Значение

Часть числа в научной записи

Мантисса ^[1] (также коэффициент , ^[1] иногда также аргумент или, что более двусмысленно, мантисса , ^[2] дробь , ^{[3] [4] [nb 1]} или характеристика [ ^{5] [2]} ) относится к первому ( слева) часть числа в экспоненциальной записи или родственных понятий в представлении с плавающей запятой , состоящая из его значащих цифр . В зависимости от интерпретации показателя степени мантисса может представлять собой целое число или дробь .

Пример

Число 123,45 может быть представлено как десятичное число с плавающей запятой с целым числом 12345 в качестве мантиссы и степенным членом ^{10-2 , также называемым} характеристиками , ^{[6] [7] [8]} , где -2 — показатель степени (а 10 это база). Его значение определяется следующей арифметикой:

123,45 = 12345 × 10 ^-2 .

То же значение также можно представить в нормализованной форме с мантиссой 1,2345 в качестве дробного коэффициента и +2 в качестве показателя степени (и 10 в качестве основания):

123,45 = 1 . 2345 × 10 ⁺² .

Шмид, однако, назвал это представление с мантиссой от 1,0 до 10 модифицированной нормализованной формой . ^{[7] [8]}

Для базы 2 эта форма 1.xxxx также называется нормализованной мантиссой .

Наконец, значение может быть представлено в формате, заданном стандартом языковой независимой арифметики и несколькими стандартами языков программирования, включая Ada , C , Fortran и Modula-2 , как

123,45 = 0 . 12345 × 10 ⁺³ .

Шмид назвал это представление с мантиссой в диапазоне от 0,1 до 1,0 истинной нормализованной формой . ^{[7] [8]}

Для базы 2 эта форма 0.xxxx также называется нормированной мантиссой . ^{[ нужна цитата ]}

Скрытый бит в числах с плавающей запятой

Для нормализованного числа старшая цифра всегда отлична от нуля. При работе в двоичном формате это ограничение однозначно определяет, что эта цифра всегда равна 1. Таким образом, она не сохраняется явно и называется скрытым битом .

Мантисса характеризуется своей шириной в (двоичных) цифрах , и в зависимости от контекста скрытый бит может учитываться или не учитываться при расчете ширины. Например, один и тот же формат двойной точности IEEE 754 обычно описывается как имеющий либо 53-битное мантиссу, включая скрытый бит, либо 52-битное мантиссу, исключая скрытый бит. IEEE 754 определяет точность p как количество цифр в мантиссе, включая любой неявный ведущий бит (например, p = 53 для формата двойной точности), таким образом, способом, независимым от кодирования, и термином, выражающим то, что кодируется (то есть мантисса без ведущего бита) является конечным полем мантиссы .

Мантисса с плавающей запятой

В 1946 году Артур Бёркс использовал термины «мантисса» и «характеристика» для описания двух частей числа с плавающей запятой ( Бёркс ^[6] и др. ) по аналогии с распространенными в то время таблицами десятичных логарифмов : характеристикой является целая часть числа с плавающей запятой. логарифм (то есть показатель степени), а мантисса — это дробная часть. Сегодня это использование остается распространенным среди ученых-компьютерщиков .

Термин мантисса был введен Джорджем Форсайтом и Кливом Молером в 1967 году ^{[9] [10] [11] [4]} и является словом, используемым в стандарте IEEE ^[12] в качестве коэффициента перед числом в научной записи, обсуждавшимся выше. Дробная часть называется дробью .

Чтобы понять оба термина, обратите внимание, что в двоичном формате соответствие точное при хранении степени 2. Этот факт позволяет быстро аппроксимировать логарифм по основанию 2, что приводит к алгоритмам, например, для вычисления быстрого квадратного корня и быстрого обратного квадратного корня . Неявная ведущая 1 — это не что иное, как скрытый бит в формате IEEE 754 с плавающей запятой, а битовое поле, хранящее остаток, является, таким образом, мантиссой . ${\textstyle 1+{\text{(mantissa)}}\approx {\text{(significand)}}}$

Однако независимо от того, включена ли неявная 1, это серьезная путаница с обоими терминами, особенно с мантиссой . В соответствии с первоначальным использованием в контексте таблиц журналов, его не должно быть.

В тех контекстах, где 1 считается включенным, Уильям Кахан , ^[1] ведущий создатель IEEE 754, и Дональд Э. Кнут , известный программист и автор книги «Искусство компьютерного программирования» , ^[5] осуждают использование мантиссы . Это привело к сокращению использования термина мантисса во всех контекстах. В частности, в действующем стандарте IEEE 754 об этом не упоминается.

Смотрите также

• Мантисса (логарифм)

Примечания

1. Термин дробь используется в IEEE 754-1985 в другом значении: это дробная часть мантиссы, то есть мантисса без явного или неявного ведущего бита.

Рекомендации

1. Кахан, Уильям Мортон (19 апреля 2002 г.). «Имена стандартизированных форматов с плавающей запятой» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 27 декабря 2023 г. Проверено 27 декабря 2023 г. […] m — мантисса, или коэффициент, или (ошибочно) мантисса […](8 страниц)
2. Гослинг, Джон Б. (1980). «6.1 Обозначение с плавающей запятой / 6.8.5 Экспоненциальное представление». В Самнере, Фрэнк Х. (ред.). Проектирование арифметических единиц для цифровых вычислительных машин . Серия Macmillan Computer Science (1-е изд.). Факультет компьютерных наук Манчестерского университета , Манчестер, Великобритания: The Macmillan Press Ltd. стр. 74, 91, 137–138. ISBN 0-333-26397-9. […] В представлении с плавающей запятой число x представляется двумя числами со знаком m и e , такими что x  = m · b ^e , где m — мантисса, e — показатель степени , а b — основание . […] Мантиссу иногда называют характеристикой, и версия показателя степени также имеет это название у некоторых авторов. Остается надеяться, что условия здесь будут однозначными. […] [мы] используем значение [n экспоненты], которое сдвинуто на половину двоичного диапазона числа. […] Эту специальную форму иногда называют смещенной экспонентой , поскольку она представляет собой обычное значение плюс константу. Некоторые авторы называют это характеристикой, но этот термин не следует использовать, поскольку CDC и другие используют этот термин для обозначения мантиссы. Его также называют представлением « избыток - », где, например, - равно 64 для 7-битной экспоненты (2 ⁷⁻¹  = 64). […](Примечание. Гослинг вообще не упоминает термин «значащее».)
3. English Electric KDF9: Очень высокоскоростная система обработки данных для торговли, промышленности и науки (PDF) (флаер о продукте). Английский электрик . в. 1961. Публикация № DP/103. 096320WP/RP0961. Архивировано (PDF) из оригинала 27 июля 2020 г. Проверено 27 июля 2020 г.
4. Савард, Джон Дж.Г. (2018) [2005]. «Форматы с плавающей запятой». четырехблок . Примечание об обозначениях полей. Архивировано из оригинала 3 июля 2018 г. Проверено 16 июля 2018 г.
5. Кнут, Дональд Э. Искусство компьютерного программирования . Том. 2. п. 214. ИСБН  0-201-89684-2. […] Для этой цели иногда используются и другие названия, особенно «характеристика» и «мантисса»; но было бы злоупотреблением терминологией называть дробную часть мантиссой, поскольку этот термин имеет совершенно иное значение по отношению к логарифмам. Более того, английское слово мантисса означает «бесполезное дополнение». […]
6. Беркс, Артур Уолтер ; Голдстайн, Герман Х .; фон Нейман, Джон (1963) [1946]. «5.3.». В Таубе, А.Х. (ред.). Предварительное обсуждение логического проекта электронного вычислительного прибора (PDF) (Технический отчет, Институт перспективных исследований, Принстон, Нью-Джерси, США). Собрание сочинений Джона фон Неймана. Том. 5. Нью-Йорк, США: Компания Macmillan . п. 42 . Проверено 7 февраля 2016 г. […] Некоторые из цифровых компьютеров, которые будут построены или планируются в этой стране и Англии, будут содержать так называемую « плавающую десятичную точку ». Это механизм выражения каждого слова как характеристики и мантиссы — например, 123,45 будет передаваться в машине как (0,12345,03), где 3 — это показатель степени 10, связанный с числом. […]
7. Шмид, Герман (1974). Десятичные вычисления (1-е изд.). Бингемтон, Нью-Йорк, США: John Wiley & Sons, Inc., с. 204-205. ISBN 0-471-76180-Х. Проверено 03 января 2016 г.
8. Шмид, Герман (1983) [1974]. Десятичные вычисления (1 (переиздание) изд.). Малабар, Флорида, США: Издательская компания Роберта Э. Кригера. стр. 204–205. ISBN 0-89874-318-4. Проверено 03 января 2016 г.(Примечание. По крайней мере, в некоторых партиях этого репринтного издания были опечатки с дефектными страницами 115–146.)
9. Форсайт, Джордж Элмер ; Молер, Клив Бэрри (сентябрь 1967 г.). Компьютерное решение линейных алгебраических систем . Автоматические вычисления (1-е изд.). Нью-Джерси, США: Прентис-Холл , Энглвуд Клиффс . ISBN 0-13-165779-8.
10. Стербенс, Пэт Х. (1 мая 1974 г.). Вычисление с плавающей запятой . Серия Прентис-Холла по автоматическим вычислениям (1-е изд.). Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, США: Прентис Холл . ISBN 0-13-322495-3.
11. Голдберг, Дэвид (март 1991 г.). «Что должен знать каждый ученый-компьютерщик об арифметике с плавающей запятой» (PDF) . Вычислительные опросы . Исследовательский центр Xerox Пало-Альто (PARC), Пало-Альто, Калифорния, США: Ассоциация вычислительной техники, Inc. 23 (1): 7. Архивировано (PDF) из оригинала 13 июля 2016 г. Проверено 13 июля 2016 г. […] Этот термин был введен Форсайтом и Молером [1967] и обычно заменил старый термин «мантисса» . […] (Примечание. Более новую отредактированную версию можно найти здесь: [1])
12. 754-2019 - Стандарт IEEE для арифметики с плавающей запятой . ИИЭЭ . 2019. doi : 10.1109/IEESTD.2019.8766229. ISBN 978-1-5044-5924-2.