Корень единицы

Особенность некоторых случайных процессов

В теории вероятностей и статистике единичный корень является особенностью некоторых случайных процессов (таких как случайные блуждания ), которые могут вызывать проблемы в статистических выводах с использованием моделей временных рядов . Линейный случайный процесс имеет единичный корень, если 1 является корнем характеристического уравнения процесса . Такой процесс нестационарен, но не всегда имеет тенденцию.

Если остальные корни характеристического уравнения лежат внутри единичной окружности, т. е. имеют модуль ( абсолютную величину ) меньше единицы, то первая разность процесса будет стационарной; в противном случае процесс придется дифференцировать несколько раз, чтобы он стал стационарным. ^[1] Если имеется d единичных корней, то процесс придется дифференцировать d раз, чтобы сделать его стационарным. ^[2] Из-за этой характеристики процессы с единичным корнем также называют разностными стационарными. ^{[3] [4]}

Процессы с единичным корнем иногда можно путать со стационарными по тренду процессами; хотя они имеют много общих свойств, они различны во многих аспектах. Временной ряд может быть нестационарным, но не иметь единичного корня и быть стационарным по тренду. Как в процессах с единичным корнем, так и в процессах, стационарных по тренду, среднее значение может расти или уменьшаться с течением времени; однако при наличии шока стационарные по тренду процессы возвращают среднее значение (т.е. временные ряды снова сходятся к растущему среднему значению, на которое шок не повлиял), в то время как процессы с единичным корнем оказывают постоянное влияние на среднее значение (т.е. отсутствие сходимости во времени). ^[5]

Если корень характеристического уравнения процесса больше 1, то его называют взрывным процессом , хотя такие процессы иногда неточно называют процессами с единичными корнями.

Наличие единичного корня можно проверить с помощью теста единичного корня .

Определение

Рассмотрим случайный процесс с дискретным временем и предположим, что его можно записать как авторегрессионный процесс порядка  p : ${\displaystyle (y_{t},t=1,2,3,\ldots )}$

${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\cdots +a_{p}y_{t-p}+\varepsilon _{t}.}$

Здесь — серийно некоррелированный случайный процесс с нулевым средним и постоянной дисперсией . Для удобства предположим . Если – корень характеристического уравнения кратности 1 : ${\displaystyle (\varepsilon _{t},t=0,1,2,\ldots ,)}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle y_{0}=0}$ ${\displaystyle m=1}$

${\displaystyle m^{p}-m^{p-1}a_{1}-m^{p-2}a_{2}-\cdots -a_{p}=0}$

тогда случайный процесс имеет единичный корень или, альтернативно, интегрирован первого порядка , обозначаемый . Если m = 1 является корнем кратности r , то случайный процесс интегрируется порядка r , обозначаемого I ( r ). ${\displaystyle I(1)}$

Пример

Модель авторегрессии первого порядка имеет единичный корень, когда . В этом примере характеристическое уравнение равно . Корнем уравнения является . ${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\varepsilon _{t}}$ ${\displaystyle a_{1}=1}$ ${\displaystyle m-a_{1}=0}$ ${\displaystyle m=1}$

Если процесс имеет единичный корень, то это нестационарный временной ряд. То есть моменты стохастического процесса зависят от . Чтобы проиллюстрировать эффект единичного корня, мы можем рассмотреть случай первого порядка, начиная с y ₀  = 0: ${\displaystyle t}$

${\displaystyle y_{t}=y_{t-1}+\varepsilon _{t}.}$

Повторной заменой можно написать . Тогда дисперсия определяется выражением: ${\displaystyle y_{t}=y_{0}+\sum _{j=1}^{t}\varepsilon _{j}}$ ${\displaystyle y_{t}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{t})=\sum _{j=1}^{t}\sigma ^{2}=t\sigma ^{2}.}$

Дисперсия зависит от t , поскольку , в то время как . Дисперсия ряда расходится к бесконечности с  t . ${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{1})=\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{2})=2\sigma ^{2}}$

Существуют различные тесты для проверки существования единичного корня, некоторые из них:

1. Тест Дикки-Фуллера (DF) или расширенный тест Дикки-Фуллера (ADF).
2. Проверка значимости более чем одного коэффициента (f-тест)
3. Тест Филлипса -Перрона (ПП)
4. Тест Дики Пантулы

Похожие модели

В дополнение к моделям авторегрессии (AR) и авторегрессии со скользящим средним (ARMA), в регрессионном анализе возникают и другие важные модели , где ошибки модели сами по себе могут иметь структуру временных рядов и, следовательно, могут нуждаться в моделировании с помощью процесса AR или ARMA, который может иметь единичный корень, как обсуждалось выше. Проанализированы конечные выборочные свойства регрессионных моделей с ошибками ARMA первого порядка, включая единичные корни . ^{[6] [7]}

Оценка того, когда может присутствовать единичный корень

Часто для оценки коэффициентов наклона авторегрессионной модели используется метод обычных наименьших квадратов (МНК) . Использование МНК основано на стационарности стохастического процесса. Когда случайный процесс нестационарен, использование МНК может привести к неверным оценкам. Грейнджер и Ньюболд назвали такие оценки результатами «ложной регрессии»: ^[8] высокие значения R 2 и высокие коэффициенты t дают результаты, не имеющие реального (в их контексте, экономического) смысла.

Чтобы оценить коэффициенты наклона, следует сначала провести тест на единичный корень , нулевая гипотеза которого заключается в том, что единичный корень присутствует. Если эта гипотеза отвергнута, можно использовать МНК. Однако если наличие единичного корня не отвергается, то к ряду следует применить оператор разности . Если другой тест на единичный корень показывает, что разностный временной ряд является стационарным, к этому ряду можно применить МНК для оценки коэффициентов наклона.

Например, в случае AR(1) стационарен. ${\displaystyle \Delta y_{t}=y_{t}-y_{t-1}=\varepsilon _{t}}$

В случае AR(2) это можно записать так: где L — оператор задержки , уменьшающий временной индекс переменной на один период: . Если модель имеет единичный корень, и мы можем определить ; затем ${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\varepsilon _{t}}$ ${\displaystyle (1-\lambda _{1}L)(1-\lambda _{2}L)y_{t}=\varepsilon _{t}}$ ${\displaystyle Ly_{t}=y_{t-1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}=1}$ ${\displaystyle z_{t}=\Delta y_{t}}$

${\displaystyle z_{t}=\lambda _{1}z_{t-1}+\varepsilon _{t}}$

является стационарным, если . МНК можно использовать для оценки коэффициента наклона . ${\displaystyle |\lambda _{1}|<1}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$

Если процесс имеет несколько единичных корней, оператор разности можно применять несколько раз.

Свойства и характеристики процессов с единичным корнем

• Потрясения для процесса с единичным корнем имеют постоянные последствия, которые не затухают, как если бы процесс был стационарным.
• Как отмечалось выше, процесс с единичным корнем имеет дисперсию, зависящую от t и расходящуюся до бесконечности.
• Если известно, что ряд имеет единичный корень, его можно разграничить, чтобы сделать его стационарным. Например, если серия I(1), то серия I(0) (стационарная). Поэтому его называют разностным стационарным рядом. ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle Y_{t}}$ ${\displaystyle \Delta Y_{t}=Y_{t}-Y_{t-1}}$

Гипотеза единичного корня

На диаграмме выше показан пример потенциального единичного корня. Красная линия представляет наблюдаемое падение производства. Зелёным показан путь восстановления, если серия имеет единичный корень. Синий цвет показывает восстановление, если нет единичного корня и ряд является стационарным по тренду. Синяя линия возвращается к пунктирной линии тренда и следует за ней, в то время как зеленая линия постоянно остается ниже тренда. Гипотеза единичного корня также утверждает, что резкий скачок выпуска приведет к тому, что уровень выпуска превысит прошлую тенденцию.

Экономисты спорят о том, имеют ли различные экономические статистические данные, особенно объем производства , единичный корень или являются стационарными по тренду . ^[9] Процесс с единичным корнем со сносом в случае первого порядка определяется выражением

${\displaystyle y_{t}=y_{t-1}+c+e_{t}}$

где c — постоянный член, называемый «дрейфовым» членом, и — белый шум. Любое ненулевое значение шумового члена, возникающее только в течение одного периода, будет постоянно влиять на значение, как показано на графике, поэтому отклонения от линии являются нестационарными; нет возврата к какой-либо линии тренда. Напротив, стационарный по тренду процесс определяется выражением ${\displaystyle e_{t}}$ ${\displaystyle y_{t}}$ ${\displaystyle y_{t}=a+ct}$

${\displaystyle y_{t}=k\cdot t+u_{t}}$

где k — наклон тренда и — шум (в простейшем случае белый шум; в более общем смысле — шум, следующий за собственным стационарным процессом авторегрессии). Здесь любой переходный шум не изменит долгосрочную тенденцию находиться на линии тренда, как также показано на графике. Этот процесс называется стационарным по тренду, поскольку отклонения от линии тренда стационарны. ${\displaystyle u_{t}}$ ${\displaystyle y_{t}}$

Этот вопрос особенно популярен в литературе по деловым циклам. ^{[10] [11]} Исследования по этому вопросу начались с Нельсона и Плоссера, чья статья о ВНП и других агрегатах выпуска не смогла отвергнуть гипотезу единичного корня для этих рядов. ^[12] С тех пор начались дебаты, переплетенные с техническими спорами по статистическим методам. Некоторые экономисты ^[13] утверждают, что ВВП имеет единичный корень или структурный сдвиг , подразумевая, что экономические спады приводят к постоянному снижению уровня ВВП в долгосрочной перспективе. Другие экономисты утверждают, что ВВП является стационарным по тренду: то есть, когда ВВП падает ниже тренда во время спада, он позже возвращается к уровню, подразумеваемому тенденцией, так что постоянного снижения объема производства не происходит. Хотя литература по гипотезе единичного корня может представлять собой загадочные дебаты о статистических методах, эта гипотеза имеет важное практическое значение для экономических прогнозов и политики.

Смотрите также

• Тест Дики-Фуллера
• Расширенный тест Дикки – Фуллера
• Тест ADF-GLS
• Проверка единичного корня
• Тест Филлипса-Перрона
• Коинтеграция , определение связи между двумя переменными, имеющими единичные корни.
• Взвешенный симметричный тест единичного корня (WS)
• Тест Квятковского, Филлипса, Шмидта, Шина, известный как тесты КПСС.

Примечания

1. «Тренд-стационарные процессы против разностно-стационарных - MATLAB и Simulink» . uk.mathworks.com . Архивировано из оригинала 8 июня 2016 г. Проверено 5 июня 2016 г.
2. «Справка EViews» . Архивировано из оригинала 27 мая 2020 г. Проверено 28 мая 2020 г.
3. «Дифференцирование и тесты единичного корня» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 18 октября 2016 г.
4. «Нестационарная серия» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 11 июня 2014 г.
5. Хейно Бон Нильсен. «Нестационарные временные ряды и тесты единичного корня» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 30 ноября 2016 г.
6. Сарган, JD ; Бхаргава, Алок (1983). «Проверка остатков регрессии наименьших квадратов на предмет их генерации с помощью гауссовского случайного блуждания». Эконометрика . 51 (1): 153–174. дои : 10.2307/1912252. JSTOR  1912252.
7. Сарган, доктор медицинских наук; Бхаргава, Алок (1983). «Оценка максимального правдоподобия моделей регрессии с ошибками скользящего среднего первого порядка, когда корень лежит на единичном круге». Эконометрика . 51 (3): 799–820. дои : 10.2307/1912159. JSTOR  1912159.
8. Грейнджер, CWJ; Ньюболд, П. (1974). «Ложные регрессии в эконометрике». Журнал эконометрики . 2 (2): 111–120. CiteSeerX 10.1.1.353.2946 . дои : 10.1016/0304-4076(74)90034-7. 
9. Кругман, Пол (3 марта 2009 г.). «Корни зла (вонки)». Нью-Йорк Таймс . Архивировано из оригинала 5 сентября 2015 года . Проверено 7 февраля 2017 г.
10. Хегвуд, Натали; Папелл, Дэвид Х. (2007). «Являются ли тенденции, различия или тенденции к уровню реального ВВП стационарными? Данные панельных тестов, включающих структурные изменения» (PDF) . Южный экономический журнал . 74 (1): 104–113. doi :10.1002/j.2325-8012.2007.tb00829.x. JSTOR  20111955. Архивировано (PDF) из оригинала 14 июня 2022 г. Проверено 14 августа 2021 г.
11. Лаке, Бернд (2005). «Является ли тенденция ВВП Германии стационарной? Подход, основанный на измерении и теории» (PDF) . Jahrbücher für Nationalökonomie und Statistik . 225 (1): 60–76. doi : 10.1515/jbnst-2005-0105. S2CID  209856533. Архивировано (PDF) из оригинала 24 декабря 2013 г. Проверено 29 июля 2013 г.
12. Нельсон, Чарльз Р.; Плоссер, Чарльз I. (1982). «Тенденции и случайные блуждания в макроэкономических временных рядах: некоторые доказательства и последствия». Журнал денежно-кредитной экономики . 10 (2): 139–162. дои : 10.1016/0304-3932(82)90012-5.
13. Оливье Бланшар. Архивировано 26 августа 2009 г. в Wayback Machine совместно с Международным валютным фондом. Он утверждает, что после банковского кризиса «в среднем объем производства не возвращается к своему старому тренду, а постоянно остается ниже него».