Доказательство на примере

Ошибочный метод доказательства

В логике и математике доказательство на примере (иногда называемое ненадлежащим обобщением ) — это логическая ошибка , при которой справедливость утверждения иллюстрируется одним или несколькими примерами или случаями, а не полноценным доказательством . ^{[1] [2]}

Структура, форма аргументации и формальная форма доказательства на примере обычно выглядят следующим образом:

Структура:

Я знаю, что X — это так.

Следовательно, все, что связано с X, также является таковым.

Форма аргумента :

Я знаю, что x , являющийся членом группы X , обладает свойством P.

Следовательно, все остальные элементы X должны обладать свойством P. ^[2 ]

Формальная форма :

${\displaystyle \exists x:P(x)\;\;\vdash \;\;\forall x:P(x)}$

Следующий пример демонстрирует, почему эта цепочка рассуждений является логической ошибкой:

Я видел, как один человек застрелил кого-то.

Следовательно, все люди — убийцы.

В общем дискурсе доказательство на примере может также использоваться для описания попытки установить утверждение с использованием статистически незначимых примеров. В этом случае достоинство каждого аргумента может быть оценено на индивидуальной основе. ^[3]

Действительные случаи доказательства на примере

В определенных обстоятельствах примеры могут быть достаточными в качестве логически обоснованного доказательства.

Доказательства экзистенциальных утверждений

В некоторых сценариях аргумент на основе примера может быть верным, если он ведет от единичной посылки к экзистенциальному заключению (т.е. доказывает, что утверждение верно по крайней мере для одного случая, а не для всех случаев). Например:

Сократ мудр.

Значит, кто-то мудр.

(или)

Я видел, как кто-то воровал.

Поэтому (некоторые) люди могут воровать.

В этих примерах описывается неформальная версия логического правила, известного как экзистенциальное введение , также известное как конкретизация или экзистенциальное обобщение :

Экзистенциальное введение

${\displaystyle {\underline {\varphi (\beta /\alpha )}}\,\!}$

${\displaystyle \exists \alpha \,\varphi \,\!}$

(где обозначает формулу , образованную путем замены всех свободных вхождений переменной на .) ${\displaystyle \varphi (\beta /\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \beta }$

Аналогично, нахождение контрпримера опровергает (доказывает отрицание ) универсального заключения. Это используется в доказательстве от противного .

Исчерпывающие доказательства

Примеры также представляют собой действительное, хотя и неэлегантное , доказательство, когда также было продемонстрировано, что рассмотренные примеры охватывают все возможные случаи.

В математике доказательство на примере может также использоваться для обозначения попыток проиллюстрировать утверждение путем доказательства случаев этого утверждения, при этом подразумевается, что эти случаи содержат ключевые идеи, которые можно обобщить в полноценное доказательство. ^[4]

Смотрите также

• Подтверждая вытекающее
• Неподтвержденные данные
• Байесовская вероятность
• Контрпример
• Машущая рукой
• Индуктивное рассуждение
  • Проблема индукции
• Модус поненс
• Доказательство построением
• Доказательство путем запугивания

Ссылки

1. "Логические заблуждения". www.auburn.edu. Архивировано из оригинала 31 июля 2002 г.
2. "Доказательство на примере – Грамматик". Грамматик . Получено 2019-12-01 .
3. "Что такое доказательство на примере?". Simplicable . Получено 2019-12-01 .
4. "Доказательства". www.mit.edu . Получено 2019-12-01 .

Дальнейшее чтение

• Бенджамин Мачке: Достоверные доказательства на примерах в математике (arXiv)