Евклидово поле

Упорядоченное поле, где каждый неотрицательный элемент является квадратом

В математике евклидово поле — это упорядоченное поле K , в котором каждый неотрицательный элемент является квадратом: то есть x ≥ 0 в K влечет, что x = y ² для некоторого y из K.

Конструируемые числа образуют евклидово поле. Это наименьшее евклидово поле, поскольку каждое евклидово поле содержит его как упорядоченное подполе. Другими словами, конструируемые числа образуют евклидово замыкание рациональных чисел .

Характеристики

• Каждое евклидово поле является упорядоченным пифагорейским полем , но обратное неверно. ^[1]
• Если E / F — конечное расширение , а E — евклидово, то и F — евклидово . Эта «теорема о спуске» является следствием теоремы Диллера–Дресса . ^[2]

Примеры

• Действительные конструируемые числа , те (знаковые) длины, которые могут быть построены из рационального отрезка с помощью линейки и циркуля , образуют евклидово поле. ^[3]

Каждое действительное замкнутое поле является евклидовым полем. Следующие примеры также являются действительными замкнутыми полями.

• Действительные числа с обычными операциями и упорядочением образуют евклидово поле. ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Поле действительных алгебраических чисел является евклидовым полем. ${\displaystyle \mathbb {R} \cap \mathbb {\overline {Q}} }$
• Поле гипердействительных чисел является евклидовым полем.

Контрпримеры

• Рациональные числа с обычными операциями и упорядочением не образуют евклидово поле. Например, 2 не является квадратом в , поскольку квадратный корень из 2 иррационален . ^[4] Согласно результату, полученному выше, ни одно алгебраическое числовое поле не может быть евклидовым. [ ^2] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Комплексные числа не образуют евклидово поле, поскольку им нельзя придать структуру упорядоченного поля. ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Евклидово замыкание

Евклидово замыкание упорядоченного поля K — это расширение K в квадратичном замыкании K , которое является максимальным относительно того, чтобы быть упорядоченным полем с порядком , расширяющим порядок K. ^[5] Это также наименьшее подполе алгебраического замыкания K , которое является евклидовым полем и является упорядоченным расширением K.

Ссылки

1. Мартин (1998) стр. 89
2. Lam (2005) стр.270
3. Мартин (1998) стр. 35–36
4. Мартин (1998) стр. 35
5. Эфрат (2006) стр. 177

• Эфрат, Идо (2006). Оценки, упорядочения и теория Милнора K. Математические обзоры и монографии. Том 124. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-4041-X. Збл  1103.12002.
• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том 67. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1095-2. MR  2104929. Zbl  1068.11023.
• Мартин, Джордж Э. (1998). Геометрические построения . Тексты для бакалавров по математике . Springer-Verlag . ISBN 0-387-98276-0. Збл  0890.51015.

Внешние ссылки

• Евклидово поле на PlanetMath .