В любой области математики пространство имеет естественную топологию , если на пространстве существует топология , которая «лучше всего приспособлена» к его изучению в рассматриваемой области. Во многих случаях это неточное определение означает не более чем утверждение, что рассматриваемая топология возникает естественно или канонически (см. математический жаргон ) в данном контексте.
Обратите внимание, что в некоторых случаях множественные топологии кажутся «естественными». Например, если Y является подмножеством полностью упорядоченного множества X , то индуцированная топология порядка , т.е. топология порядка полностью упорядоченного множества Y , где этот порядок унаследован от X , грубее, чем топология подпространства топологии порядка X.
«Естественная топология» довольно часто имеет более конкретное значение, по крайней мере, учитывая некоторую предварительную контекстную информацию: естественная топология — это топология, которая делает естественную карту или набор карт непрерывными . Это все еще неточно, даже если указать, что такое естественные карты, потому что может быть много топологий с требуемым свойством. Однако часто существует наилучшая или грубая топология, которая делает заданные карты непрерывными, и в этом случае они являются очевидными кандидатами на естественную топологию.
Простейшими случаями (которые, тем не менее, охватывают множество примеров) являются начальная топология и конечная топология (Уиллард (1970)). Начальная топология — это грубейшая топология на пространстве X , которая делает заданный набор отображений из X в топологические пространства X i непрерывным. Конечная топология — это тончайшая топология на пространстве X , которая делает заданный набор отображений из топологических пространств X i в X непрерывным.
Два простейших примера — это естественные топологии подпространств и факторпространств.
Другим примером является то, что любое метрическое пространство имеет естественную топологию, индуцированную его метрикой .