В конце концов (математика)

В математических областях теории чисел и анализа бесконечная последовательность или функция , как говорят, в конечном итоге имеет определенное свойство , если она не имеет указанного свойства во всех своих упорядоченных экземплярах, но будет иметь после того, как некоторые экземпляры пройдут. Использование термина «в конечном итоге» часто можно перефразировать как «для достаточно больших чисел», ^[1] и также может быть распространено на класс свойств, которые применяются к элементам любого упорядоченного множества (например, последовательности и подмножества ) . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Обозначение

Общая форма, в которой в конечном итоге (или достаточно большом ) находится фраза, выглядит следующим образом:

${\displaystyle P}$в конечном итоге верно для ( верно для достаточно больших ), ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$

где и — кванторы всеобщности и существования , что на самом деле является сокращением для: ${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle \exists }$

${\displaystyle \exists a\in \mathbb {R} }$так что это правда ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \forall x\geq a}$

или несколько более формально:

${\displaystyle \exists a\in \mathbb {R} :\forall x\in \mathbb {R} :x\geq a\Rightarrow P(x)}$

Это не обязательно означает, что известно какое-либо конкретное значение для , а только то, что такое существует. Фразу "достаточно большой" не следует путать с фразами " произвольно большой " или " бесконечно большой". Подробнее см. Произвольно большой#Произвольно большой против достаточно большого против бесконечно большого . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

Мотивация и определение

Для бесконечной последовательности часто больше интересуют долгосрочные поведения последовательности, чем поведение, которое она демонстрирует на ранних этапах. В этом случае один из способов формально описать эту концепцию — сказать, что последовательность обладает определенным свойством в конечном итоге , или, что то же самое, что свойство удовлетворяется одной из ее подпоследовательностей , для некоторых . ^[2] ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq N}}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$

Например, определение последовательности действительных чисел , сходящейся к некоторому пределу, выглядит так: ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle a}$

Для каждого положительного числа существует натуральное число такое, что для всех , . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle \left\vert a_{n}-a\right\vert <\varepsilon }$

Когда термин «в конечном итоге » используется как сокращение для «существует натуральное число такое, что для всех », определение сходимости можно перефразировать более просто: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N}$

Для каждого положительного числа , в конечном итоге , . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \left\vert a_{n}-a\right\vert <\varepsilon }$

Здесь обратите внимание, что множество натуральных чисел, которые не удовлетворяют этому свойству, является конечным множеством; то есть множество пусто или имеет максимальный элемент. В результате использование «в конечном итоге» в этом случае является синонимом выражения «для всех, кроме конечного числа членов» – частного случая выражения «для почти всех членов» (хотя «почти все» также может использоваться для учета бесконечного числа исключений).

На базовом уровне последовательность можно рассматривать как функцию с натуральными числами в качестве области определения , а понятие «в конечном итоге» применимо также к функциям на более общих множествах — в частности, к тем, которые имеют порядок без наибольшего элемента .

Более конкретно, если есть такое множество и есть элемент в такой, что функция определена для всех элементов, больших , то говорят, что имеет некоторое свойство в конечном счете, если есть элемент такой, что всякий раз , когда , имеет указанное свойство. Это понятие используется, например, при изучении полей Харди , которые являются полями, состоящими из действительных функций, каждая из которых имеет определенные свойства в конечном счете. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x>x_{0}}$ ${\displaystyle f(x)}$

Примеры

• «Все простые числа больше 2 нечетны » можно записать как «В конечном итоге все простые числа нечетны».
• В конце концов, все простые числа сравнимы с ±1 по модулю 6.
• Квадрат простого числа в конечном итоге равен 1 по модулю 24 (в частности, это верно для всех простых чисел, больших 3).
• Факториал натурального числа в конечном итоге заканчивается цифрой 0 (в частности, это справедливо для всех натуральных чисел больше 4).

Другие применения в математике

• 3-многообразие называется достаточно большим, если оно содержит правильно вложенную 2-стороннюю несжимаемую поверхность . Это свойство является основным требованием для того, чтобы 3-многообразие называлось многообразием Хакена .
• Временная логика вводит оператор, который можно использовать для выражения утверждений, интерпретируемых следующим образом: определенное свойство в конечном итоге сохранится в определенный момент времени в будущем.

Смотрите также

• Почти все
• Обозначение «Большое О»
• Математический жаргон
• Теория чисел

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. "Sufficiently Large". mathworld.wolfram.com . Получено 20.11.2019 .
2. Weisstein, Eric W. "Eventually". mathworld.wolfram.com . Получено 20.11.2019 .