Дуга окружности — это дуга окружности между парой различных точек . Если две точки не находятся прямо напротив друг друга, одна из этих дуг, малая дуга , образует угол в центре круга, который меньше π радиан (180 градусов ); а другая дуга, большая дуга , образует угол, превышающий π радиан. Дуга круга определяется как часть или сегмент окружности круга . Прямая линия, соединяющая два конца дуги, называется хордой окружности . Если длина дуги равна ровно половине окружности, она называется полукруговой дугой .
Длина (точнее, длина дуги ) дуги окружности радиуса r , образующей угол θ (измеренный в радианах) с центром окружности, т. е. центральным углом , равна
Это потому что
Подстановка по окружности
и, где α — тот же угол, измеренный в градусах, поскольку θ = α/180π длина дуги равна
Практический способ определить длину дуги в круге — провести две линии от концов дуги до центра круга, измерить угол, в котором две линии встречаются с центром, а затем найти L путем перекрестного умножения выражения. :
Например, если угол равен 60 градусам, а длина окружности 24 дюйма, то
Это так, потому что длина окружности и степени круга, которых всегда 360, прямо пропорциональны.
Верхняя половина круга может быть параметризована как
Тогда длина дуги от до равна
Площадь сектора, образованного дугой и центром круга (ограниченного дугой и двумя радиусами, проведенными к ее концам), равна
Площадь A имеет ту же пропорцию к площади круга , что и угол θ к полному кругу:
Мы можем сократить π с обеих сторон:
Умножив обе части на r 2 , получим окончательный результат:
Используя описанное выше преобразование, находим, что площадь сектора для центрального угла, измеренная в градусах, равна
Площадь фигуры, ограниченная дугой и прямой линией между двумя ее конечными точками, равна
Чтобы получить площадь сегмента дуги , нам нужно вычесть из площади площадь треугольника, определяемую центром круга и двумя конечными точками дуги . Подробности см . в разделе Круговой сегмент .
Используя теорему о пересекающихся хордах (также известную как теорема о степени точки или секущей касательной), можно вычислить радиус r круга, зная высоту H и ширину W дуги:
Рассмотрим хорду с теми же концами, что и дуга. Его биссектриса — это еще одна хорда, представляющая собой диаметр окружности. Длина первой хорды равна W , и она разделена биссектрисой на две равные половины, каждая длинойВт/2. Общая длина диаметра равна 2 r и разделена первой хордой на две части. Длина одной части — это сагитта дуги H , а другая часть — это остаток диаметра длиной 2 r − H. Применение теоремы о пересекающихся хордах к этим двум хордам дает
откуда
так
Дуга, хорда и сагитта получили свои названия соответственно от латинских слов, обозначающих лук, тетиву и стрелу .