В римановой геометрии единичное касательное расслоение риманова многообразия ( M , g ) , обозначаемое T 1 M , UT( M ) или просто UT M , является расслоением единичной сферы для касательного расслоения T( M ). Это расслоение над M , слой которого в каждой точке является единичной сферой касательного расслоения:
где T x ( M ) обозначает касательное пространство к M в точке x . Таким образом, элементами UT( M ) являются пары ( x , v ), где x — некоторая точка многообразия, а v — некоторое касательное направление (единичной длины) к многообразию в точке x . Единичное касательное расслоение снабжено естественной проекцией
который переводит каждую точку расслоения в ее базовую точку. Слой π −1 ( x ) над каждой точкой x ∈ M представляет собой ( n −1) -сферу Sn − 1 , где n — размерность M. Таким образом, единичное касательное расслоение является расслоением сфер над M со слоем Sn − 1 .
Определение расслоения единичных сфер также может легко включать в себя финслеровые многообразия . В частности, если M — многообразие, снабженное финслеровой метрикой F : TM → R , то расслоение единичных сфер является подрасслоением касательного расслоения, слой которого в точке x является индикатрисой F :
Если M — бесконечномерное многообразие (например, многообразие Банаха , Фреше или Гильберта ), то UT( M ) все еще можно рассматривать как расслоение единичных сфер для касательного расслоения T( M ), но слой π − 1 ( x ) над x тогда является бесконечномерной единичной сферой в касательном пространстве.
Единичное касательное расслоение несет в себе множество дифференциальных геометрических структур. Метрика на M индуцирует контактную структуру на UT M . Это задается в терминах тавтологической формы , определенной в точке u UT M (единичный касательный вектор M ) формулой
где – движение вперед вдоль π вектора v ∈ T u UT M .
Геометрически эту контактную структуру можно рассматривать как распределение (2 n −2)-плоскостей, которое в единичном векторе u является отражением ортогонального дополнения к u в касательном пространстве к M . Это контактная структура, так как слой UT M , очевидно, является целым многообразием (вертикальный расслоение находится всюду в ядре θ), а остальные касательные направления заполняются перемещением слоя UT M вверх . Таким образом, максимальное интегральное многообразие θ само по себе является (открытым множеством) M.
На финслеровом многообразии контактная форма определяется аналогичной формулой
где g u — фундаментальный тензор ( гессиан метрики Финслера). Геометрически ассоциированное распределение гиперплоскостей в точке u ∈ UT x M является прообразом относительно π * касательной гиперплоскости к единичной сфере в T x M в точке u .
Форма объема θ∧ d θ n −1 определяет меру на M , известную как кинематическая мера или мера Лиувилля , которая инвариантна относительно геодезического потока M. Как мера Радона , кинематическая мера µ определяется на непрерывных функциях ƒ с компактным носителем на UT M формулой
где d V — элемент объема на M , а µ p — стандартная вращательно-инвариантная борелевская мера на евклидовой сфере UT p M.
Связность Леви-Чивиты M приводит к расщеплению касательного расслоения
на вертикальное пространство V = kerπ * и горизонтальное пространство H , на котором π * является линейным изоморфизмом в каждой точке UT M . Это расщепление порождает метрику на UT M , объявляя, что это расщепление является ортогональной прямой суммой, и определяя метрику на H с помощью обратного преобразования:
и определение метрики на V как метрики, индуцированной вложением слоя UT x M в евклидово пространство T x M . Оснащенное этой метрикой и контактной формой, UT M становится сасакиевым многообразием .
