В математике существует обширный запас категорических дуальностей между определенными категориями топологических пространств и категориями частично упорядоченных множеств . Сегодня эти дуальности обычно объединяются под названием двойственность Стоуна , поскольку они образуют естественное обобщение теоремы Стоуна о представлении для булевых алгебр . Эти концепции названы в честь Маршалла Стоуна . Двойственности типа Стоуна также обеспечивают основу для бесточечной топологии и используются в теоретической информатике для изучения формальной семантики .
В этой статье приводятся указания на особые случаи двойственности Стоуна и подробно объясняется ее весьма общий пример.
Вероятно, наиболее общая дуальность, которая классически упоминается как «дуальность Стоуна», — это дуальность между категорией Sob трезвых пространств с непрерывными функциями и категорией SFrm пространственных фреймов с соответствующими гомоморфизмами фреймов. Дуальная категория SFrm — это категория пространственных локалей , обозначаемая SLoc . Категорическая эквивалентность Sob и SLoc является основой для математической области бесточечной топологии , которая посвящена изучению Loc — категории всех локалей, полной подкатегорией которой является SLoc . Вовлеченные конструкции характерны для этого вида дуальности и подробно описаны ниже.
Теперь можно легко получить ряд других дуальностей, ограничившись некоторыми специальными классами трезвых пространств:
К этим основным дуальностям можно добавить множество других дуальностей типа Стоуна.
Отправной точкой теории является тот факт, что каждое топологическое пространство характеризуется множеством точек X и системой Ω( X ) открытых множеств элементов из X , т.е. подмножеством powerset X . Известно, что Ω( X ) обладает некоторыми специальными свойствами: это полная решетка , в которой супремумы и конечные инфимумы задаются объединениями множеств и пересечениями конечных множеств соответственно. Более того, она содержит как X , так и пустое множество . Поскольку вложение Ω( X ) в решетку powerset X сохраняет конечные инфимумы и произвольные супремумы, Ω( X ) наследует следующий закон дистрибутивности:
для каждого элемента (открытого множества) x и каждого подмножества S из Ω( X ). Следовательно, Ω( X ) — это не произвольная полная решетка, а полная алгебра Гейтинга (также называемая фреймом или локалью — различные названия в основном используются для различения нескольких категорий, имеющих один и тот же класс объектов, но разные морфизмы: морфизмы фреймов, морфизмы локалей и гомоморфизмы полных алгебр Гейтинга). Теперь возникает очевидный вопрос: в какой степени топологическое пространство характеризуется своей локалью открытых множеств?
Как уже намекалось выше, можно пойти еще дальше. Категория Top топологических пространств имеет в качестве морфизмов непрерывные функции, где функция f непрерывна, если прообраз f −1 ( O ) любого открытого множества в области определения f открыт в области определения f . Таким образом, любая непрерывная функция f из пространства X в пространство Y определяет обратное отображение f −1 из Ω( Y ) в Ω( X ). Более того, легко проверить, что f −1 (как и любое отображение обратного образа) сохраняет конечные пересечения и произвольные объединения и, следовательно, является морфизмом фреймов . Если мы определим Ω( f ) = f −1 , то Ω становится контравариантным функтором из категории Top в категорию Frm фреймов и морфизмов фреймов. Используя инструменты теории категорий, задача нахождения характеристики топологических пространств в терминах их решеток открытых множеств эквивалентна нахождению функтора из Frm в Top , сопряженного к Ω.
Целью этого раздела является определение функтора pt из Frm в Top , который в определенном смысле «инвертирует» операцию Ω, назначая каждой локали L множество точек pt( L ) (отсюда обозначение pt) с подходящей топологией. Но как мы можем восстановить множество точек только из локали, хотя она не задана как решетка множеств? Определенно, что в общем случае нельзя ожидать, что pt может воспроизвести все исходные элементы топологического пространства только из его решетки открытых множеств – например, все множества с недискретной топологией дают (с точностью до изоморфизма) одну и ту же локаль, так что информация о конкретном множестве больше не присутствует. Однако все еще существует разумный метод получения «точек» из локали, который действительно дает пример центральной конструкции для теорем двойственности типа Стоуна.
Давайте сначала рассмотрим точки топологического пространства X. Обычно возникает соблазн рассматривать точку X как элемент x множества X , но на самом деле существует более полезное описание для нашего текущего исследования. Любая точка x порождает непрерывную функцию p x из одноэлементного топологического пространства 1 (все подмножества которого открыты) в пространство X , определяя p x (1) = x . Наоборот, любая функция от 1 до X четко определяет одну точку : элемент, на который она «указывает». Следовательно, множество точек топологического пространства эквивалентно характеризуется как множество функций от 1 до X.
При использовании функтора Ω для перехода от Top к Frm все теоретико-множественные элементы пространства теряются, но – используя фундаментальную идею теории категорий – можно также работать с функциональными пространствами . Действительно, любая «точка» p x : 1 → X в Top отображается в морфизм Ω( p x ): Ω( X ) → Ω(1). Открытая решетка множеств топологического пространства Ω(1) с одним элементом является просто (изоморфной) двухэлементной локализацией 2 = {0, 1}, где 0 < 1. После этих наблюдений кажется разумным определить множество точек локализации L как множество морфизмов фреймов из L в 2. Тем не менее, нет никакой гарантии, что каждая точка локализации Ω( X ) находится во взаимно однозначном соответствии с точкой топологического пространства X (рассмотрим снова недискретную топологию, для которой открытая решетка множеств имеет только одну «точку»).
Прежде чем определять требуемую топологию на pt( X ), стоит подробнее прояснить понятие точки локали. Мотивированная выше перспектива предполагает рассматривать точку локали L как морфизм фрейма p из L в 2. Но эти морфизмы эквивалентно характеризуются обратными образами двух элементов 2. Из свойств морфизмов фреймов можно вывести, что p −1 (0) является нижним множеством (поскольку p монотонно ), которое содержит наибольший элемент a p = V p −1 (0) (поскольку p сохраняет произвольные супремумы). Кроме того, главный идеал p −1 (0) является простым идеалом , поскольку p сохраняет конечную инфимуму, и, таким образом, главный a p является элементом meet-prime . Теперь множество, обратное к p −1 (0), заданное p −1 (1), является полностью простым фильтром , поскольку p −1 (0) является главным простым идеалом . Оказывается, все эти описания однозначно определяют исходный морфизм фрейма. Подведем итог:
Все эти описания имеют свое место в теории, и между ними удобно переключаться по мере необходимости.
Теперь, когда набор точек доступен для любой локали, остается оснастить этот набор соответствующей топологией, чтобы определить объектную часть функтора pt. Это делается путем определения открытых множеств pt( L ) как
для каждого элемента a из L . Здесь мы рассматривали точки L как морфизмы, но, конечно, можно сформулировать аналогичное определение для всех других эквивалентных характеризаций. Можно показать, что установка Ω(pt( L )) = {φ( a ) | a ∈ L } действительно дает топологическое пространство (pt( L ), Ω(pt( L ))). Это пространство принято сокращать до pt( L ).
Наконец, pt можно определить на морфизмах Frm довольно канонически, определив для морфизма фрейма g из L в M , pt( g ): pt( M ) → pt( L ) как pt( g )( p ) = p o g . Другими словами, мы получаем морфизм из L в 2 (точку из L ), применяя морфизм g для перехода из L в M перед применением морфизма p , который отображает из M в 2. Опять же, это можно формализовать, используя и другие описания точек локали — например, просто вычислить ( p o g ) −1 (0).
Как уже отмечалось несколько раз, pt и Ω обычно не являются обратными. В общем случае ни X не гомеоморфен pt(Ω( X )), ни L не изоморфен по порядку Ω(pt( L )). Однако при введении топологии pt( L ) выше было применено отображение φ из L в Ω(pt( L )). Это отображение действительно является морфизмом фрейма. Наоборот, мы можем определить непрерывную функцию ψ из X в pt(Ω( X )), установив ψ( x ) = Ω( p x ), где p x — это просто характеристическая функция для точки x от 1 до X , как описано выше. Другое удобное описание дается путем рассмотрения точек локали как элементов meet-prime. В этом случае мы имеем ψ( x ) = X \ Cl{ x }, где Cl{ x } обозначает топологическое замыкание множества { x }, а \ — это просто разность множеств.
На данный момент у нас уже более чем достаточно данных для получения желаемого результата: функторы Ω и pt определяют сопряжение между категориями Top и Loc = Frm op , где pt является правым сопряженным к Ω, а естественные преобразования ψ и φ op обеспечивают требуемые единицу и коединицу соответственно.
Вышеуказанное присоединение не является эквивалентностью категорий Top и Loc (или, что то же самое, дуальностью Top и Frm ). Для этого необходимо, чтобы и ψ, и φ были изоморфизмами в своих соответствующих категориях.
Для пространства X , ψ: X → pt(Ω( X )) является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда он является биекцией . Используя характеристику через meet-prime элементы решетки открытых множеств, можно увидеть, что это имеет место тогда и только тогда, когда каждое meet-prime открытое множество имеет вид X \ Cl{ x } для уникального x . В качестве альтернативы, каждое join-prime замкнутое множество является замыканием уникальной точки, где "join-prime" можно заменить на (join-) unreducible, поскольку мы находимся в дистрибутивной решетке. Пространства с этим свойством называются sober .
Наоборот, для локали L , φ: L → Ω(pt( L )) всегда сюръективно. Оно дополнительно инъективно тогда и только тогда, когда любые два элемента a и b из L, для которых a не меньше или равно b, могут быть разделены точками локали, формально:
Если это условие выполняется для всех элементов локали, то локаль является пространственной или, как говорят, имеет достаточно точек. (См. также категорию well-pointed для похожего условия в более общих категориях.)
Наконец, можно проверить, что для каждого пространства X , Ω( X ) является пространственным, а для каждой локали L , pt( L ) является трезвым. Отсюда следует, что указанное выше присоединение Top и Loc ограничивается эквивалентностью полных подкатегорий Sob трезвых пространств и SLoc пространственных локалей. Этот основной результат завершается наблюдением, что для функтора pt o Ω, отправляющий каждое пространство в точки его открытой решетки множеств, является левым сопряженным функтору включения из Sob в Top . Для пространства X , pt(Ω( X )) называется его трезвостью . Случай функтора Ω o pt симметричен, но специальное название для этой операции обычно не используется.
