Двойственность Монтонена–Олива

Сильная-слабая дуальность в суперсимметричных теориях теоретической физики

Дуальность Монтонена–Олива или электрическо–магнитная дуальность является старейшим известным примером сильно–слабой дуальности ^{[примечание 1]} или S-дуальности согласно современной терминологии. ^{[примечание 2]} Она обобщает электромагнитную симметрию уравнений Максвелла , утверждая, что магнитные монополи , которые обычно рассматриваются как возникающие квазичастицы, которые являются «составными» (т. е. они являются солитонами или топологическими дефектами ), на самом деле могут рассматриваться как «элементарные» квантованные частицы с электронами, играющими обратную роль «составных» топологических солитонов ; точки зрения эквивалентны, и ситуация зависит от дуальности. Позднее было доказано, что это справедливо при работе с N = 4 суперсимметричной теорией Янга–Миллса ^{[ требуется ссылка ]} . Она названа в честь финского физика Клауса Монтонена и британского физика Дэвида Олива после того, как они предложили эту идею в своей академической статье Магнитные монополи как калибровочные частицы?, где они утверждают:

Должны быть две «дуально эквивалентные» полевые формулировки одной и той же теории, в которых электрические (Нётер) и магнитные (топологические) квантовые числа обмениваются ролями.

-  Монтонен и Олив (1977), с. 117

S-дуальность теперь является основным ингредиентом в топологических квантовых теориях поля и теориях струн , особенно с 1990-х годов с появлением второй суперструнной революции . Эта дуальность теперь является одной из нескольких в теории струн, соответствие AdS/CFT , которое приводит к голографическому принципу , ^{[примечание 3]} рассматривается как один из самых важных. Эти дуальности сыграли важную роль в физике конденсированного состояния , от предсказания дробных зарядов электрона до открытия магнитного монополя .

Электромагнитная дуальность

Идея о близком сходстве между электричеством и магнетизмом, восходящая ко временам Андре-Мари Ампера и Майкла Фарадея , впервые была конкретизирована Джеймсом Клерком Максвеллом с формулировкой его знаменитых уравнений для единой теории электрических и магнитных полей:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=\rho \quad &\nabla \times \mathbf {E} +{\dot {\mathbf {B} }}&=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\quad &\nabla \times \mathbf {B} -{\dot {\mathbf {E} }}&=\mathbf {j} .\end{aligned}}}$

Симметрия между и в этих уравнениях поразительна. Если игнорировать источники или добавить магнитные источники, уравнения инвариантны относительно и . ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} \rightarrow \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} \rightarrow -\mathbf {E} }$

Почему должна быть такая симметрия между и ? В 1931 году Поль Дирак ^[4] изучал квантовую механику электрического заряда, движущегося в магнитном монопольном поле, и обнаружил, что может последовательно определить волновую функцию только в том случае, если электрический заряд и магнитный заряд удовлетворяют условию квантования: ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}eq=2\pi \hbar n\quad \quad &n=0,\pm 1,\pm 2...\\\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что из вышесказанного, если где-либо существует только один монополь некоторого заряда, то все электрические заряды должны быть кратны единице . Это «объяснило бы», почему величина заряда электрона и заряда протона должны быть в точности равны и одинаковы, независимо от того, какой электрон или протон мы рассматриваем, ^{[примечание 4]} факт, как известно, справедливый до одной части из 10 ²¹ . ^[5] Это привело Дирака к утверждению: ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 2\pi \hbar /q}$

Интерес теории магнитных полюсов заключается в том, что она образует естественное обобщение обычной электродинамики и приводит к квантованию электричества. [...] Квантование электричества является одной из самых фундаментальных и поразительных особенностей атомной физики, и, по-видимому, для нее нет объяснения, кроме теории полюсов. Это дает некоторые основания верить в существование этих полюсов.

—  Дирак (1948), стр. 817

Направление исследований магнитных монополей сделало шаг вперед в 1974 году, когда Джерард 'т Хоофт ^[6] и Александр Маркович Поляков ^[7] независимо друг от друга сконструировали монополи не как квантованные точечные частицы, а как солитоны в системе Янга–Миллса–Хиггса ; ранее магнитные монополи всегда включали точечную сингулярность. ^[5] Тема была мотивирована вихрями Нильсена–Олесена . ^[8] ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$

При слабой связи электрически и магнитно заряженные объекты выглядят совершенно по-разному: один — это точечная частица электрона, которая слабо связана, а другой — монопольный солитон, который сильно связан . Магнитная постоянная тонкой структуры примерно обратна обычной: ${\displaystyle \alpha _{m}q^{2}/4\pi \hbar =n^{2}/4\alpha }$

В 1977 году Клаус Монтонен и Дэвид Олив ^[9] предположили, что при сильной связи ситуация будет обратной: электрически заряженные объекты будут сильно связаны и иметь несингулярные ядра, в то время как магнитно заряженные объекты станут слабо связанными и точечными. Сильно связанная теория будет эквивалентна слабо связанной теории, в которой основные кванты несли магнитные, а не электрические заряды. В последующей работе эта гипотеза была уточнена Эдом Виттеном и Дэвидом Олив ^[10], они показали, что в суперсимметричном расширении модели Джорджи–Глэшоу , суперсимметричной версии (N — число сохраняющихся суперсимметрий), не было никаких квантовых поправок к классическому спектру масс, и можно было получить расчет точных масс. Проблема, связанная с единичным спином монополя, осталась и для этого случая, но вскоре ее решение было получено для случая суперсимметрии: Хью Осборн ^[11] смог показать, что при наложении спонтанного нарушения симметрии в суперсимметричной калибровочной теории с N = 4 спины топологических монопольных состояний идентичны спинам массивных калибровочных частиц. ${\displaystyle N=2}$ ${\displaystyle N=2}$ ${\displaystyle N=4}$

Двойная гравитация

В 1979–1980 годах дуальность Монтонена–Олива мотивировала разработку смешанного симметричного поля Куртрайта с высшим спином . ^[12] Для случая спина 2 динамика калибровочного преобразования поля Куртрайта дуальна гравитону в пространстве-времени D>4. Между тем, поле спина 0, разработанное Куртрайтом – Фройндом , [ ^{13] [14]} дуально полю Фройнда – Намбу , ^[15], которое связано со следом его тензора энергии-импульса.

Безмассовая линеаризованная дуальная гравитация была теоретически реализована в 2000-х годах для широкого класса калибровочных полей высших спинов , особенно тех, которые связаны с , и супергравитацией. ^{[16] [17] [18] [19]} ${\displaystyle \mathrm {SO} (8)}$ ${\displaystyle E_{7}}$ ${\displaystyle E_{11}}$

Массивная дуальная гравитация со спином 2, в низшем порядке, в D = 4 ^[20] и N - D ^[21] недавно была введена как теория, дуальная массивной гравитации теории Огиевецкого–Полубаринова. ^[22] Дуальное поле связано с ротором тензора энергии-импульса.

Математический формализм

В четырехмерной теории Янга–Миллса с суперсимметрией N = 4 , которая является случаем, когда применяется дуальность Монтонена–Олива, можно получить физически эквивалентную теорию, если заменить константу калибровочной связи g на 1/ g . Это также включает в себя взаимообмен электрически заряженных частиц и магнитных монополей . См. также дуальность Зайберга .

На самом деле существует большая симметрия SL(2, Z ) , где как g , так и угол тета преобразуются нетривиальным образом.

Калибровочную связь и тета-угол можно объединить в одну комплексную связь.

${\displaystyle \tau ={\frac {\theta }{2\pi }}+{\frac {4\pi i}{g^{2}}}.}$

Поскольку угол тета является периодическим, то существует симметрия

${\displaystyle \tau \mapsto \tau +1.}$

Квантово-механическая теория с калибровочной группой G (но не классическая теория, за исключением случая, когда G абелева ) также инвариантна относительно симметрии

${\displaystyle \tau \mapsto {\frac {-1}{n_{G}\tau }}}$

в то время как калибровочная группа G одновременно заменяется ее дуальной группой Ленглендса ^L G и является целым числом в зависимости от выбора калибровочной группы. В случае, если угол тета равен 0, это сводится к простой форме дуальности Монтонена–Олива, указанной выше. ${\displaystyle n_{G}}$

Философские импликации

Дуальность Монтонена–Олива ставит под сомнение идею о том, что мы можем получить полную теорию физики, сводя вещи к их «фундаментальным» частям. Философия редукционизма утверждает , что если мы понимаем «фундаментальные» или «элементарные» части системы, то мы можем вывести все свойства системы в целом. Дуальность утверждает, что не существует физически измеримого свойства, которое может вывести, что является фундаментальным, а что нет, понятие того, что является элементарным, а что составным, является просто относительным, выступая в качестве своего рода калибровочной симметрии. ^{[примечание 5]} Это, по-видимому, благоприятствует взгляду эмерджентизма , поскольку и заряд Нётер (частица), и топологический заряд (солитон) имеют одну и ту же онтологию. Несколько известных физиков подчеркнули последствия дуальности:

При отображении дуальности часто элементарная частица в одной теории струн отображается в составную частицу в дуальной теории струн и наоборот. Таким образом, классификация частиц на элементарные и составные теряет смысл, поскольку зависит от того, какую конкретную теорию мы используем для описания системы.

—  Сен (2001), стр. 3

Я мог бы продолжать и продолжать, увлекая вас в путешествие по пространству теорий струн и показывая, как все изменчиво, и ничто не является более элементарным, чем что-либо еще. Лично я бы поспорил, что такого рода антиредукционистское поведение справедливо в любом последовательном синтезе квантовой механики и гравитации.

—  Сасскинд (2011), стр. 178

Первый вывод заключается в том, что объяснение Дирака квантования заряда триумфально оправдано. На первый взгляд казалось, что идея объединения дает альтернативное объяснение, избегая монополей, но это было иллюзорно, поскольку магнитные монополи действительно скрывались в теории, замаскированные под солитоны. Это поднимает важный концептуальный вопрос. Магнитный монополь здесь рассматривался как настоящая частица, хотя он возник как солитон, а именно как решение классических уравнений движения. Поэтому он, по-видимому, имеет другой статус, чем «планковские частицы», рассмотренные до сих пор и обсуждавшиеся в начале лекции. Они возникли как квантовые возбуждения исходных полей начальной формулировки теории, продукты процедур квантования, примененных к этим динамическим переменным (полям).

—  Олив (2001), стр. 5

Однако этот аргумент не имеет большого значения для реальности теории струн в целом, и, возможно, лучшая перспектива могла бы заключаться в поисках следствий соответствия AdS/CFT и таких глубоких математических связей, как Monstrous moonshine . Поскольку экспериментально проверенные доказательства не имеют ничего общего с ландшафтом теории струн ; где философски антропный принцип является самым сильным самооправданием для любой недоказуемой теории.

Примечания

1. Или слабая–сильная дуальность, оба термина верны. ^[1]
2. Термин S-дуальность начал использоваться в первых предложениях по расширению гипотезы сильной/слабой дуальности со случая суперсимметричных четырехмерных теорий Янга–Миллса на контекст теории суперструн, впервые использованный Фонтом и др. (1990). ^[2] По словам Джеффри Харви, название является «исторической случайностью»: ^[3] оно было введено из практических соображений для обозначения дискретной группы симметрии SL(2,  Z ) десятимерной гетеротической теории струн, компактифицированной до четырех измерений. Более подробную информацию можно найти, например, в Schwarz (1997), стр. 3. ^[1]
3. Соответствие AdS/CFT , как и дуальность Монтонена–Олива, также справедливо в N = 4 суперсимметричной теории Янга–Миллса и было предложено в 1997 году Хуаном Малдасеной .
4. Дирак (1931) рассмотрел случай электрически заряженной частицы, движущейся в фиксированном магнитном монопольном поле. Дирак (1948) представляет собой более общий анализ релятивистской классической и квантовой динамики системы движущихся и взаимодействующих магнитных монополей и электрических зарядов.
5. См., например, Риклз (2015) и Кастеллани (2016).

Ссылки

1. Castellani 2016, стр. 1.
2. Шварц 1997, стр. 3.
3. Харви 1996, стр. 30.
4. Дирак 1931.
5. Polchinski 1996, стр. 12.
6. 'т Хоофт 1974.
7. Поляков 1974.
8. Nielsen, HB; Olesen, P. (сентябрь 1973 г.). «Модели вихревых линий для двойных струн». Nuclear Physics B. 61 : 45–61. Bibcode : 1973NuPhB..61...45N. doi : 10.1016/0550-3213(73)90350-7.
9. Монтонен и Олив 1977.
10. Виттен и Олив 1978.
11. Осборн 1979.
12. Куртрайт, Томас (декабрь 1985 г.). «Обобщенные калибровочные поля». Physics Letters B. 165 ( 4–6): 304–308. Bibcode :1985PhLB..165..304C. doi :10.1016/0370-2693(85)91235-3.
13. Curtright, Thomas L.; Freund, Peter GO (январь 1980). "Massive dual fields". Nuclear Physics B. 172 : 413–424. Bibcode :1980NuPhB.172..413C. doi :10.1016/0550-3213(80)90174-1.
14. Куртрайт, Томас Л. (ноябрь 2019 г.). «Повторное рассмотрение массивных дуальных бесспиновых полей». Nuclear Physics B . 948 : 114784. arXiv : 1907.11530 . Bibcode : 2019NuPhB.94814784C. doi : 10.1016/j.nuclphysb.2019.114784 .
15. Фройнд, Питер ГО; Намбу, Ёитиро (1968-10-25). «Скалярные поля, связанные со следом тензора энергии-импульса». Physical Review . 174 (5): 1741–1743. Bibcode :1968PhRv..174.1741F. doi :10.1103/PhysRev.174.1741. ISSN  0031-899X.
16. Халл, Кристофер М (2001-09-24). "Дуальность в гравитации и калибровочных полях с более высоким спином". Журнал физики высоких энергий . 2001 (9): 027. arXiv : hep-th/0107149 . Bibcode :2001JHEP...09..027H. doi :10.1088/1126-6708/2001/09/027. ISSN  1029-8479. S2CID  9901270.
17. Бекарт, Ксавье; Буланже, Николя; Энно, Марк (2003-02-26). "Последовательные деформации дуальных формулировок линеаризованной гравитации: результат без результата". Physical Review D. 67 ( 4): 044010. arXiv : hep-th/0210278 . Bibcode : 2003PhRvD..67d4010B. doi : 10.1103/PhysRevD.67.044010. ISSN  0556-2821. S2CID  14739195.
18. Уэст, Питер (февраль 2012 г.). «Обобщенная геометрия, одиннадцать измерений и E11». Журнал физики высоких энергий . 2012 (2): 18. arXiv : 1111.1642 . Bibcode : 2012JHEP...02..018W. doi : 10.1007/JHEP02(2012)018. ISSN  1029-8479. S2CID  119240022.
19. Годазгар, Хади; Годазгар, Махди; Николай, Герман (февраль 2014 г.). «Обобщенная геометрия с нуля». Журнал физики высоких энергий . 2014 (2): 75. arXiv : 1307.8295 . Bibcode : 2014JHEP...02..075G. doi : 10.1007/JHEP02(2014)075. ISSN  1029-8479. S2CID  53538737.
20. Curtright, TL; Alshal, H. (ноябрь 2019 г.). "Massive dual spin 2 revisited". Nuclear Physics B . 948 : 114777. arXiv : 1907.11532 . Bibcode : 2019NuPhB.94814777C. doi : 10.1016/j.nuclphysb.2019.114777 .
21. Alshal, H.; Curtright, TL (сентябрь 2019 г.). «Массивная двойная гравитация в N измерениях пространства-времени». Journal of High Energy Physics . 2019 (9): 63. arXiv : 1907.11537 . Bibcode : 2019JHEP...09..063A. doi : 10.1007/JHEP09(2019)063. ISSN  1029-8479. S2CID  198953238.
22. Огиевецкий, VI; Полубаринов, IV (ноябрь 1965). «Взаимодействующее поле спина 2 и уравнения Эйнштейна». Annals of Physics . 35 (2): 167–208. Bibcode :1965AnPhy..35..167O. doi :10.1016/0003-4916(65)90077-1.

Дальнейшее чтение

Научные статьи

• Кастеллани, Э. (2016). «Двойственность и „частичная“ демократия» (PDF) . Исследования по истории и философии науки Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 59 : 100–108. Bibcode :2017SHPMP..59..100C. doi :10.1016/j.shpsb.2016.03.002. ISSN  1355-2198.
• Дирак, П. А. М. (1931). «Квантованные сингулярности в электромагнитном поле». Труды Королевского общества A: Математические, физические и инженерные науки . 133 (821): 60–72. Bibcode : 1931RSPSA.133...60D. doi : 10.1098/rspa.1931.0130. ISSN  1364-5021.
• Дирак, ПАМ (1948). «Теория магнитных полюсов». Physical Review . 74 (7): 817–830. Bibcode : 1948PhRv...74..817D. doi : 10.1103/PhysRev.74.817. ISSN  0031-899X.
• Duff, MJ ; Khuri, Ramzi R.; Lu, JX (1995). "Струнные солитоны". Physics Reports . 259 (4–5): 213–326. arXiv : hep-th/9412184 . Bibcode :1995PhR...259..213D. doi :10.1016/0370-1573(95)00002-X. ISSN  0370-1573. S2CID  119524337.
• Font, A.; Ibáñez, LE; Lüst, D.; Quevedo, F. (1990). «Дуальность сильно-слабой связи и непертурбативные эффекты в теории струн». Physics Letters B. 249 ( 1): 35–43. Bibcode : 1990PhLB..249...35F. doi : 10.1016/0370-2693(90)90523-9. ISSN  0370-2693.
• Goddard, P. ; Nuyts, J.; Olive, DI (1977). "Калибровочные теории и магнитный заряд" (PDF) . Nuclear Physics B . 125 (1): 1–28. Bibcode :1977NuPhB.125....1G. doi :10.1016/0550-3213(77)90221-8. ISSN  0550-3213.
• Goddard, P ; Olive, DI (1978). «Магнитные монополи в теориях калибровочного поля». Reports on Progress in Physics . 41 (9): 1357–1437. Bibcode :1978RPPh...41.1357G. doi :10.1088/0034-4885/41/9/001. ISSN  0034-4885.
• Harvey, JA (1996). "Магнитные монополи, дуальность и суперсимметрия". High Energy Physics and Cosmology . 12 : 66. arXiv : hep-th/9603086 . Bibcode :1997hepcbconf...66H.
• Капустин, А.; Виттен , Э. (2006). «Электромагнитная дуальность и геометрическая программа Ленглендса». Сообщения по теории чисел и физике . 1 : 1–236. arXiv : hep-th/0604151 . Bibcode : 2007CNTP....1....1K. doi : 10.4310/CNTP.2007.v1.n1.a1. S2CID  30505126.
• Монтонен, К.; Олив , Д.И. (1977). «Магнитные монополи как калибровочные частицы?» (PDF) . Physics Letters B. 72 ( 1): 117–120. Bibcode : 1977PhLB...72..117M. doi : 10.1016/0370-2693(77)90076-4. ISSN  0370-2693.
• Nielsen, HB ; Olesen, P. (1973). "Модели вихревых линий для двойных струн". Nuclear Physics B . 61 : 45–61. Bibcode :1973NuPhB..61...45N. doi :10.1016/0550-3213(73)90350-7. ISSN  0550-3213.
• Olive, DI (2001). "Квантование зарядов". Лекция на симпозиуме "Сто лет H", Павия 2000. arXiv : hep -th/0104063 . Bibcode :2001hep.th....4063O.
• Osborn, H. (1979). "Топологические заряды для N = 4 суперсимметричных калибровочных теорий и монополи спина 1". Physics Letters B . 83 (3–4): 321–326. Bibcode :1979PhLB...83..321O. doi :10.1016/0370-2693(79)91118-3. ISSN  0370-2693.
• Polchinski, J. (1996). "Двойственность струн". Reviews of Modern Physics . 68 (4): 1245–1258. arXiv : hep-th/9607050 . Bibcode :1996RvMP...68.1245P. doi :10.1103/RevModPhys.68.1245. ISSN  0034-6861. S2CID  14147542.
• Поляков, AM (1974). "Спектр частиц в квантовой теории поля" (PDF) . Письма в ЖЭТФ . 20 (6): 194–195. Bibcode :1974JETPL..20..194P. ISSN  0370-274X.
• Rehn, J.; Moessner, R. (2016). "Максвелловский электромагнетизм как возникающее явление в конденсированном веществе". Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 374 (2075): 20160093. arXiv : 1605.05874 . Bibcode : 2016RSPTA.37460093R. doi : 10.1098/rsta.2016.0093. ISSN  1364-503X. PMID  27458263. S2CID  206159482.
• Риклз, Д. (2015). «Двойственные теории: «Одинаковые, но разные» или «разные, но одинаковые»?» (PDF) . Исследования по истории и философии науки Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 59 : 62–67. Bibcode :2017SHPMP..59...62R. doi :10.1016/j.shpsb.2015.09.005. ISSN  1355-2198.
• Шварц, Дж. Х. (1997). "Лекции о дуальностях суперструн и теории М". Nuclear Physics B - Proceedings Supplements . 55 (2): 1–32. arXiv : hep-th/9607201 . Bibcode :1997NuPhS..55....1S. doi :10.1016/S0920-5632(97)00070-4. ISSN  0920-5632. S2CID  7541625.
• Seiberg, N. ; Witten, E. (1994). "Электромагнитная дуальность, монопольная конденсация и ограничение в N=2 суперсимметричной теории Янга-Миллса". Nuclear Physics B . 426 (1): 19–52. arXiv : hep-th/9407087 . Bibcode :1994NuPhB.426...19S. doi :10.1016/0550-3213(94)90124-4. ISSN  0550-3213. S2CID  14361074.
• Seiberg, N. (1995). "Электромагнитная дуальность в суперсимметричных неабелевых калибровочных теориях". Nuclear Physics B . 435 (1–2): 129–146. arXiv : hep-th/9411149 . Bibcode :1995NuPhB.435..129S. doi :10.1016/0550-3213(94)00023-8. ISSN  0550-3213. S2CID  18466754.
• Сен, А. (2001). "Последние разработки в теории суперструн". Nuclear Physics B - Proceedings Supplements . 94 (1–3): 35–48. arXiv : hep-lat/0011073 . Bibcode :2001NuPhS..94...35S. doi :10.1016/S0920-5632(01)00929-X. ISSN  0920-5632. S2CID  17842520.
• Сасскинд, Л. (2011). «Теория струн». Основы физики . 43 (1): 174–181. Bibcode :2013FoPh...43..174S. doi :10.1007/s10701-011-9620-x. ISSN  0015-9018. S2CID  189843984.
• 'т Хоофт, Г. (1974). "Магнитные монополи в единых калибровочных теориях" (PDF) . Nuclear Physics B . 79 (2): 276–284. Bibcode :1974NuPhB..79..276T. doi :10.1016/0550-3213(74)90486-6. hdl :1874/4686.
• Witten, E. ; Olive, DI (1978). «Алгебры суперсимметрии, включающие топологические заряды». Physics Letters B . 78 (1): 97–101. Bibcode :1978PhLB...78...97W. doi :10.1016/0370-2693(78)90357-X. ISSN  0370-2693.

Книги

• Olive, D.; West, PC (8 июля 1999). Дуальность и суперсимметричные теории. Кембридж, Англия: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-64158-6.