Большой круг

Сферическая геометрия аналог прямой линии

Большой круг g (зеленый) лежит в плоскости, проходящей через центр сферы O (черный). Перпендикулярная линия a (фиолетовый), проходящая через центр, называется осью g , а два ее пересечения со сферой, P и P ' (красный), являются полюсами g . Любой большой круг s (синий) , проходящий через полюса, является вторичным по отношению к g .

Большой круг делит сферу на две равные полусферы.

В математике большой круг или ортодромия — это круговое пересечение сферы и плоскости , проходящей через центр сферы . ^{[1] [2]}

Любая дуга большого круга является геодезической сферы, так что большие круги в сферической геометрии являются естественным аналогом прямых линий в евклидовом пространстве . Для любой пары различных неантиподальных точек на сфере существует единственный большой круг, проходящий через обе. (Каждый большой круг, проходящий через любую точку, также проходит через свою антиподальную точку, поэтому существует бесконечно много больших кругов, проходящих через две антиподальные точки.) Более короткая из двух дуг большого круга между двумя различными точками на сфере называется малой дугой и является кратчайшим поверхностным путем между ними. Длина ее дуги является расстоянием большого круга между точками ( внутренним расстоянием на сфере) и пропорциональна мере центрального угла , образованного двумя точками и центром сферы.

Большой круг — это самый большой круг, который можно нарисовать на любой данной сфере. Любой диаметр любого большого круга совпадает с диаметром сферы, и поэтому каждый большой круг концентричен со сферой и имеет тот же радиус . Любой другой круг сферы называется малым кругом и является пересечением сферы с плоскостью, не проходящей через ее центр. Малые круги — это сферически-геометрический аналог кругов в евклидовом пространстве.

Каждый круг в евклидовом трехмерном пространстве является большим кругом ровно одной сферы.

Диск , ограниченный большим кругом, называется большим диском : это пересечение шара и плоскости, проходящей через его центр. В более высоких измерениях большие круги на n -сфере являются пересечением n -сферы с 2-плоскостями, проходящими через начало координат в евклидовом пространстве R ^{n + 1} .

Вывод кратчайших путей

Чтобы доказать, что малая дуга большого круга является кратчайшим путем, соединяющим две точки на поверхности сферы, можно применить к ней вариационное исчисление .

Рассмотрим класс всех регулярных путей из точки в другую точку . Введем сферические координаты так, чтобы совпадало с северным полюсом. Любая кривая на сфере, которая не пересекает ни один из полюсов, за исключением, возможно, конечных точек, может быть параметризована с помощью ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \theta =\theta (t),\quad \phi =\phi (t),\quad a\leq t\leq b}$

при условии, что разрешено принимать произвольные действительные значения. Бесконечно малая длина дуги в этих координатах равна ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle ds=r{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.}$

Таким образом, длина кривой от до является функционалом кривой, заданным формулой ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle S[\gamma ]=r\int _{a}^{b}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.}$

Согласно уравнению Эйлера–Лагранжа , минимизируется тогда и только тогда, когда ${\displaystyle S[\gamma ]}$

${\displaystyle {\frac {\sin ^{2}\theta \phi '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}=C}$,

где - независимая константа, а ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {\sin \theta \cos \theta \phi '^{2}}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\theta '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}.}$

Из первого уравнения этих двух можно получить, что

${\displaystyle \phi '={\frac {C\theta '}{\sin \theta {\sqrt {\sin ^{2}\theta -C^{2}}}}}}$.

Интегрируя обе стороны и учитывая граничное условие, действительное решение равно нулю. Таким образом, и может быть любым значением от 0 до , что указывает на то, что кривая должна лежать на меридиане сферы. В декартовой системе координат это ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \phi '=0}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta _{0}}$

${\displaystyle x\sin \phi _{0}-y\cos \phi _{0}=0}$

которая представляет собой плоскость, проходящую через начало координат, т. е. центр сферы.

Приложения

Некоторые примеры больших кругов на небесной сфере включают небесный горизонт , небесный экватор и эклиптику . Большие круги также используются как довольно точные аппроксимации геодезических на поверхности Земли для воздушной или морской навигации (хотя это не идеальная сфера ), а также на сфероидальных небесных телах .

Экватор идеализированной земли — это большой круг, а любой меридиан и его противоположный меридиан образуют большой круг. Другой большой круг — тот, который разделяет сухопутное и водное полушария . Большой круг делит землю на два полушария , и если большой круг проходит через точку, он должен проходить через свою антиподную точку .

Преобразование Функа интегрирует функцию по всем большим окружностям сферы.

Смотрите также

• Большой эллипс
• Локсодромия

Ссылки

1. W., Weisstein, Eric. "Большой круг -- из Wolfram MathWorld". mathworld.wolfram.com . Получено 30 сентября 2022 г.{{cite web}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
2. Weintrit, Adam; Kopcz, Piotr (2014). Локсодромия (линия румба), ортодромия (большой круг), большой эллипс и геодезическая линия (геодезическая) в навигации. США: CRC Press, Inc. ISBN 978-1-138-00004-9.

Внешние ссылки

• Большой круг – из MathWorld Большой круг описание, рисунки и уравнения. Mathworld, Wolfram Research, Inc. c1999
• Большие круги на карте Меркатора, автор Джон Снайдер, при участии Джеффа Брайанта, Пратика Десаи и Карла Уолла, Wolfram Demonstrations Project .