В математической дисциплине теории порядка решетка с дополнениями — это ограниченная решетка (с наименьшим элементом 0 и наибольшим элементом 1), в которой каждый элемент a имеет дополнение , то есть элемент b , удовлетворяющий условиям a ∨ b = 1 и a ∧ b = 0. Дополнения не обязательно должны быть уникальными.
Относительно дополняемая решетка — это решетка, в которой каждый интервал [ c , d ], рассматриваемый как ограниченная решетка сам по себе, является дополняемой решеткой.
Ортодополнение на решетке с дополнениями — это инволюция , меняющая порядок и отображающая каждый элемент в дополнение. Решетка с ортодополнениями, удовлетворяющая слабой форме модулярного закона, называется ортомодулярной решеткой .
В ограниченных дистрибутивных решетках дополнения единственны. Каждая дополняемая дистрибутивная решетка имеет единственное ортодополнение и фактически является булевой алгеброй .
Решетка с дополнениями — это ограниченная решетка (с наименьшим элементом 0 и наибольшим элементом 1), в которой каждый элемент a имеет дополнение , т. е. элемент b такой, что
Обычно элемент может иметь более одного дополнения. Однако в (ограниченной) дистрибутивной решетке каждый элемент будет иметь не более одного дополнения. [1] Решетка, в которой каждый элемент имеет ровно одно дополнение, называется решёткой с единственным дополнением [2]
Решетка, свойство которой состоит в том, что каждый интервал (рассматриваемый как подрешетка) дополняется, называется относительно дополняемой решеткой . Другими словами, относительно дополняемая решетка характеризуется тем свойством, что для каждого элемента a в интервале [ c , d ] существует элемент b такой, что
Такой элемент b называется дополнением a относительно интервала.
Дистрибутивная решетка дополняема тогда и только тогда, когда она ограничена и относительно дополняема. [3] [4] Решетка подпространств векторного пространства представляет собой пример решетки с дополнениями, которая, как правило, не является дистрибутивной.
Ортодополнение на ограниченной решетке — это функция, которая отображает каждый элемент a в «ортодополнение» a ⊥ таким образом, что выполняются следующие аксиомы: [ 5]
Ортодополненная решетка или орторешетка — это ограниченная решетка, снабженная ортодополнениями. Решетка подпространств пространства внутреннего продукта и операция ортогонального дополнения представляют собой пример решетки с ортодополнениями, которая, вообще говоря, не является дистрибутивной. [6]
Булевы алгебры — это частный случай решеток с ортодополнениями, которые, в свою очередь, являются частным случаем решеток с дополнениями (с дополнительной структурой). Орторешетки чаще всего используются в квантовой логике , где замкнутые подпространства сепарабельного гильбертова пространства представляют квантовые предложения и ведут себя как решетка с ортодополнениями .
Решетки с ортодополнениями, как и булевы алгебры, удовлетворяют законам де Моргана :
Решетка называется модульной, если для всех элементов a , b и c выполняется импликация
держит. Это слабее, чем дистрибутивность ; например, показанная выше решетка M 3 является модулярной, но не дистрибутивной.
Естественным дальнейшим ослаблением этого условия для решеток с ортодополнениями, необходимым для приложений в квантовой логике, является требование его только в частном случае b = a⊥ . Таким образом, ортомодулярная решетка определяется как решетка с ортодополнениями, такая что для любых двух элементов выполняется импликация
держит.
Решетки этой формы имеют решающее значение для изучения квантовой логики , поскольку они являются частью аксиомизации формулировки квантовой механики в гильбертовом пространстве . Гаррет Биркгоф и Джон фон Нейман заметили, что исчисление высказываний в квантовой логике «формально неотличимо от исчисления линейных подпространств [гильбертова пространства] относительно произведений множеств , линейных сумм и ортогональных дополнений», соответствующих ролям и , или а не в булевых решетках. Это замечание вызвало интерес к замкнутым подпространствам гильбертова пространства, образующим ортомодулярную решетку. [7]