Раскраска домена

Методика визуализации сложных функций

График раскраски области функции f ( x ) = ⁠( х ² − 1)( х − 2 − я ) ²/х ² + 2 + 2 я⁠ , используя структурированную цветовую функцию, описанную ниже.

В комплексном анализе раскраска домена или цветовой круговой график — это метод визуализации сложных функций путем назначения цвета каждой точке комплексной плоскости . Назначая точкам на комплексной плоскости разные цвета и яркость, раскраска домена позволяет легко представить и понять функцию из комплексной плоскости в себя — график которой обычно требует четырех пространственных измерений. Это дает представление о текучести сложных функций и показывает естественные геометрические расширения действительных функций .

Мотивация

График действительной функции можно нарисовать в двух измерениях, поскольку представлены две переменные, и . Однако комплексные числа представлены двумя переменными и, следовательно, двумя измерениями; это означает, что представление сложной функции (точнее, комплекснозначной функции одной комплексной переменной ) требует визуализации четырех измерений. Один из способов добиться этого — использовать риманову поверхность , но другой метод — раскрашивание домена. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$

История

Термин «окраска домена» был придуман Фрэнком Фаррисом, возможно, около 1998 года. ^{[1] [2]} Было много более ранних применений цвета для визуализации сложных функций, обычно отображающих аргумент ( фазу ) в оттенок. ^[3] Ларри Кроун использовал этот метод в конце 1980-х годов. ^[4] Дэн Куцеровски использовал его в 1990 году. ^[5] Метод использования непрерывного цвета для отображения точек из домена в кодомен или плоскость изображения был использован в 1999 году Джорджем Абдо и Полом Годфри ^[6] , а цветные сетки использовались в графике Дугом Арнольдом , который датирует это 1997 годом. ^[7]

Метод

График HL функции z , согласно примеру простой цветовой функции, описанному в тексте (слева), и график сложной функции z ³  − 1 (справа) с использованием той же цветовой функции, показывающий три нуля, а также отрицательные действительные числа в виде розовых лучей, начинающихся от нулей.

Представление четырехмерного комплексного отображения только двумя переменными нежелательно, так как такие методы, как проекции, могут привести к потере информации. Однако можно добавлять переменные, которые сохраняют четырехмерный процесс, не требуя визуализации четырех измерений. В этом случае две добавленные переменные являются визуальными входными данными, такими как цвет и яркость, поскольку они естественным образом являются двумя переменными, легко обрабатываемыми и различаемыми человеческим глазом. Это назначение называется «цветовой функцией». Существует множество различных используемых цветовых функций. Распространенной практикой является представление комплексного аргумента , , (также известного как «фаза» или «угол») с помощью оттенка, следующего за цветовым кругом , а величину — другими средствами, такими как яркость или насыщенность . ${\displaystyle \arg z}$

Простая цветовая функция

Следующий пример окрашивает начало координат в черный цвет, 1 в зеленый , −1 в пурпурный , а точку на бесконечности в белый: Где H — оттенок , S — насыщенность , а L — светлота . Существует ряд вариантов для функции . должна быть строго монотонной и непрерывной . Другое желательное свойство заключается в том, что обратная функция является точно такой же светлой, насколько исходная функция является темной (и наоборот). Возможные варианты включают $${\displaystyle {\begin{cases}H&=\arg z+2\pi /3,\\S&=100\%,\\L&=\ell (|z|).\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \ell :[0,\infty )\to [0,1)}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell (1/r)=1-\ell (r)}$

• ${\displaystyle \ell _{1}(r)={\frac {2}{\pi }}\arctan(r)}$и
• ${\displaystyle \ell _{2}(r)={\frac {r^{a}}{r^{a}+1}}}$(с некоторым параметром ). При , это соответствует стереографической проекции на сферу Римана . ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle a=2}$

Распространенным выбором, не обладающим этим свойством, является функция (с некоторым параметром ), которая для и очень близка к . ${\displaystyle \ell _{3}(r)=1-a^{|r|}}$ ${\displaystyle 0<a<1}$ ${\displaystyle a=1/2}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ ${\displaystyle \ell _{1}}$

Этот подход использует цветовую модель HSL (оттенок, насыщенность, яркость). Насыщенность всегда устанавливается на максимум 100%. Яркие цвета радуги непрерывно вращаются на комплексной единичной окружности, поэтому шестые корни из единицы (начиная с 1) следующие: зеленый, голубой, синий, пурпурный, красный и желтый.

Поскольку цветовое пространство HSL не является перцептивно однородным, можно увидеть полосы воспринимаемой яркости на желтом, голубом и пурпурном цветах (хотя их абсолютные значения такие же, как у красного, зеленого и синего) и ореол вокруг L = ⁠1/2⁠ . Более современные цветовые пространства, например, цветовое пространство Lab или CIECAM02 , исправляют это, делая изображения более точными и менее насыщенными.

Прерывистое изменение цвета

Многие цветовые графики имеют разрывы, где вместо равномерного изменения яркости и цвета, они внезапно меняются, даже когда сама функция все еще гладкая. Это делается по разным причинам, таким как показ большей детализации или выделение определенных аспектов функции, таких как наборы уровней .

Рост величины

Разрывная цветовая функция. На графике каждый разрыв возникает, когда для целых чисел n . ${\displaystyle |z|=2^{n}}$

В отличие от аргумента, имеющего конечный диапазон, величина комплексного числа может находиться в диапазоне от 0 до ∞ . Поэтому в функциях с большими диапазонами величин изменения величины иногда бывает трудно различить, когда на графике также изображено очень большое изменение. Это можно исправить с помощью прерывистой цветовой функции, которая показывает повторяющийся рисунок яркости для величины на основе заданного уравнения. Это позволяет легко увидеть как более мелкие изменения, так и более крупные изменения, которые «прерывисто переходят» к более высокой величине. На графике справа эти разрывы возникают в кругах вокруг центра и показывают затемнение графика, который затем может снова начать становиться ярче. Похожая цветовая функция использовалась для графика в верхней части статьи.

Уравнения, определяющие разрывы, могут быть линейными, например, для каждой целочисленной величины, показательными уравнениями, например, для каждой величины , где n — целое число, или любыми другими уравнениями. ${\displaystyle 2^{n}}$

Подсветка свойств

Разрывы могут быть размещены там, где выходы имеют определенное свойство, чтобы выделить, какие части графика имеют это свойство. Например, график может, вместо того чтобы показывать голубой цвет, переходить от зеленого к синему. Это вызывает разрыв, который легко обнаружить, и может выделить линии, например, где аргумент равен нулю. ^[8] Разрывы также могут влиять на большие части графика, например, на график, где цветовой круг делит график на квадранты. Таким образом, легко показать, где каждый квадрант заканчивается по отношению к другим. ^[9]

Ограничения

Люди, страдающие дальтонизмом, могут испытывать трудности с интерпретацией таких графиков, когда они созданы с использованием стандартных цветовых карт . ^{[10] [11]} Эту проблему, возможно, можно решить, создав альтернативные версии с использованием цветовых карт, которые соответствуют цветовому пространству, различимому для людей с дальтонизмом. ^[12] Например, для людей с полной дейтеранопией цветовая карта, основанная на синем/сером/желтом, может быть более читаемой, чем обычная карта, основанная на синем/зеленом/красном. ^[12]

Ссылки

1. Фрэнк А. Фаррис, Визуализация комплекснозначных функций на плоскости
2. Ханс Лундмарк (2004). "Визуализация сложных аналитических функций с использованием раскраски доменов". Архивировано из оригинала 2006-05-02 . Получено 2006-05-25 .В своей статье 2004 года Лундмарк ссылается на введение Фаррисом термина «окраска домена».
3. Дэвид А. Рабенхорст (1990). «Цветовая галерея сложных функций». Pixel: Журнал научной визуализации . 1 (4). Pixel Communications: 42 и далее.
4. Элиас Вегерт (2012). Визуальные комплексные функции: введение с фазовыми портретами. Springer Basel. стр. 29. ISBN 9783034801799. Получено 6 января 2016 г.
5. Куцеровский, Дэн (октябрь 1990 г.). «Алгоритм визуального представления двумерного векторного поля». Отчет о конференции 1990 IEEE Industry Applications Society Annual Meeting . стр. 903–909. doi :10.1109/IAS.1990.152292. ISBN 0-87942-553-9. S2CID  34434375.
6. Джордж Абдо и Пол Годфри (1999). "Построение графиков функций комплексной переменной: таблица конформных отображений с использованием непрерывной раскраски". Архивировано из оригинала 2020-03-16 . Получено 2008-05-17 .
7. Дуглас Н. Арнольд (2008). "Графика для комплексного анализа" . Получено 2008-05-17 .
8. Май 2004 г. http://users.mai.liu.se/hanlu09/complex/domain_coloring.html Получено 13 декабря 2018 г.
9. Poelke, K.; Polthier, K. (сентябрь 2012 г.). «Раскраска доменов сложных функций: ориентированное на реализацию введение». IEEE Computer Graphics and Applications . 32 (5): 90–97. doi :10.1109/MCG.2012.100. PMID  24806991. S2CID  19237225.
10. "CET Perceptually Uniform Color Maps". peterkovesi.com . Получено 22.12.2020 .
11. Фаррис, Фрэнк А. (2 июня 2015 г.). Создание симметрии: искусная математика узоров обоев. Princeton University Press. стр. 36–37. ISBN 978-0-691-16173-0.
12. Kovesi, Peter (2017). «Цветовые карты для дальтоников, представленные на IAMG 2017» (PDF) .

Внешние ссылки

• Функциональный плоттер Сэмюэля Ли
• Высококачественный браузерный интерактивный плоттер сложных функций от Рики Ройссера
• Цветные графики сложных функций
• Визуализация комплекснозначных функций на плоскости.
• Галерея комплексных функций
• Complex Mapper Алессандро Розы
• Программное обеспечение Джона Дэвиса, скрипт S-Lang для раскрашивания доменов
• Программное обеспечение для раскрашивания доменов с открытым исходным кодом на C и Python
• Улучшенная 3D-раскраска домена
• Метод раскраски доменов на GPU
• Программное обеспечение для раскрашивания доменов Java (в разработке)
• Процедуры MATLAB [1]
• Скрипт Python для GIMP от Майкла Дж. Грубера
• Реализация раскраски доменов в Matplotlib и MayaVi Э. Петрисора [2]
• Процедуры MATLAB с пользовательским интерфейсом и различными цветовыми схемами
• Процедуры MATLAB для 3D-визуализации сложных функций
• Метод цветового круга
• Математический движок масштабирования в реальном времени
• Fractal Zoomer: программное обеспечение, использующее доменную раскраску
• cplot, пакет раскраски доменов для Python