Евклидово расстояние

Длина отрезка

Использование теоремы Пифагора для вычисления двумерного евклидова расстояния

В математике евклидово расстояние между двумя точками евклидова пространства — это длина отрезка между ними. Его можно вычислить из декартовых координат точек с использованием теоремы Пифагора , и поэтому его иногда называют расстоянием Пифагора .

Эти имена происходят от древнегреческих математиков Евклида и Пифагора . В греческой дедуктивной геометрии , примером которой служат « Начала » Евклида , расстояния представлялись не числами, а отрезками прямой одинаковой длины, которые считались «равными». Понятие расстояния присуще компасу, используемому для рисования круга , все точки которого находятся на одинаковом расстоянии от общей центральной точки . Связь теоремы Пифагора с расчетом расстояний не была установлена ​​до 18 века.

Расстояние между двумя объектами, которые не являются точками, обычно определяется как наименьшее расстояние между парами точек от двух объектов. Известны формулы для вычисления расстояний между разными типами объектов, например, расстояния от точки до линии . В высшей математике понятие расстояния было обобщено на абстрактные метрические пространства , и изучались другие расстояния, кроме евклидова. В некоторых приложениях в статистике и оптимизации вместо самого расстояния используется квадрат евклидова расстояния.

Формулы расстояния

Одно измерение

Расстояние между любыми двумя точками на действительной линии — это абсолютное значение числовой разности их координат, их абсолютная разность . Таким образом, если и являются двумя точками на реальной линии, то расстояние между ними определяется выражением: ^[1] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle d(p,q)=|p-q|.}$$

Более сложная формула, дающая то же значение, но легче обобщающая на более высокие измерения: ^[1]

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p-q)^{2}}}.}$$

В этой формуле возведение в квадрат и последующее извлечение квадратного корня оставляет любое положительное число неизменным, но заменяет любое отрицательное число его абсолютным значением. ^[1]

Два измерения

Пусть на евклидовой плоскости точка имеет декартовы координаты и точка имеет координаты . Тогда расстояние между и определяется выражением: ^[2] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (p_{1},p_{2})}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle (q_{1},q_{2})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}}}.}$$

В этом можно убедиться, применив теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику с горизонтальной и вертикальной сторонами, гипотенузой которого является отрезок от до . Две формулы квадрата внутри квадратного корня дают площади квадратов по горизонтальной и вертикальной сторонам, а внешний квадратный корень преобразует площадь квадрата на гипотенузе в длину гипотенузы. ^[3] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Также возможно вычислить расстояние для точек, заданных полярными координатами . Если полярные координаты are и полярные координаты are , то их расстояние ^[2] определяется законом косинусов : ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (r,\theta )}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle (s,\psi )}$

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {r^{2}+s^{2}-2rs\cos(\theta -\psi )}}.}$$

Когда и выражаются в виде комплексных чисел на комплексной плоскости , можно использовать ту же формулу для одномерных точек, выраженных в виде действительных чисел, хотя здесь знак абсолютного значения указывает на комплексную норму : ^[4] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle d(p,q)=|p-q|.}$$

Высшие измерения

Вывод формулы -мерного евклидова расстояния путем многократного применения теоремы Пифагора ${\displaystyle n}$

В трех измерениях для точек, заданных их декартовыми координатами, расстояние равно

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+(p_{3}-q_{3})^{2}}}.}$$

В общем случае для точек, заданных декартовыми координатами в -мерном евклидовом пространстве, расстояние равно ^[5] ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}.}$$

Евклидово расстояние также можно выразить более компактно через евклидову норму разности евклидовых векторов :

$${\displaystyle d(p,q)=\|p-q\|.}$$

Объекты, кроме точек

Для пар объектов, которые не являются обеими точками, расстояние проще всего определить как наименьшее расстояние между любыми двумя точками двух объектов, хотя также часто используются более сложные обобщения от точек к множествам, такие как расстояние Хаусдорфа . ^[6] Формулы для расчета расстояний между различными типами объектов включают:

• Расстояние от точки до прямой в евклидовой плоскости ^[7]
• Расстояние от точки до плоскости в трехмерном евклидовом пространстве ^[7]
• Расстояние между двумя линиями в трехмерном евклидовом пространстве ^[8]

Расстояние от точки до кривой можно использовать для определения ее параллельной кривой , другой кривой, все точки которой имеют одинаковое расстояние до данной кривой. ^[9]

Характеристики

Евклидово расстояние является прототипом расстояния в метрическом пространстве ^[10] и подчиняется всем определяющим свойствам метрического пространства: ^[11]

• Оно симметрично , что означает, что для всех точек и , . То есть (в отличие от дорожного расстояния с улицами с односторонним движением) расстояние между двумя точками не зависит от того, какая из двух точек является начальной, а какая — конечной. ^[11] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle d(p,q)=d(q,p)}$
• Оно положительное , что означает, что расстояние между любыми двумя различными точками является положительным числом , а расстояние от любой точки до самой себя равно нулю. ^[11]
• Оно подчиняется неравенству треугольника : для каждых трёх точек , , и , . Интуитивно понятно, что путешествие из в через не может быть короче, чем прямое путешествие из в . ^[11] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle d(p,q)+d(q,r)\geq d(p,r)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$

Другое свойство, неравенство Птолемея , касается евклидовых расстояний между четырьмя точками , , и . В нем говорится, что ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle d(p,q)\cdot d(r,s)+d(q,r)\cdot d(p,s)\geq d(p,r)\cdot d(q,s).}$$

Для точек на плоскости это можно перефразировать следующим образом: для каждого четырехугольника произведения противоположных сторон четырехугольника в сумме дают по крайней мере такое же большое число, как и произведение его диагоналей. Однако неравенство Птолемея применимо в более общем плане к точкам евклидовых пространств любого измерения, независимо от того, как они расположены. ^[12] Для точек в метрических пространствах, которые не являются евклидовыми пространствами, это неравенство может быть неверным. Геометрия евклидова расстояния изучает свойства евклидова расстояния, такие как неравенство Птолемея, и их применение для проверки того, происходят ли заданные наборы расстояний из точек евклидова пространства. ^[13]

Согласно теореме Бекмана-Куорлза , любое преобразование евклидовой плоскости или многомерного евклидова пространства, сохраняющее единичные расстояния, должно быть изометрией , сохраняющей все расстояния. ^[14]

Квадрат евклидова расстояния

Во многих приложениях, и в частности при сравнении расстояний, может быть удобнее опустить последний квадратный корень при вычислении евклидовых расстояний, поскольку квадратный корень не меняет порядок ( если и только если ). Значение, полученное в результате этого упущения, представляет собой квадрат евклидова расстояния и называется квадратом евклидова расстояния . ^[15] Например, евклидово минимальное остовное дерево можно определить, используя только порядок расстояний, а не их числовые значения. Сравнение квадратов расстояний дает тот же результат, но позволяет избежать ненужных вычислений квадратного корня и обойти проблемы числовой точности. ^[16] В виде уравнения квадрат расстояния можно выразить как сумму квадратов : ${\displaystyle d_{1}^{2}>d_{2}^{2}}$ ${\displaystyle d_{1}>d_{2}}$

$${\displaystyle d^{2}(p,q)=(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}.}$$

Помимо применения для сравнения расстояний, квадрат евклидова расстояния имеет центральное значение в статистике , где он используется в методе наименьших квадратов , стандартном методе подгонки статистических оценок к данным путем минимизации среднего значения квадратов расстояний между наблюдаемыми и оцененными значениями. , ^[17] и как простейшую форму дивергенции для сравнения распределений вероятностей . ^[18] Сложение квадратов расстояний друг к другу, как это делается при подборе методом наименьших квадратов, соответствует операции над (неквадратными) расстояниями, называемой сложением Пифагора . ^[19] В кластерном анализе квадраты расстояний можно использовать для усиления эффекта более длинных расстояний. ^[15]

Квадрат евклидова расстояния не образует метрического пространства, поскольку не удовлетворяет неравенству треугольника. ^[20] Однако это гладкая, строго выпуклая функция двух точек, в отличие от расстояния, которое не является гладким (около пар равных точек) и выпуклым, но не строго выпуклым. Таким образом, квадрат расстояния предпочтителен в теории оптимизации , поскольку он позволяет использовать выпуклый анализ . Поскольку возведение в квадрат является монотонной функцией неотрицательных значений, минимизация квадрата расстояния эквивалентна минимизации евклидова расстояния, поэтому задача оптимизации эквивалентна с точки зрения любого из них, но ее легче решить, используя квадрат расстояния. ^[21]

Коллекция всех квадратов расстояний между парами точек из конечного набора может храниться в евклидовой матрице расстояний и используется в этой форме в геометрии расстояний. ^[22]

Обобщения

В более продвинутых областях математики, когда евклидово пространство рассматривается как векторное , его расстояние связано с нормой , называемой евклидовой нормой , определяемой как расстояние каждого вектора от начала координат . Одним из важных свойств этой нормы по сравнению с другими нормами является то, что она остается неизменной при произвольных поворотах пространства вокруг начала координат. ^[23] По теореме Дворецкого , каждое конечномерное нормированное векторное пространство имеет многомерное подпространство, норма которого приблизительно евклидова; Евклидова норма — единственная норма, обладающая этим свойством. ^{[24] Его} можно распространить на бесконечномерные векторные пространства как норму L2 или ^{расстояние} L2 . ^[25] Евклидово расстояние придает евклидову пространству структуру топологического пространства , евклидову топологию , с открытыми шарами (подмножествами точек, находящимися на меньшем, чем заданное расстояние от данной точки) в качестве его окрестностей . ^[26]

Сравнение чебышевского, евклидова и таксистного расстояний для гипотенузы треугольника 3-4-5 на шахматной доске

Другие распространенные расстояния в реальных координатных пространствах и функциональных пространствах : ^[27]

• Расстояние Чебышева ( расстояние L ^∞ ), которое измеряет расстояние как максимальное из расстояний по каждой координате.
• Расстояние такси ( расстояние L ¹ ), также называемое манхэттенским расстоянием, которое измеряет расстояние как сумму расстояний по каждой координате.
• Расстояние Минковского ( расстояние L ^p ), обобщение, объединяющее евклидово расстояние, расстояние такси и расстояние Чебышева.

Для точек на трехмерных поверхностях евклидово расстояние следует отличать от геодезического расстояния — длины кратчайшей кривой, принадлежащей поверхности. В частности, для измерения расстояний по большому кругу на Земле или других сферических или почти сферических поверхностях использовались расстояния, включая расстояние гаверсинуса , дающее расстояния по большому кругу между двумя точками на сфере на основе их долготы и широты, а также формулы Винсенти. также известное как «расстояние Винсента» для расстояния на сфероиде. ^[28]

История

Евклидово расстояние — это расстояние в евклидовом пространстве . Обе концепции названы в честь древнегреческого математика Евклида , чьи «Начала» на многие столетия стали стандартным учебником по геометрии. ^[29] Понятия длины и расстояния широко распространены в разных культурах, могут быть датированы самыми ранними из сохранившихся «протописьменных» бюрократических документов из Шумера в четвертом тысячелетии до нашей эры (задолго до Евклида) ^[30] и, как предполагается, развиваются у детей раньше. чем родственные понятия скорости и времени. ^[31] Но понятие расстояния как числа, определяемого из двух точек, на самом деле не встречается в « Началах » Евклида . Вместо этого Евклид подходит к этой концепции неявно, через конгруэнтность отрезков прямой, через сравнение длин отрезков прямой и через концепцию пропорциональности . ^[32]

Теорема Пифагора также древняя, но свою центральную роль в измерении расстояний она смогла сыграть только после изобретения декартовых координат Рене Декартом в 1637 году. Сама формула расстояния была впервые опубликована в 1731 году Алексисом Клеро . ^[33] Из-за этой формулы евклидово расстояние также иногда называют расстоянием Пифагора. ^[34] Хотя точные измерения больших расстояний на земной поверхности, которые не являются евклидовыми, снова изучались во многих культурах с древних времен (см. историю геодезии ), идея о том, что евклидово расстояние может быть не единственным способом измерения расстояний Между точками в математических пространствах появилось еще позже, с формулировкой неевклидовой геометрии в XIX веке . ^[35] Определение евклидовой нормы и евклидова расстояния для геометрий более трех измерений также впервые появилось в 19 веке, в работе Огюстена-Луи Коши . ^[36]

Рекомендации

1. Смит, Карл (2013), Precalculus: функциональный подход к построению графиков и решению проблем, Jones & Bartlett Publishers, стр. 8, ISBN 978-0-7637-5177-7
2. Коэн, Дэвид (2004), Precalculus: Проблемно-ориентированный подход (6-е изд.), Cengage Learning, p. 698, ISBN 978-0-534-40212-9
3. Ауфманн, Ричард Н.; Баркер, Вернон К.; Нэйшн, Ричард Д. (2007), Студенческая тригонометрия (6-е изд.), Cengage Learning, стр. 17, ISBN 978-1-111-80864-8
4. Андрееску, Титу; Андрика, Дорин (2014), «3.1.1 Расстояние между двумя точками», Комплексные числа от А до ... Z (2-е изд.), Биркхойзер, стр. 57–58, ISBN 978-0-8176-8415-0
5. Табак, Джон (2014), Геометрия: язык пространства и формы, Факты о математической библиотеке файлов, Infobase Publishing, стр. 150, ISBN 978-0-8160-6876-0
6. Ó Searcoid, Mícheál (2006), «2.7 Расстояния от множеств до множеств», Метрические пространства, Серия математики для бакалавриата Springer, Springer, стр. 29–30, ISBN 978-1-84628-627-8
7. Баллантайн, JP; Джерберт, А.Р. (апрель 1952 г.), «Расстояние от линии или плоскости до точки», Классные заметки, American Mathematical Monthly , 59 (4): 242–243, doi : 10.2307/2306514, JSTOR  2306514
8. Белл, Роберт Дж. Т. (1914), «49. Кратчайшее расстояние между двумя линиями», Элементарный трактат о координатной геометрии трех измерений (2-е изд.), Macmillan, стр. 57–61.
9. Маэкава, Такаши (март 1999 г.), «Обзор смещенных кривых и поверхностей», Computer-Aided Design , 31 (3): 165–173, doi : 10.1016/s0010-4485(99)00013-5
10. Иванов, Олег А. (2013), Легко, как π?: Введение в высшую математику, Springer, стр. 2013. 140, ISBN 978-1-4612-0553-1
11. Strichartz, Роберт С. (2000), Путь анализа, Jones & Bartlett Learning, стр. 357, ISBN 978-0-7637-1497-0
12. Адам, Джон А. (2017), «Глава 2. Введение в «физику» лучей», Лучи, волны и рассеяние: темы классической математической физики , Принстонская серия по прикладной математике, Princeton University Press, стр. 26 –27, номер домена : 10.1515/9781400885404-004, ISBN 978-1-4008-8540-4
13. Либерти, Лео; Лавор, Карлайл (2017), Евклидова дистанционная геометрия: Введение, Тексты для студентов Springer по математике и технологиям, Springer, стр. xi, ISBN 978-3-319-60792-4
14. Бекман, Ф.С.; Куорлз, Д.А. младший (1953), «Об изометриях евклидовых пространств», Труды Американского математического общества , 4 (5): 810–815, doi : 10.2307/2032415 , JSTOR  2032415, MR  0058193
15. Спенсер, Нил Х. (2013), «5.4.5 Квадраты евклидовых расстояний», Основы многомерного анализа данных , CRC Press, стр. 95, ISBN 978-1-4665-8479-2
16. Яо, Эндрю Чи Чи (1982), «О построении минимальных остовных деревьев в k -мерных пространствах и связанных проблемах», SIAM Journal on Computing , 11 (4): 721–736, doi : 10.1137/0211059, MR  0677663
17. Рэндольф, Карен А .; Майерс, Лаура Л. (2013), Базовая статистика в многомерном анализе, Карманное руководство по методам исследования социальной работы, Oxford University Press, стр. 116, ISBN 978-0-19-976404-4
18. Чисар, И. (1975), « Геометрия I -дивергенции вероятностных распределений и задачи минимизации», Annals of Probability , 3 (1): 146–158, doi : 10.1214/aop/1176996454 , JSTOR  2959270, MR  0365798
19. Молер, Клив и Дональд Моррисон (1983), «Замена квадратных корней суммами Пифагора» (PDF) , IBM Journal of Research and Development , 27 (6): 577–581, CiteSeerX 10.1.1.90.5651 , doi : 10.1147/ д.276.0577 
20. Мильке, Пол В.; Берри, Кеннет Дж. (2000), «Методы перестановки, основанные на евклидовом расстоянии, в науке об атмосфере», Браун, Тимоти Дж.; Мильке, Пол В. младший (ред.), Статистический анализ и визуализация данных в атмосферных науках , Springer, стр. 7–27, номер документа : 10.1007/978-1-4757-6581-6_2.
21. Каплан, Уилфред (2011), Максимумы и минимумы с приложениями: практическая оптимизация и двойственность, Серия Уайли по дискретной математике и оптимизации, том. 51, Джон Уайли и сыновья, с. 61, ISBN 978-1-118-03104-9
22. Альфаких, Абдо Ю. (2018), Евклидовы матрицы расстояний и их приложения в теории жесткости, Springer, стр. 51, ISBN 978-3-319-97846-8
23. Копейкин, Сергей; Ефроимский, Михаил; Каплан, Джордж (2011), Релятивистская небесная механика Солнечной системы, John Wiley & Sons, стр. 106, ISBN 978-3-527-63457-6
24. Матушек, Иржи (2002), Лекции по дискретной геометрии, Тексты для аспирантов по математике , Springer, p. 349, ISBN 978-0-387-95373-1
25. Сиарле, Филипп Г. (2013), Линейный и нелинейный функциональный анализ с приложениями, Общество промышленной и прикладной математики, стр. 173, ISBN 978-1-61197-258-0
26. Ричмонд, Том (2020), Общая топология: Введение, Де Грюйтер, стр. 32, ISBN 978-3-11-068657-9
27. Кламрот, Катрин (2002), «Раздел 1.1: Нормы и показатели», Проблемы расположения отдельных объектов с барьерами , Серия Springer по исследованию операций, Springer, стр. 4–6, doi : 10.1007/0-387-22707-5_1
28. Паниграхи, Нараян (2014), «12.2.4 Формула Хаверсина и 12.2.5 Формула Винсенти», Вычисления в географических информационных системах, CRC Press, стр. 212–214, ISBN 978-1-4822-2314-9
29. Чжан, Джин (2007), Визуализация для поиска информации , Springer, ISBN 978-3-540-75148-9
30. Хойруп, Йенс (2018), «Месопотамская математика» (PDF) , Джонс, Александр; Тауб, Либа (ред.), Кембриджская история науки, Том 1: Древняя наука , Издательство Кембриджского университета, стр. 58–72.
31. Акредоло, Курт; Шмид, Жаннин (1981), «Понимание относительных скоростей, расстояний и продолжительности движения», Психология развития , 17 (4): 490–493, doi : 10.1037/0012-1649.17.4.490
32. Хендерсон, Дэвид В. (2002), «Обзор геометрии: Евклид и не только Робина Хартсхорна», Бюллетень Американского математического общества , 39 : 563–571, ​​doi : 10.1090/S0273-0979-02-00949-7
33. Маор, Эли (2019), Теорема Пифагора: 4000-летняя история, Princeton University Press, стр. 133–134, ISBN 978-0-691-19688-6
34. Рэнкин, Уильям К.; Маркли, Роберт П.; Эванс, Селби Х. (март 1970 г.), «Пифагорово расстояние и оцененное сходство схематических стимулов», Perception & Psychophysicals , 7 (2): 103–107, doi : 10.3758/bf03210143 , S2CID  144797925
35. Милнор, Джон (1982), «Гиперболическая геометрия: первые 150 лет», Бюллетень Американского математического общества , 6 (1): 9–24, doi : 10.1090/S0273-0979-1982-14958-8 , MR  0634431
36. Рэтклифф, Джон Г. (2019), Основы гиперболических многообразий, Тексты для выпускников по математике , том. 149 (3-е изд.), Спрингер, с. 32, ISBN 978-3-030-31597-9