маха". НАСА .
7. Клэнси, LJ (1975), Аэродинамика, Таблица 1, Pitman Publishing, Лондон, ISBN 0-273-01120-0 
8. Кунду, П.Дж.; Коэн, ИМ; Даулинг, Д.Р. (2012). Механика жидкости (5-е изд.). Академическая пресса. стр. 148–149. ISBN 978-0-12-382100-3.
9. Олсон, Уэйн М. (2002). «AFFTC-TIH-99-02, Летные испытания летательных аппаратов ». (PDF). Летно-испытательный центр ВВС, авиабаза Эдвардс, Калифорния, ВВС США. Архивировано 4 сентября 2011 г. в Wayback Machine .

Внешние ссылки

• Gas Dynamics Toolbox Рассчитать число Маха и параметры нормальной ударной волны для смесей идеальных и несовершенных газов.
• Страница НАСА, посвященная числу Маха. Интерактивный калькулятор числа Маха.
• Калькулятор стандартной атмосферы NewByte и преобразователь скорости