Дружественные числа

Дружественные числа — это два различных натуральных числа, связанных таким образом, что сумма собственных делителей каждого из них равна другому числу. То есть, s ( a )= b и s ( b )= a , где s ( n )=σ( n )- n равно сумме положительных делителей n за исключением самого n (см. также функцию делителя ).

Наименьшая пара дружественных чисел — ( 220 , 284 ). Они дружественны, потому что собственные делители числа 220 — 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, сумма которых равна 284; а собственные делители числа 284 — 1, 2, 4, 71 и 142, сумма которых равна 220.

Первые десять дружественных пар: (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084) и (66928, 66992). (последовательность A259180 в OEIS ). (См. также OEIS : A002025 и OEIS : A002046 ) Неизвестно, существует ли бесконечно много пар дружественных чисел.

Пара дружественных чисел образует аликвотную последовательность с периодом 2. Связанное с ней понятие — совершенное число , которое представляет собой число, равное сумме своих собственных делителей, другими словами, число, которое образует аликвотную последовательность с периодом 1. Числа, являющиеся членами аликвотной последовательности с периодом больше 2, называются общительными числами .

История

Нерешенная задача по математике :

Существует ли бесконечно много дружественных чисел?

(еще нерешенные проблемы по математике)

Дружественные числа были известны пифагорейцам , которые приписывали им множество мистических свойств. Общая формула, с помощью которой можно было вывести некоторые из этих чисел, была изобретена около 850 года иракским математиком Сабитом ибн Куррой (826–901). Другими арабскими математиками, изучавшими дружественные числа, были аль-Маджрити (умер в 1007 году), аль-Багдади (980–1037) и аль-Фариси (1260–1320). Иранский математик Мухаммад Бакир Язди (16 век) открыл пару (9363584, 9437056), хотя это часто приписывалось Декарту . [ ^1] Большая часть работ восточных математиков в этой области была забыта.

Формула Табита ибн Курры была переоткрыта Ферма (1601–1665) и Декартом (1596–1650), которому она иногда приписывается, и расширена Эйлером (1707–1783). Она была расширена еще больше Борхо в 1972 году. Ферма и Декарт также переоткрыли пары дружественных чисел, известные арабским математикам. Эйлер также открыл десятки новых пар. ^[2] Вторая наименьшая пара (1184, 1210) была открыта в 1867 году 16-летним Б. Николо И. Паганини (не путать с композитором и скрипачом), будучи упущенной из виду более ранними математиками. ^[3]^[4]

Известно более 1 000 000 000 дружественных пар. ^[5]

Правила генерации

Хотя эти правила действительно генерируют некоторые пары дружественных чисел, известно много других пар, поэтому эти правила ни в коем случае не являются исчерпывающими.

В частности, два приведенных ниже правила создают только четные дружественные пары, поэтому они не представляют интереса для открытой задачи нахождения дружественных пар, взаимно простых с 210 = 2·3·5·7, в то время как известно более 1000 пар, взаимно простых с 30 = 2·3·5 [García, Pedersen & te Riele (2003), Sándor & Crstici (2004)].

Теорема Сабита ибн Курраха

Теорема Сабита ибн Курраха — метод обнаружения дружественных чисел, изобретенный в IX веке арабским математиком Сабитом ибн Куррахом . ^[6]

В нем говорится, что если ${\begin{align}p&=3\times 2^{n-1}-1,\\q&=3\times 2^{n}-1,\\r&=9\times 2^{2n-1}-1,\end{align}}$

где $n > 1$ — целое число , а $p, q, r$ — простые числа , то $2 n \times p \times q$ и $2 n \times r$ — пара дружественных чисел. Эта формула дает пары $(220, 284)$ для $n = 2$ , $(17296, 18416)$ для $n = 4$ и $(9363584, 9437056)$ для $n = 7$ , но других таких пар не известно. Числа вида $3 \times 2 n - 1$ известны как числа Сабита . Для того чтобы формула Ибн Курры дала дружественную пару, два последовательных числа Сабита должны быть простыми; это серьезно ограничивает возможные значения $n$ .

Для обоснования теоремы Сабит ибн Курра доказал девять лемм, разделенных на две группы. Первые три леммы касаются определения аликвотных частей натурального целого числа . Вторая группа лемм более конкретно касается образования совершенных, избыточных и недостаточных чисел. ^[6]

Правило Эйлера

Правило Эйлера является обобщением теоремы Табита ибн Курры. Оно гласит, что если n $>$ $m$ $>$ $0$ — целые числа , а $p, q, r$ — простые числа , то $2$ $n$ $\times$ $p$ $\times$ $q$ и $2$ $n$ $\times$ $r$ — пара дружественных чисел. Теорема Табита ибн Курры соответствует случаю $m$ $=$ $n$ $- 1.$ Правило Эйлера создает дополнительные дружественные пары для $($ $m$ $,$ $n$ $) = (1,8), (29,40),$ при этом другие неизвестны. Эйлер (1747 и 1750) в общей сложности нашел 58 новых пар, увеличив число пар, которые были известны, до 61. ^[2]^[7] ${\begin{align}p&=(2^{нм}+1)\times 2^{м}-1,\\q&=(2^{нм}+1)\times 2^{н}-1,\\r&=(2^{нм}+1)^{2}\times 2^{м+н}-1,\end{align}}$

Регулярные пары

Пусть ( $m$ , $n$ ) — пара дружественных чисел с $m < n$ $, и$ запишем $m = gM$ и $n = gN ,$ где $g$ — наибольший общий делитель m и $n$ . Если $M$ и $N$ оба взаимно просты с $g$ и не содержат квадратов , то пара ( $m$ , $n$ ) называется регулярной (последовательность A215491 в OEIS ); в противном случае она называется нерегулярной или экзотической . Если ( $m$ , $n$ ) является правильным и $M$ и $N$ имеют $i$ и $j$ простых множителей соответственно, то говорят, что $($ $m$ $,$ $n$ $)$ имеет тип $($ $i$ $,$ $j$ $)$ .

Например, при $(m, n) = (220, 284)$ наибольший общий делитель равен $4$ , поэтому $M = 55$ и $N = 71.$ Следовательно, $(220, 284)$ является регулярным числом типа $(2, 1)$ .

Дружественные пары близнецов

Дружественная пара $(m, n) является близнецом, если между$ $m$ и $n$ нет целых чисел, принадлежащих какой-либо другой дружественной паре (последовательность A273259 в OEIS ).

Другие результаты

В каждом известном случае числа пары либо оба четные , либо оба нечетные. Неизвестно, существует ли пара четных-нечетных дружественных чисел, но если она существует, четное число должно быть либо квадратом, либо удвоенной единицей, а нечетное число должно быть квадратом. Однако дружественные числа, в которых два члена имеют различные наименьшие простые множители, существуют: известно семь таких пар. ^[8] Кроме того, каждая известная пара имеет по крайней мере один общий простой множитель . Неизвестно, существует ли пара взаимно простых дружественных чисел, хотя, если таковая существует, произведение этих двух чисел должно быть больше 10 ⁶⁵ . ^[9]^[10] Кроме того, пара взаимно простых дружественных чисел не может быть получена ни формулой Табита (выше), ни какой-либо подобной формулой.

В 1955 году Пол Эрдёш показал, что плотность дружественных чисел относительно положительных целых чисел равна 0. ^[11]

В 1968 году Мартин Гарднер заметил, что большинство известных в его время четных дружественных пар имеют суммы, делящиеся на 9, ^[12] и было получено правило для характеристики исключений (последовательность A291550 в OEIS ). ^[13]

Согласно гипотезе о сумме дружественных пар, по мере того, как число дружественных чисел стремится к бесконечности, процент сумм дружественных пар, делящихся на десять, приближается к 100% (последовательность A291422 в OEIS ). Хотя все дружественные пары до 10 000 являются четными парами, доля нечетных дружественных пар неуклонно увеличивается по мере увеличения чисел, и, предположительно, их больше, чем четных дружественных пар (A360054 в OEIS).

Существуют гауссовские дружественные пары. ^[14]

Обобщения

Дружественные кортежи

Дружественные числа удовлетворяют и которые можно записать вместе как . Это можно обобщить на более крупные кортежи, скажем , где нам требуется $(м,н)$ $\сигма (м)-м=n$ $\сигма (n)-n=m$ $\сигма (м)=\сигма (н)=м+н$ $(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k})$

\сигма (n_{1})=\сигма (n_{2})=\точки =\сигма (n_{k})=n_{1}+n_{2}+\точки +n_{k}

Например, (1980, 2016, 2556) — это дружественная тройка (последовательность A125490 в OEIS ), а (3270960, 3361680, 3461040, 3834000) — это дружественная четверка (последовательность A036471 в OEIS ).

Дружественные мультимножества определяются аналогично и немного обобщают это (последовательность A259307 в OEIS ).

Общительные числа

Общительные числа — это числа в циклических списках чисел (длиной больше 2), где каждое число является суммой собственных делителей предыдущего числа. Например, — это общительные числа порядка 4. $1264460\mapsto 1547860\mapsto 1727636\mapsto 1305184\mapsto 1264460\mapsto \dots$

Поиск общительных номеров

Аликвотную последовательность можно представить в виде направленного графа , , для заданного целого числа , где обозначает сумму собственных делителей . ^[15]Циклы в представляют общительные числа в интервале . Двумя особыми случаями являются циклы, представляющие совершенные числа , и циклы длины два, представляющие дружественные пары . $G_{н,с}$ $n$ $s(k)$ $к$ $G_{н,с}$ $[1,n]$

Упоминания в популярной культуре

Дружественные числа фигурируют в романе Ёко Огавы «Экономка и профессор» , а также в японском фильме, снятом по нему.
Сборник рассказов Пола Остера под названием «Правдивые истории американской жизни » содержит рассказ («Математический афродизиак» Алекса Галта), в котором важную роль играют дружественные числа.
Дружественные числа кратко упоминаются в романе Реджинальда Хилла «Чужой дом» .
Дружественные числа упоминаются во французском романе Дени Геджа « Теорема попугая» .
Дружественные числа упоминаются в JRPG Persona 4 Golden .
Дружественные числа представлены в визуальной новелле Rewrite .
Дружественные числа (220, 284) упоминаются в 13-й серии корейской дорамы 2017 года «Анданте» .
Дружественные числа используются в греческом фильме «Другой я» (фильм 2016 года) .
Дружественные числа обсуждаются в книге Брайана Клегга «Реальны ли числа?» .
Дружественные числа упоминаются в романе Колума Макканна «Апейрогон», опубликованном в 2020 году .

Смотрите также

Обрученные числа (квазидружественные числа)
Дружественная тройка — трехзначная вариация дружественных чисел.

Примечания

^ Костелло, Патрик (1 мая 2002 г.). «Новые дружеские пары типа (2; 2) и типа (3; 2)» (PDF) . Математика вычислений . 72 (241): 489–497. doi :10.1090/S0025-5718-02-01414-X. Архивировано (PDF) из оригинала 29-02-2008 . Получено 19 апреля 2007 г. .
^ ab Sandifer, C. Edward (2007). Как это сделал Эйлер . Математическая ассоциация Америки . стр. 49–55. ISBN 978-0-88385-563-8.
↑ Спруньоли, Ренцо (27 сентября 2005 г.). «Introduzione alla matematica: La matematica della scuola media» (PDF) (на итальянском языке). Universita degli Studi di Firenze: Dipartimento di Sistemi e Informatica. п. 59. Архивировано из оригинала (PDF) 13 сентября 2012 года . Проверено 21 августа 2012 г.
^ Мартин Гарднер (2020) [Первоначально опубликовано в 1977]. Математическое магическое шоу. Американское математическое общество . стр. 168. ISBN 9781470463588. Архивировано из оригинала 2023-09-12 . Получено 2023-03-18 .
^ Черных, Сергей. «Список дружеских пар» . Проверено 28 мая 2024 г.
^ ab Rashed, Roshdi (1994). Развитие арабской математики: между арифметикой и алгеброй . Т. 156. Дордрехт, Бостон, Лондон: Kluwer Academic Publishers. стр. 278,279. ISBN 978-0-7923-2565-9.
^ Смотрите Уильяма Данхэма в видео: Вечер с Леонардом Эйлером – YouTube Архивировано 16 мая 2016 г. на Wayback Machine
^ "Amicable pairs news". Архивировано из оригинала 2021-07-18 . Получено 2016-01-31 .
^ Хагис, Питер, младший (1969). «О относительно простых нечетных дружественных числах». Математика вычислений . 23 (107): 539–543. doi :10.2307/2004381. JSTOR 2004381. MR 0246816.{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Хагис, Питер, младший (1970). «Нижние оценки для относительно простых дружественных чисел противоположной четности». Математика вычислений . 24 (112): 963–968. doi :10.2307/2004629. JSTOR 2004629. MR 0276167.{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Эрдёш, Пол (2022). «О дружественных числах» (PDF) . Publicationes Mathematicae Debrecen . 4 (1–2): 108–111. doi :10.5486/PMD.1955.4.1-2.16. S2CID 253787916. Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-09.
^ Гарднер, Мартин (1968). «Математические игры». Scientific American . 218 (3): 121–127. Bibcode : 1968SciAm.218c.121G. doi : 10.1038/scientificamerican0368-121. ISSN 0036-8733. JSTOR 24926005. Архивировано из оригинала 25.09.2022 . Получено 07.09.2020 .
^ Ли, Элвин (1969). «О делимости на девять сумм четных дружественных пар». Математика вычислений . 23 (107): 545–548. doi : 10.2307/2004382 . ISSN 0025-5718. JSTOR 2004382.
^ Патрик Костелло, Рэнтони AC Эдмондс. «Гауссовские дружеские пары». Missouri Journal of Mathematical Sciences, 30(2) 107-116 ноября 2018 г.
^ Роча, Родриго Каэтано; Татте, Бхалчандра (2015), Обнаружение распределенных циклов в крупномасштабных разреженных графах , Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional (SBPO), doi : 10.13140/RG.2.1.1233.8640

Ссылки

В Wikisource есть текст статьи « Дружественные числа » из Британской энциклопедии 1911 года .

В этой статье использован текст из публикации, которая сейчас находится в общественном достоянии : Чизхолм, Хью , ред. (1911). «Дружественные числа». Encyclopaedia Britannica (11-е изд.). Cambridge University Press.
Шандор, Йожеф; Крстичи, Борислав (2004). Справочник по теории чисел II . Дордрехт: Клювер Академик. стр. 32–36. ISBN 978-1-4020-2546-4. Збл 1079.11001.
Уэллс, Д. (1987). Словарь любопытных и интересных чисел Penguin . Лондон: Penguin Group . С. 145–147.
Вайсштейн, Эрик В. «Дружелюбная пара». MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. «Правило Сабита ибн Курры». Математический мир .
Вайсштейн, Эрик В. «Правило Эйлера». MathWorld .

Внешние ссылки

М. Гарсиа; Дж. М. Педерсен; HJJ те Риле (31 июля 2003 г.). «Дружественные пары, опрос» (PDF) . Отчет MAS-R0307 .
Грайм, Джеймс. "220 и 284 (дружелюбные числа)". Numberphile . Брэди Харан . Архивировано из оригинала 2017-07-16 . Получено 2013-04-02 .
Грайм, Джеймс. "MegaFavNumbers - The Even Amicable Numbers Conjecture". YouTube . Архивировано из оригинала 2021-11-23 . Получено 2020-06-09 .
Куцуку-Аргираки, Ангелики (4 августа 2020 г.). «Дружественные числа (Формальное доказательство развития в Isabelle/HOL, Архив формальных доказательств)».
Черных, Сергей. «Список дружеских пар» . Проверено 10 сентября 2023 г.(база данных всех известных дружественных чисел)