В математике несжимаемая поверхность — это поверхность , правильно вложенная в 3-многообразие , которое, в интуитивно понятных терминах, является «нетривиальной» поверхностью, которую нельзя упростить. В нематематических терминах поверхность чемодана сжимаема, потому что мы могли бы отрезать ручку и сжать ее до поверхности. Но сфера Конвея (сфера с четырьмя отверстиями) несжимаема, потому что есть существенные части узла или связи как внутри, так и снаружи, поэтому нет способа переместить весь узел или связь на одну сторону проколотой сферы. Математическое определение таково. Следует рассмотреть два случая. Сфера несжимаема, если как внутри, так и снаружи сферы есть некоторые препятствия, которые не позволяют сфере сжаться в точку, а также не позволяют сфере расширяться, чтобы охватить все пространство. Поверхность, отличная от сферы, несжимаема, если любой диск с его границей на поверхности охватывает диск на поверхности. [1]
Несжимаемые поверхности используются для разложения многообразий Хакена , в теории нормальных поверхностей и при изучении фундаментальных групп 3-многообразий.
Пусть S — компактная поверхность, надлежащим образом вложенная в гладкое или PL 3-многообразие M. Сжимающий диск D — это диск, вложенный в M, такой что
и пересечение трансверсально . Если кривая ∂ D не ограничивает диск внутри S , то D называется нетривиальным сжимающим диском. Если S имеет нетривиальный сжимающий диск, то мы называем S сжимаемой поверхностью в M .
Если S не является ни 2-сферой, ни сжимаемой поверхностью, то мы называем поверхность ( геометрически ) несжимаемой .
Обратите внимание, что 2-сферы исключены, поскольку они не имеют нетривиальных сжимающих дисков по теореме Жордана-Шенфлиса , а 3-многообразия имеют множество вложенных 2-сфер. Иногда определение меняют так, что несжимаемая сфера является 2-сферой, вложенной в 3-многообразие, которое не ограничивает вложенный 3-шар . Такие сферы возникают именно тогда, когда 3-многообразие не является неприводимым . Поскольку это понятие несжимаемости для сферы сильно отличается от приведенного выше определения для поверхностей, часто несжимаемую сферу вместо этого называют существенной сферой или приводящей сферой .
Если задана сжимаемая поверхность S с диском сжатия D , который, как мы можем предположить, лежит внутри M и пересекает S поперечно , можно выполнить вложенную 1- операцию на S , чтобы получить поверхность, которая получается сжатием S вдоль D. Существует трубчатая окрестность D , замыкание которой является вложением D × [-1,1], где D × 0 отождествляется с D и с
Затем
представляет собой новую правильно встроенную поверхность , полученную сжатием S вдоль D.
Неотрицательная мера сложности на компактных поверхностях без 2-сферных компонентов равна b 0 ( S ) − χ ( S ) , где b 0 ( S ) — нулевое число Бетти (число связных компонентов), а χ ( S ) — эйлерова характеристика S . При сжатии сжимаемой поверхности вдоль нетривиального сжимающего диска эйлерова характеристика увеличивается на два, в то время как b 0 может оставаться прежним или увеличиваться на 1. Таким образом, каждая правильно вложенная компактная поверхность без 2-сферных компонентов связана с несжимаемой поверхностью через последовательность сжатий.
Иногда мы опускаем условие, что S должен быть сжимаемым. Если бы D ограничивал диск внутри S (что всегда имеет место, если S несжимаем, например), то сжатие S вдоль D привело бы к несвязному объединению сферы и поверхности, гомеоморфной S. Полученная поверхность с удаленной сферой может быть или не быть изотопной S , и она будет таковой, если S несжимаема , а M неприводима.
Существует также алгебраическая версия несжимаемости. Предположим, что есть собственное вложение компактной поверхности в 3-многообразие. Тогда S является π 1 -инъективным (или алгебраически несжимаемым ), если индуцированное отображение
на фундаментальных группах является инъективным .
В общем случае каждая π 1 -инъективная поверхность несжимаема, но обратная импликация не всегда верна. Например, пространство линзы L (4,1) содержит несжимаемую бутылку Клейна , которая не является π 1 -инъективной.
Однако если S является двусторонним , то из теоремы о петле следует лемма Кнезера о том, что если S несжимаемо, то оно является π 1 -инъективным.
Поверхность Зейферта S для ориентированного зацепления L — это ориентированная поверхность, граница которой — L с той же индуцированной ориентацией. Если S не является π 1 -инъективной в S 3 − N ( L ) , где N ( L ) — трубчатая окрестность L , то теорема о петле дает сжимающий диск, который можно использовать для сжатия S вдоль, предоставляя другую поверхность Зейферта уменьшенной сложности. Следовательно, существуют несжимаемые поверхности Зейферта.
Каждая поверхность Зейферта связи связана друг с другом посредством сжатий в том смысле, что отношение эквивалентности , порожденное сжатием, имеет один класс эквивалентности. Обратное сжатию иногда называют встроенной дуговой хирургией (встроенной 0-хирургией).
Род зацепления — это минимальный род всех поверхностей Зейферта зацепления. Поверхность Зейферта минимального рода несжимаема. Однако в общем случае не так, что несжимаемая поверхность Зейферта имеет минимальный род, поэтому π 1 само по себе не может удостоверить род зацепления. Дэвид Габай доказал, в частности, что минимизирующая род поверхность Зейферта является листом некоторого натянутого, трансверсально ориентированного слоения дополнения узла, которое может быть удостоверено с помощью натянутой сшитой иерархии многообразий.
Если задана несжимаемая поверхность Зейферта S ' для узла K , то фундаментальная группа S 3 − N ( K ) расщепляется как расширение HNN над π 1 ( S ) , которое является свободной группой . Два отображения из π 1 ( S ) в π 1 ( S 3 − N ( S )), полученные путем выталкивания петель с поверхности на положительную или отрицательную сторону N ( S ), являются инъекциями.
![{\displaystyle (D\times [-1,1])\cap S=\partial D\times [-1,1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/291fc6861b87d960c549e448ef699a3c8c59f679)
