В статье содержатся математические доказательства некоторых свойств сложения натуральных чисел : аддитивного тождества, коммутативности и ассоциативности. Эти доказательства используются в статье Сложение натуральных чисел .
В этой статье будут использованы аксиомы Пеано для определения натуральных чисел. С этими аксиомами сложение определяется из константы 0 и функции-последователя S(a) двумя правилами
Для доказательства коммутативности полезно дать имя «1» последующему за 0 элементу, то есть
Для каждого натурального числа a , имеем
Мы докажем ассоциативность , сначала зафиксировав натуральные числа a и b и применив индукцию по натуральному числу c .
Для базового случая c = 0,
Каждое уравнение следует из определения [A1]: первое с a + b , второе с b .
Теперь, что касается индукции. Мы предполагаем гипотезу индукции, а именно, мы предполагаем, что для некоторого натурального числа c ,
Затем следует,
Другими словами, гипотеза индукции верна для S ( c ). Следовательно, индукция по c завершена.
Определение [A1] прямо утверждает, что 0 является правой единицей . Докажем, что 0 является левой единицей индукцией по натуральному числу a .
Для базового случая a = 0, 0 + 0 = 0 по определению [A1]. Теперь предположим индукционную гипотезу, что 0 + a = a . Тогда
На этом индукция по а завершена .
Докажем коммутативность ( a + b = b + a ), применяя индукцию по натуральному числу b . Сначала докажем базовые случаи b = 0 и b = S (0) = 1 (т.е. докажем, что 0 и 1 коммутируют со всем).
Базовый случай b = 0 немедленно следует из свойства тождественного элемента (0 является аддитивным тождеством ), которое было доказано выше: a + 0 = a = 0 + a .
Далее мы докажем базовый случай b = 1, что 1 коммутирует со всем, т. е. для всех натуральных чисел a , мы имеем a + 1 = 1 + a . Мы докажем это индукцией по a (доказательство индукции внутри доказательства индукции). Мы доказали, что 0 коммутирует со всем, так что, в частности, 0 коммутирует с 1: для a = 0 мы имеем 0 + 1 = 1 + 0. Теперь предположим, что a + 1 = 1 + a . Тогда
Это завершает индукцию по a , и поэтому мы доказали базовый случай b = 1. Теперь предположим, что для всех натуральных чисел a имеем a + b = b + a . Мы должны показать, что для всех натуральных чисел a имеем a + S ( b ) = S ( b ) + a . Имеем
Это завершает индукцию по b .