потенциал Леннарда-Джонса

Модель межмолекулярного взаимодействия

График потенциальной функции Леннарда-Джонса: Межмолекулярная потенциальная энергия V _LJ как функция расстояния между парой частиц. Минимум потенциала находится при ${\displaystyle r=r_{\rm {min}}=2^{1/6}\sigma .}$

В вычислительной химии , молекулярной физике и физической химии потенциал Леннарда-Джонса (также называемый потенциалом ЛД или потенциалом 12-6 ; назван в честь Джона Леннарда-Джонса ) является межмолекулярным парным потенциалом . Из всех межмолекулярных потенциалов потенциал Леннарда-Джонса, вероятно, наиболее подробно изучен. ^{[1] [2]} Он считается архетипической моделью для простых, но реалистичных межмолекулярных взаимодействий . Потенциал Леннарда-Джонса часто используется в качестве строительного блока в молекулярных моделях (также известных как силовые поля ) для более сложных веществ. ^[3] Многие исследования идеализированного «вещества Леннарда-Джонса» используют потенциал для понимания физической природы материи.

Обзор

Потенциал Леннарда-Джонса — это простая модель, которая все еще может описать основные черты взаимодействия между простыми атомами и молекулами: две взаимодействующие частицы отталкиваются друг от друга на очень близком расстоянии, притягиваются друг к другу на умеренном расстоянии и в конечном итоге прекращают взаимодействовать на бесконечном расстоянии, как показано на рисунке. Потенциал Леннарда-Джонса — это парный потенциал, т. е. никакие трех- или многочастичные взаимодействия не покрываются потенциалом. ^{[3] [4]}

Общий потенциал Леннарда-Джонса объединяет отталкивающий потенциал, , с притягивающим потенциалом, , используя эмпирически определенные коэффициенты и : ^{[5] [6]} В своем обзоре 1931 года ^[5] Леннард-Джонс предложил использовать для согласования силу дисперсии Лондона и основанные на согласовании экспериментальные данные. ^[1] Установка и дает широко используемый потенциал Леннарда-Джонса 12-6: ^[7] где r - расстояние между двумя взаимодействующими частицами, ε - глубина потенциальной ямы , а σ - расстояние, на котором потенциальная энергия частица-частица V равна нулю. Потенциал Леннарда-Джонса 12-6 имеет свой минимум на расстоянии, где потенциальная энергия имеет значение ${\displaystyle 1/r^{n}}$ ${\displaystyle -1/r^{m}}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle B_{m}}$ $${\displaystyle V_{\text{LJ}}(r)={\frac {A_{n}}{r^{n}}}-{\frac {B_{m}}{r^{m}}}.}$$ ${\displaystyle m=6}$ ${\displaystyle n=12}$ ${\displaystyle A_{n}=4\varepsilon \sigma ^{12}}$ ${\displaystyle B_{m}=4\varepsilon \sigma ^{6}}$ $${\displaystyle V_{\text{LJ}}(r)=4\varepsilon \left[\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{12}-\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{6}\right],}$$ ${\displaystyle r=r_{\rm {min}}=2^{1/6}\sigma ,}$ ${\displaystyle V=-\varepsilon .}$

Потенциал Леннарда-Джонса обычно является стандартным выбором для разработки теорий материи (особенно мягкой материи), а также для разработки и тестирования вычислительных методов и алгоритмов.

В прошлом было предложено множество межмолекулярных потенциалов для моделирования простых мягких отталкивающих и притягивающих взаимодействий между сферически симметричными частицами, т. е. общей формы, показанной на рисунке. Примерами других потенциалов являются потенциал Морзе , потенциал Ми , ^[8] потенциал Букингема и потенциал Танга-Тённиса. ^[9] Хотя некоторые из них могут больше подходить для моделирования реальных жидкостей , ^[10] простота потенциала Леннарда-Джонса, а также его часто удивительная способность точно фиксировать поведение реальной жидкости, исторически сделали его парным потенциалом наибольшего общего значения. ^[11]

История

В 1924 году, в год, когда Леннард-Джонс получил докторскую степень в Кембриджском университете , он опубликовал ^{[6] [12]} ряд знаменательных статей о парных потенциалах, которые в конечном итоге были названы в его честь. ^{[2] [3] [13] [1]} В этих статьях он скорректировал параметры потенциала, а затем использовал результат в модели вязкости газа, ища набор значений, согласующихся с экспериментом. Его первоначальные результаты предполагали отталкивающий и притягивающий . ${\displaystyle n=13.5}$ ${\displaystyle m=3}$

До Леннарда-Джонса, еще в 1903 году, Густав Ми работал над эффективными теориями поля; Эдуард Грюнайзен развил работу Ми для твердых тел, показав, что и требуется для твердых тел. В результате этой работы потенциал Леннарда-Джонса иногда называют потенциалом Ми-Грюнайзена в физике твердого тела . ^[3] ${\displaystyle n>m}$ ${\displaystyle m>3}$

В 1930 году, после открытия квантовой механики , Фриц Лондон показал, что теория предсказывает, что сила притяжения на больших расстояниях должна иметь . В 1931 году Леннард-Джонс применил эту форму потенциала для описания многих свойств жидкостей, заложив основу для многих последующих исследований. ^[1] ${\displaystyle m=6}$

Безразмерные (приведенные единицы)

Безразмерные приведенные единицы могут быть определены на основе параметров потенциала Леннарда-Джонса, что удобно для молекулярного моделирования. С числовой точки зрения преимущества этой системы единиц включают вычисление значений, которые ближе к единице, использование упрощенных уравнений и возможность легкого масштабирования результатов. ^{[14] [15]} Эта система приведенных единиц требует указания параметра размера и параметра энергии потенциала Леннарда-Джонса и массы частицы . Все физические свойства могут быть преобразованы напрямую с учетом соответствующей размерности, см. таблицу. Приведенные единицы часто сокращаются и обозначаются звездочкой. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle m}$

В общем случае редуцированные единицы могут быть построены и на других потенциалах молекулярного взаимодействия, которые состоят из параметра длины и параметра энергии.

Дальнодействующие взаимодействия

Иллюстративный пример сходимости схемы коррекции для учета дальнодействующих взаимодействий потенциала Леннарда-Джонса. Здесь указывается примерная наблюдаемая величина и применяемый радиус отсечки. Дальнодействующее скорректированное значение указано как (символы и линия в качестве ориентира для глаза); гипотетическое «истинное» значение как (пунктирная линия). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r_{\mathrm {c} }}$ ${\displaystyle X_{\mathrm {corr} }}$ ${\displaystyle X_{\mathrm {true} }}$

Потенциал Леннарда-Джонса, см. уравнение (1) и рисунок сверху, имеет бесконечный диапазон. Только при его рассмотрении исследуется «истинный» и «полный» потенциал Леннарда-Джонса. Для оценки наблюдаемой ансамбля частиц, взаимодействующих посредством потенциала Леннарда-Джонса с использованием молекулярного моделирования, взаимодействия могут быть оценены явно только до определенного расстояния — просто из-за того, что число частиц всегда будет конечным. Максимальное расстояние, применяемое в моделировании, обычно называют радиусом «обрезки» (потому что потенциал Леннарда-Джонса радиально симметричен). Чтобы получить теплофизические свойства (как макроскопические, так и микроскопические) «истинного» и «полного» потенциала Леннарда-Джонса (ЛД), необходимо учесть вклад потенциала за пределами радиуса обрезки. ${\displaystyle r_{\mathrm {c} }}$

Были разработаны различные схемы коррекции для учета влияния дальнодействующих взаимодействий в моделировании и для поддержания достаточно хорошего приближения «полного» потенциала. ^{[16] [14]} Они основаны на упрощающих предположениях относительно структуры жидкости. Для простых случаев, таких как исследования равновесия однородных жидкостей, простые поправочные члены дают превосходные результаты. В других случаях, таких как исследования неоднородных систем с различными фазами, учет дальнодействующих взаимодействий более утомителен. Эти поправки обычно называют «дальнодействующими поправками». Для большинства свойств известны и хорошо известны простые аналитические выражения. Для заданной наблюдаемой «скорректированный» результат моделирования затем просто вычисляется из фактически выбранного значения и значения дальнодействующей поправки , например, для внутренней энергии . ^[14] Гипотетическое истинное значение наблюдаемой потенциала Леннарда-Джонса на действительно бесконечном расстоянии отсечки (термодинамический предел) в общем случае может быть только оценено. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\mathrm {corr} }}$ ${\displaystyle X_{\mathrm {sampled} }}$ ${\displaystyle X_{\mathrm {lrc} }}$ ${\displaystyle U_{\mathrm {corr} }=U_{\mathrm {sampled} }+U_{\mathrm {lrc} }}$ ${\displaystyle X_{\mathrm {true} }}$

Кроме того, качество схемы коррекции на больших расстояниях зависит от радиуса отсечки. Предположения, сделанные в схемах коррекции, обычно не оправдываются при (очень) коротких радиусах отсечки. Это проиллюстрировано в примере, показанном на рисунке справа. Говорят, что схема коррекции на больших расстояниях сходится, если остаточная ошибка схемы коррекции достаточно мала на заданном расстоянии отсечки, см. рисунок.

Расширения и модификации

Потенциал Леннарда-Джонса — как архетип межмолекулярных потенциалов — многократно использовался в качестве отправной точки для разработки более сложных или более обобщенных межмолекулярных потенциалов. Различные расширения и модификации потенциала Леннарда-Джонса были предложены в литературе; более обширный список приведен в статье « межатомный потенциал ». Следующий список относится только к нескольким примерам потенциалов, которые напрямую связаны с потенциалом Леннарда-Джонса и имеют как историческое значение, так и по-прежнему актуальны для современных исследований.

• Потенциал Ми Потенциал Ми является обобщенной версией потенциала Леннарда-Джонса, т. е. показатели 12 и 6 вводятся как параметрыи. Известно, что особенно термодинамические производные свойства, например, сжимаемость и скорость звука , очень чувствительны к крутизне отталкивающей части межмолекулярного потенциала, который, следовательно, может быть более сложно смоделирован потенциалом Ми. ^[17] Первая явная формулировка потенциала Ми приписывается Эдуарду Грюнайзену . ^{[18] [19]} Следовательно, потенциал Ми был фактически предложен до потенциала Леннарда-Джонса. Потенциал Ми назван в честь Густава Ми . ^[8] ${\displaystyle \lambda _{\mathrm {rep} }}$ ${\displaystyle \lambda _{\mathrm {attr} }}$
• Потенциал Букингема Потенциал Букингема был предложен Ричардом Букингемом . Отталкивающая часть потенциала Леннарда-Джонса в нем заменена экспоненциальной функцией и включает в себя дополнительный параметр.
• Потенциал Штокмайера Потенциал Штокмайера назван в честь WH Stockmayer. ^[20] Потенциал Штокмайера представляет собой комбинацию потенциала Леннарда-Джонса, наложенного диполем. Следовательно, частицы Штокмайера не являются сферически симметричными, а скорее имеют важную ориентационную структуру.
• Двухцентровой потенциал Леннарда-Джонса Двухцентровой потенциал Леннарда-Джонса состоит из двух идентичных сайтов взаимодействия Леннарда-Джонса (одинаковых , , ), которые связаны как твердое тело. Его часто сокращают до 2CLJ. Обычно удлинение (расстояние между сайтами Леннарда-Джонса) значительно меньше параметра размера . Следовательно, два сайта взаимодействия значительно слиты. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \sigma }$
• Усеченный и сплайновый потенциал Леннарда-Джонса Усеченный и сплайновый потенциал Леннарда-Джонса — это редко используемый, но полезный потенциал. Подобно более популярному потенциалу LJTS, он прочно усечен на определенном «конечном» расстоянии , и за его пределами не рассматриваются никакие дальнодействующие взаимодействия. В отличие от потенциала LJTS, который смещен таким образом, что потенциал непрерывен, усеченный и сплайновый потенциал Леннарда-Джонса становится непрерывным с помощью произвольной, но благоприятной сплайновой функции. ${\displaystyle r_{\mathrm {end} }}$

Усеченный и смещенный потенциал Леннарда-Джонса (LJTS)

Сравнение равновесия пар-жидкость «полного» потенциала Леннарда-Джонса (черный) и «усеченного и смещенного» потенциала Леннарда-Джонса (синий). Символы обозначают результаты молекулярного моделирования; ^{[21] [22]} линии обозначают результаты уравнений состояния. ^{[11] [23]}

Усеченный и смещенный потенциал Леннарда-Джонса (LJTS) часто используется в качестве альтернативы «полному» потенциалу Леннарда-Джонса (см. уравнение (1)). «Полный» и «усеченный и смещенный» потенциал Леннарда-Джонса должны строго разделяться. Это просто два разных межмолекулярных потенциала, дающих разные теплофизические свойства. Усеченный и смещенный потенциал Леннарда-Джонса определяется как с $${\displaystyle V_{\text{LJTS}}(r)={\begin{cases}V_{\text{LJ}}(r)-V_{\text{LJ}}(r_{\text{end}})&~~~~r\leq r_{\text{end}}\\0&~~~~r>r_{\text{end}},\end{cases}}}$$ $${\displaystyle V_{\text{LJ}}(r)=4\varepsilon \left[\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{12}-\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{6}\right].}$$

Следовательно, потенциал LJTS усекается при и смещается на соответствующее значение энергии . Последнее применяется, чтобы избежать скачка разрыва потенциала при . Для потенциала LJTS не требуются дальнодействующие взаимодействия за пределами — ни явно, ни неявно. Наиболее часто используемая версия усеченного и смещенного потенциала Леннарда-Джонса — это та, в которой . ^{[ необходима цитата ]} Тем не менее, в литературе использовались разные значения. ^{[24] [25] [26] [27]} Каждый потенциал LJTS с заданным радиусом усечения следует рассматривать как потенциал и, соответственно, как отдельную субстанцию. ${\displaystyle r_{\mathrm {end} }}$ ${\displaystyle V_{\mathrm {LJ} }(r_{\mathrm {end} })}$ ${\displaystyle r_{\mathrm {end} }}$ ${\displaystyle r_{\mathrm {end} }}$ ${\displaystyle r_{\mathrm {end} }=2.5\,\sigma }$ ${\displaystyle r_{\mathrm {end} }}$ ${\displaystyle r_{\mathrm {end} }}$

Потенциал LJTS в вычислительном отношении значительно дешевле, чем «полный» потенциал Леннарда-Джонса, но все еще охватывает основные физические характеристики материи (наличие критической и тройной точек, мягкие отталкивающие и притягивающие взаимодействия, фазовые равновесия и т. д.). Поэтому потенциал LJTS используется для тестирования новых алгоритмов, методов моделирования и новых физических теорий. ^{[28] [29] [30]}

Интересно, что для гомогенных систем межмолекулярные силы, которые рассчитываются из LJ и LJTS потенциала на заданном расстоянии, одинаковы (поскольку то же самое), тогда как потенциальная энергия и давление зависят от смещения. Кроме того, свойства вещества LJTS могут быть дополнительно затронуты выбранным алгоритмом моделирования, т. е. выборкой MD или MC (это, как правило, не относится к «полному» потенциалу Леннарда-Джонса). ${\displaystyle {\text{d}}V/{\text{d}}r}$

Для потенциала LJTS с , сдвиг потенциальной энергии составляет приблизительно 1/60 от энергии дисперсии в потенциальной яме: . На рисунке справа показано сравнение равновесия пар-жидкость «полного» потенциала Леннарда-Джонса и «усеченного и смещенного» потенциала Леннарда-Джонса. Результаты «полного» потенциала Леннарда-Джонса преобладают при значительно более высокой критической температуре и давлении по сравнению с результатами потенциала LJTS, но критическая плотность очень похожа. ^{[31] [32] [26]} Давление пара и энтальпия испарения сильнее зависят от дальнодействующих взаимодействий, чем от насыщенных плотностей. Это связано с тем, что потенциал в основном энергетически изменяется путем усечения и смещения. ${\displaystyle r_{\mathrm {end} }=2.5\,\sigma }$ ${\displaystyle V_{\mathrm {LJ} }(r_{\mathrm {end} }=2.5\,\sigma )=-0.0163\,\varepsilon }$

Приложения

Потенциал Леннарда-Джонса имеет не только фундаментальное значение в вычислительной химии и физике мягкой материи , но и для моделирования реальных веществ. Потенциал Леннарда-Джонса используется для фундаментальных исследований поведения материи и для объяснения атомистических явлений. Он также часто используется для несколько специальных случаев использования, например, для изучения теплофизических свойств двумерных или четырехмерных веществ ^{[33] [34] [35]} (вместо классических трех пространственных направлений нашей Вселенной).

Существует два основных применения потенциалов Леннарда-Джонса: (i) для изучения гипотетической субстанции Леннарда-Джонса ^[13] и (ii) для моделирования взаимодействий в моделях реальных субстанций. ^{[3] [2]} Эти два применения обсуждаются далее.

вещество Леннарда-Джонса

Вещество Леннарда-Джонса или «Леннард-Джонсий» — это название, данное идеализированному веществу, которое было бы результатом взаимодействия атомов или молекул исключительно через потенциал Леннарда-Джонса. ^[13] Статистическая механика ^[36] и компьютерное моделирование ^{[15] [16]} могут быть использованы для изучения потенциала Леннарда-Джонса и получения теплофизических свойств «вещества Леннарда-Джонса». Вещество Леннарда-Джонса часто называют «Леннард-Джонсием», ^[13] предполагая, что оно рассматривается как (фиктивный) химический элемент . ^[21] Более того, его параметры энергии и длины можно настроить так, чтобы они соответствовали многим различным реальным веществам. Как потенциал Леннарда-Джонса, так и, соответственно, вещество Леннарда-Джонса являются упрощенными, но реалистичными моделями, например, они точно отражают основные физические принципы, такие как наличие критической и тройной точек , конденсация и замерзание . Отчасти из-за своей математической простоты потенциал Леннарда-Джонса широко использовался в исследованиях материи с первых дней компьютерного моделирования. ^{[37] [38] [39] [40]}

Теплофизические свойства вещества Леннарда-Джонса

Фазовая диаграмма вещества Леннарда-Джонса. Корреляции и числовые значения для критической точки и тройной точки(точек) взяты из Refs. ^{[21] [41] [11]} Звездочка указывает на критическую точку. ^[21] Круг указывает на тройную точку пар–жидкость–твердое тело, а треугольник указывает на тройную точку пар–твердое тело (ГЦК)–твердое тело (ГПУ). ^{[41] [42]} Сплошные линии указывают на линии сосуществования двух фаз. ^{[21] [41]} Пунктирные линии указывают на спинодаль пар–жидкость. ^[11]

Теплофизические свойства вещества Леннарда-Джонса ^[13] , т. е. частицы, взаимодействующие с потенциалом Леннарда-Джонса, могут быть получены с помощью статистической механики. Некоторые свойства могут быть вычислены аналитически, т. е. с машинной точностью, тогда как большинство свойств могут быть получены только путем выполнения молекулярного моделирования. ^[15] Последнее, как правило, будет наложено как статистическими, так и систематическими неопределенностями. ^{[43] [21] [44] [45]} Например, вириальные коэффициенты могут быть вычислены непосредственно из потенциала Леннарда с использованием алгебраических выражений ^[36] , и поэтому представленные данные не имеют неопределенности. Результаты молекулярного моделирования, например, давление при заданной температуре и плотности, имеют как статистические, так и систематические неопределенности. ^{[43] [45]} Молекулярное моделирование потенциала Леннарда-Джонса, как правило, может быть выполнено с использованием либо моделирования молекулярной динамики (МД), либо моделирования Монте-Карло (МК). Для моделирования МК напрямую используется потенциал Леннарда-Джонса , тогда как моделирование МД всегда основано на производной потенциала, т.е. силе . Эти различия в сочетании с различиями в обработке дальнодействующих взаимодействий (см. ниже) могут влиять на вычисляемые теплофизические свойства. ^{[46] [32]} ${\displaystyle V_{\mathrm {LJ} }(r)}$ ${\displaystyle F=\mathrm {d} V/\mathrm {d} r}$

Поскольку Леннард-Джонсиум является архетипом для моделирования простых, но реалистичных межмолекулярных взаимодействий, большое количество теплофизических свойств было изучено и описано в литературе. ^[21] Данные компьютерных экспериментов по потенциалу Леннарда-Джонса в настоящее время считаются наиболее точными известными данными в классической механике вычислительной химии. Следовательно, такие данные также в основном используются в качестве эталона для проверки и тестирования новых алгоритмов и теорий. Потенциал Леннарда-Джонса постоянно использовался с первых дней молекулярного моделирования. Первые результаты компьютерных экспериментов для потенциала Леннарда-Джонса были представлены Розенблютом и Розенблютом ^[38] и Вудом и Паркером ^[37] после того, как молекулярное моделирование на « быстрых вычислительных машинах » стало доступно в 1953 году. ^[47] С тех пор во многих исследованиях сообщалось о данных вещества Леннарда-Джонса; ^[21] приблизительно 50 000 точек данных находятся в открытом доступе. Текущее состояние исследований теплофизических свойств вещества Леннарда-Джонса обобщено Стефаном и др. ^[21] (которые не охватывают свойства переноса и смешивания). Национальный институт стандартов и технологий США (NIST) приводит примеры молекулярной динамики и кодов Монте-Карло вместе с результатами, полученными с их помощью. ^[48] Данные о свойствах переноса жидкостей Леннарда-Джонса были собраны Беллом и др. ^[49] и Лаутеншегером и Хассе. ^[50]

На рисунке справа показана фазовая диаграмма жидкости Леннарда-Джонса. Фазовые равновесия потенциала Леннарда-Джонса изучались много раз и, соответственно, известны сегодня с хорошей точностью. ^{[41] [21] [51]} На рисунке показаны результаты корреляций, полученные из результатов компьютерного эксперимента (поэтому показаны линии вместо точек данных).

Среднее межмолекулярное взаимодействие частицы Леннарда-Джонса сильно зависит от термодинамического состояния, т. е. температуры и давления (или плотности). Для твердых состояний притягивающее взаимодействие Леннарда-Джонса играет доминирующую роль, особенно при низких температурах. Для жидких состояний упорядоченная структура отсутствует по сравнению с твердыми состояниями. Средняя потенциальная энергия на частицу отрицательна. Для газообразных состояний притягивающие взаимодействия потенциала Леннарда-Джонса играют второстепенную роль, поскольку они находятся на большом расстоянии. Основная часть внутренней энергии запасается в виде кинетической энергии для газообразных состояний. В сверхкритических состояниях притягивающее взаимодействие Леннарда-Джонса играет второстепенную роль. С ростом температуры средняя кинетическая энергия частиц увеличивается и превышает энергетическую яму потенциала Леннарда-Джонса. Следовательно, частицы в основном взаимодействуют посредством мягких отталкивающих взаимодействий потенциалов, и средняя потенциальная энергия на частицу соответственно положительна.

В целом, из-за большого временного интервала, в течение которого изучался потенциал Леннарда-Джонса, и в литературе были представлены данные о теплофизических свойствах, а вычислительные ресурсы были недостаточны для точного моделирования (по современным стандартам), известно, что заметное количество данных является сомнительным. ^[21] Тем не менее, во многих исследованиях такие данные используются в качестве справочных. Отсутствие хранилищ данных и оценки данных является важнейшим элементом для будущей работы в долговременной области исследования потенциала Леннарда-Джонса.

Характерные точки и кривые

Наиболее важными характерными точками потенциала Леннарда-Джонса являются критическая точка и тройная точка пар-жидкость-твердое тело . Они были изучены много раз в литературе и собраны в ^[21] . Таким образом, критическая точка была оценена как расположенная в

• ${\displaystyle T_{\mathrm {c} }=1.321\pm 0.007\,\varepsilon k_{\mathrm {B} }^{-1}}$
• ${\displaystyle \rho _{\mathrm {c} }=0.316\pm 0.005\,\sigma ^{-3}}$
• ${\displaystyle p_{\mathrm {c} }=0.129\pm 0.005\,\varepsilon \sigma ^{-3}}$

Указанные неопределенности были рассчитаны на основе стандартного отклонения критических параметров, полученных из наиболее надежных доступных наборов данных о равновесии пар-жидкость . ^[21] Эти неопределенности можно принять как нижний предел точности, с которой критическая точка жидкости может быть получена из результатов молекулярного моделирования.

Характеристические кривые вещества Леннарда-Джонса. Толстая черная линия указывает на равновесие пар-жидкость; звездочка указывает на критическую точку. Коричневая линия указывает на равновесие твердое тело-жидкость. Другие черные сплошные линии и символы указывают характеристические кривые Брауна (подробности см. в тексте) вещества Леннарда-Джонса: линии являются результатами уравнения состояния , символы — результатами молекулярного моделирования, а треугольники — точными данными в пределе идеального газа, полученными из вириальных коэффициентов. Данные взяты из. ^{[52] [53] [54]}

В настоящее время предполагается, что тройная точка находится в

• ${\displaystyle T_{\mathrm {tr} }=0.69\pm 0.005\,\varepsilon k_{\mathrm {B} }^{-1}}$
• ${\displaystyle \rho _{\mathrm {tr,gas} }=0.0017\pm 0.004\,\sigma ^{-3}}$
• ${\displaystyle \rho _{\mathrm {tr,liq} }=0.845\pm 0.009\,\sigma ^{-3}}$
• ${\displaystyle \rho _{\mathrm {tr,sol} }=0.961\pm 0.007\,\sigma ^{-3}}$
• ${\displaystyle p_{\mathrm {tr} }=0.0012\pm 0.0007\,\varepsilon \sigma ^{-3}}$

Неопределенности представляют собой разброс данных разных авторов. ^[41] Критическая точка вещества Леннарда-Джонса изучалась гораздо чаще, чем тройная точка. Как для критической точки, так и для тройной точки пар-жидкость-твердое тело в нескольких исследованиях сообщалось о результатах, выходящих за пределы указанных выше диапазонов. Указанные выше данные в настоящее время считаются правильными и надежными. Тем не менее, определенность критической температуры и температуры тройной точки все еще неудовлетворительна.

Очевидно, что кривые сосуществования фаз (ср. рисунки) имеют фундаментальное значение для характеристики потенциала Леннарда-Джонса. Кроме того, характеристические кривые Брауна ^[55] дают наглядное описание существенных особенностей потенциала Леннарда-Джонса. Характеристические кривые Брауна определяются как кривые, на которых определенное термодинамическое свойство вещества соответствует свойству идеального газа . Для реальной жидкости и ее производных могут соответствовать значениям идеального газа для специальных комбинаций только в результате правила фаз Гиббса. Полученные точки в совокупности составляют характеристическую кривую. Определены четыре основные характеристические кривые: одна 0-го порядка (названная кривой Зенона ) и три кривые 1-го порядка (названные кривыми Амагата , Бойля и Чарльза ). Характеристическая кривая должна иметь отрицательную или нулевую кривизну на всем протяжении и один максимум на двойной логарифмической диаграмме давление-температура. Более того, характеристические кривые Брауна и вириальные коэффициенты напрямую связаны в пределе идеального газа и поэтому точно известны при . Результаты компьютерного моделирования и уравнения состояния были опубликованы в литературе для потенциала Леннарда-Джонса. ^{[53] [21] [52] [56] [57]} ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho \rightarrow 0}$

Точки на кривой Зенона Z имеют коэффициент сжимаемости , равный единице . Кривая Зенона начинается при температуре Бойля , окружает критическую точку и имеет наклон, равный единице в пределе низких температур. ^[52] Точки на кривой Бойля B имеют . Кривая Бойля начинается с кривой Зенона при температуре Бойля, слабо окружает критическую точку и заканчивается на кривой давления пара. Точки на кривой Чарльза (также известной как кривая инверсии Джоуля-Томсона ) имеют и, что более важно , , т. е. никакого изменения температуры при изоэнтальпийном дросселировании. Она начинается при в пределе идеального газа, пересекает кривую Зенона и заканчивается на кривой давления пара. Точки на кривой Амагата A имеют . Она также начинается в пределе идеального газа при , окружает критическую точку и три другие характеристические кривые и переходит в область твердой фазы. Подробное обсуждение характеристических кривых потенциала Леннарда-Джонса дано Стефаном и Дейтерсом. ^[52] ${\displaystyle Z=p/(\rho T)=1}$ ${\displaystyle T_{\mathrm {B} }=3.417927982\,\varepsilon k_{\mathrm {B} }^{-1}}$ ${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} Z}{\mathrm {d} (1/\rho )}}\right|_{T}=0}$ ${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} Z}{\mathrm {d} T}}\right|_{p}=0}$ ${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} p}}\right|_{h}=0}$ ${\displaystyle T=6.430798418\,\varepsilon k_{\mathrm {B} }^{-1}}$ ${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} Z}{\mathrm {d} T}}\right|_{\rho }=0}$ ${\displaystyle T=25.15242837\,\varepsilon k_{\mathrm {B} }^{-1}}$

Вириальные коэффициенты из потенциала Леннарда-Джонса как функция температуры: второй вириальный коэффициент (вверху) и третий вириальный коэффициент (внизу). Круг указывает температуру Бойля . Результаты взяты из. ^[52] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle T_{\mathrm {B} }}$

Свойства жидкости Леннарда-Джонса

Равновесие пара и жидкости вещества Леннарда-Джонса: давление пара (вверху), насыщенные плотности (в середине) и межфазное натяжение (внизу). Символы обозначают результаты молекулярного моделирования. ^{[31] [21]} Линии обозначают результаты из уравнения состояния (и теории квадратного градиента для межфазного натяжения). ^{[31] [11]}

Свойства жидкости Леннарда-Джонса были подробно изучены в литературе из-за выдающейся важности потенциала Леннарда-Джонса в физике мягкой материи и смежных областях. ^[13] На сегодняшний день опубликовано около 50 наборов данных компьютерных экспериментов для равновесия пар-жидкость . ^[21] Кроме того, за эти годы было опубликовано более 35 000 точек данных в однородных состояниях жидкости, которые недавно были скомпилированы и оценены на предмет выбросов в базе данных с открытым доступом. ^[21]

Равновесие пар-жидкость вещества Леннарда-Джонса в настоящее время известно с точностью, т.е. взаимное согласие термодинамически согласованных данных для давления пара, плотности насыщенной жидкости, плотности насыщенного пара, энтальпии испарения и поверхностного натяжения. ^[21] Этот статус-кво нельзя считать удовлетворительным, учитывая тот факт, что статистические неопределенности, обычно сообщаемые для отдельных наборов данных, значительно ниже вышеуказанных значений (даже для гораздо более сложных молекулярных силовых полей). ${\displaystyle \pm 1\%}$ ${\displaystyle \pm 0.2\%}$ ${\displaystyle \pm 1\%}$ ${\displaystyle \pm 0.75\%}$ ${\displaystyle \pm 4\%}$

Как свойства фазового равновесия, так и свойства однородного состояния при произвольной плотности в общем случае могут быть получены только из молекулярных симуляций, тогда как вириальные коэффициенты могут быть вычислены непосредственно из потенциала Леннарда-Джонса. ^[36] Численные данные для второго и третьего вириальных коэффициентов доступны в широком диапазоне температур. ^{[58] [52] [21]} Для более высоких вириальных коэффициентов (до шестнадцатого) количество доступных точек данных уменьшается с увеличением номера вириального коэффициента. ^{[59] [60]} Также были изучены транспортные свойства (вязкость, теплопроводность и коэффициент самодиффузии) жидкости Леннарда-Джонса, ^{[61] [62]} но база данных значительно менее плотная, чем для однородных равновесных свойств, таких как – или данные о внутренней энергии. Более того, было разработано большое количество аналитических моделей ( уравнений состояния ) для описания жидкости Леннарда-Джонса (подробности см. ниже). ${\displaystyle pvT}$

Свойства тела Леннарда-Джонса

База данных и знания для твердого тела Леннарда-Джонса значительно хуже, чем для жидких фаз. Было рано осознано, что взаимодействия в твердых фазах не должны быть аппроксимированы как попарно аддитивные – особенно для металлов. ^{[63] [64]}

Тем не менее, потенциал Леннарда-Джонса используется в физике твердого тела из-за его простоты и вычислительной эффективности. Следовательно, основные свойства твердых фаз и равновесия твердое тело-жидкость были исследованы несколько раз, например, ^{[51] [41] [42] [65] [66] [54]}

Вещество Леннарда-Джонса образует fcc (гранецентрированную кубическую), hcp (гексагональную плотноупакованную) и другие плотноупакованные политипные решетки — в зависимости от температуры и давления, см. рисунок выше с фазовой диаграммой. При низкой температуре и вплоть до умеренного давления энергетически выгодна решетка hcp и, следовательно, равновесная структура. Структура решетки fcc энергетически выгодна как при высокой температуре, так и при высоком давлении и, следовательно, в целом равновесная структура в более широком диапазоне состояний. Линия сосуществования между фазами fcc и hcp начинается примерно при , проходит через температурный максимум примерно при , а затем заканчивается на границе фаз пар–твердое тело примерно при , что тем самым образует тройную точку. ^{[65] [41]} Следовательно, только твердая фаза fcc демонстрирует фазовые равновесия с жидкой и сверхкритической фазой, см. рисунок выше с фазовой диаграммой. ${\displaystyle T=0}$ ${\displaystyle p=878.5\,\varepsilon \sigma ^{-3}}$ ${\displaystyle T=0.4\,\varepsilon k_{\mathrm {B} }^{-1}}$ ${\displaystyle T=0.32\,\varepsilon k_{\mathrm {B} }^{-1}}$

Сообщается, что тройная точка двух твердых фаз (ГЦК и ГПУ) и паровой фазы находится в: ^{[65] [41]}

• ${\displaystyle T_{\mathrm {tr} }=0.32\pm 0.001\,\varepsilon k_{\mathrm {B} }^{-1}}$
• ${\displaystyle \rho _{\mathrm {tr,gas} }=..}$пока не сообщается
• ${\displaystyle \rho _{\mathrm {tr,fcc} }=1.03859\pm 0.0008\,\sigma ^{-3}}$
• ${\displaystyle \rho _{\mathrm {tr,hcp} }=1.03861\pm 0.0007\,\sigma ^{-3}}$
• ${\displaystyle p_{\mathrm {tr} }=0.96\cdot 10^{-9}\,\varepsilon \sigma ^{-3}}$

Обратите внимание, что в литературе также сообщалось о других и существенно отличающихся значениях. Следовательно, база данных для тройной точки fcc-hcp–vapor должна быть дополнительно укреплена в будущем.

Равновесия пар–жидкость бинарных смесей Леннарда-Джонса. Во всех показанных случаях компонент 2 является более летучим компонентом (обогащается в паровой фазе). Единицы измерения указаны в и компонента 1, который одинаков во всех четырех показанных смесях. Температура равна . Символы — результаты молекулярного моделирования, а линии — результаты из уравнения состояния . Данные взяты из ^[31] ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle T=0.92\,\varepsilon k_{\mathrm {B} }^{-1}}$

Смеси веществ Леннарда-Джонса

Смеси частиц Леннарда-Джонса в основном используются в качестве прототипа для разработки теорий и методов растворов, а также для изучения свойств растворов в целом. Это восходит к фундаментальной работе теории конформных растворов Лонге-Хиггинса ^[67] и Леланда и Роулинсона и их коллег. ^{[68] [69]} Сегодня они являются основой большинства теорий смесей. ^{[70] [71]}

Смеси двух или более компонентов Леннарда-Джонса устанавливаются путем изменения по крайней мере одного параметра потенциального взаимодействия ( или ) одного из компонентов по отношению к другому. Для бинарной смеси это дает три типа парных взаимодействий, которые все моделируются потенциалом Леннарда-Джонса: взаимодействия 1-1, 2-2 и 1-2. Для перекрестных взаимодействий 1–2 требуются дополнительные предположения для спецификации параметров или из , и , . Различные варианты (все более или менее эмпирические и не основанные строго на физических аргументах) могут быть использованы для этих так называемых правил комбинирования. ^[72] Наиболее широко используемым ^[72] правилом комбинирования является правило Лоренца и Бертло ^[73] ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {12} }}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {12} }}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {11} }}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {11} }}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {22} }}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {22} }}$

$${\displaystyle \sigma _{12}=\eta _{12}{\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}}{2}}}$$

$${\displaystyle \varepsilon _{12}=\xi _{12}{\sqrt {\varepsilon _{11}\varepsilon _{22}}}}$$

Параметр является дополнительным параметром взаимодействия, независимым от состояния, для смеси. Параметр обычно устанавливается равным единице, поскольку среднее арифметическое можно считать физически правдоподобным для параметра размера перекрестного взаимодействия. С другой стороны, параметр часто используется для корректировки среднего геометрического , чтобы воспроизвести фазовое поведение модельной смеси. Для аналитических моделей, например, уравнений состояния , параметр отклонения обычно записывается как . Для энергия дисперсии перекрестного взаимодействия и, соответственно, сила притяжения между разнородными частицами усиливаются, а силы притяжения между разнородными частицами уменьшаются для . ${\displaystyle \xi _{12}}$ ${\displaystyle \eta _{12}}$ ${\displaystyle \xi _{12}}$ ${\displaystyle k_{12}=1-\xi _{12}}$ ${\displaystyle \xi _{12}>1}$ ${\displaystyle \xi _{12}<1}$

Для смесей Леннарда-Джонса можно изучать как равновесия жидкой, так и твердой фаз , то есть пар–жидкость , жидкость–жидкость , газ–газ, твердое тело–пар, твердое тело–жидкость и твердое тело–твердое тело. Соответственно, могут существовать различные типы тройных точек (трехфазные равновесия) и критических точек , а также различные эвтектические и азеотропные точки . ^{[74] [71]} Бинарные смеси Леннарда-Джонса в области жидкости (различные типы равновесий жидких и газовых фаз) ^{[31] [75 ] [76] [77] [78]} были изучены более всесторонне, чем фазовые равновесия, включающие твердые фазы. ^{[79] [80] [81] [82] [83]} В литературе было изучено большое количество различных смесей Леннарда-Джонса. На сегодняшний день не установлен стандарт для них. Обычно параметры бинарного взаимодействия и параметры двух компонентов выбираются таким образом, чтобы получить смесь со свойствами, подходящими для данной задачи. Однако это часто затрудняет сравнение.

Для поведения жидкой фазы смеси демонстрируют практически идеальное поведение (в смысле закона Рауля ) для . Для преобладают притягивающие взаимодействия, и смеси имеют тенденцию образовывать высококипящие азеотропы, т. е. для стабилизации равновесия пар-жидкость требуется более низкое давление, чем давление паров чистых компонентов. Для преобладают отталкивающие взаимодействия, и смеси имеют тенденцию образовывать низкокипящие азеотропы, т. е. для стабилизации равновесия пар-жидкость требуется более высокое давление, чем давление паров чистых компонентов, поскольку средние дисперсионные силы уменьшаются. Особенно низкие значения, кроме того, приведут к зазорам смешиваемости жидкость-жидкость. Также в литературе изучались различные типы фазовых равновесий, включающих твердые фазы, например, Кэрол и ее коллегами. ^{[81] [83] [80] [79]} Также существуют случаи, когда границы твердой фазы прерывают равновесия жидкой фазы. Однако для фазовых равновесий, включающих твердые фазы, объем опубликованных данных невелик. ${\displaystyle \xi _{12}=1}$ ${\displaystyle \xi _{12}>1}$ ${\displaystyle \xi _{12}<1}$ ${\displaystyle \xi _{12}}$

Уравнения состояния

Большое количество уравнений состояния (УС) для потенциала/вещества Леннарда-Джонса было предложено с тех пор, как его характеристика и оценка стали доступны с первыми компьютерными симуляциями. ^[47] В связи с фундаментальной важностью потенциала Леннарда-Джонса, большинство имеющихся в настоящее время молекулярных УС построены вокруг жидкости Леннарда-Джонса. Они были всесторонне рассмотрены Стефаном и др. ^{[11] [52]}

Уравнения состояния для жидкости Леннарда-Джонса имеют особое значение в физике мягких веществ и физической химии , используются в качестве отправной точки для разработки УС для сложных жидкостей, например, полимеров и ассоциированных жидкостей. Мономерные единицы этих моделей обычно напрямую адаптируются из УС Леннарда-Джонса в качестве строительного блока, например, УС PHC, ^[84] УС BACKONE, ^{[85] [86]} и УС типа SAFT . ^{[17] [87] [88] [89]}

В литературе было предложено более 30 уравнений состояния Леннарда-Джонса. Всесторонняя оценка ^{[11] [52]} таких уравнений состояния показала, что несколько уравнений состояния ^{[90] [91] [92] [93]} описывают потенциал Леннарда-Джонса с хорошей и схожей точностью, но ни одно из них не является выдающимся. Три из этих уравнений состояния показывают неприемлемое нефизическое поведение в некоторой области жидкости, например, множественные петли Ван-дер-Ваальса, будучи в остальном достаточно точными. Только уравнение состояния Леннарда-Джонса Колафы и Незбеды ^[91] оказалось надежным и точным для большинства термодинамических свойств жидкости Леннарда-Джонса. ^{[52] [11]} Кроме того, уравнение состояния Леннарда-Джонса Джонсона и др. ^[94] оказалось менее точным для практически всех доступных справочных данных ^{[21] [11],} чем уравнения состояния Колафы и Незбеды. ^[91]

Потенциал Леннарда-Джонса как строительный блок для силовых полей

Потенциал Леннарда-Джонса широко используется для молекулярного моделирования реальных веществ. По сути, существует два способа использования потенциала Леннарда-Джонса для молекулярного моделирования: (1) Реальный атом или молекула вещества моделируются непосредственно потенциалом Леннарда-Джонса, что дает очень хорошие результаты для благородных газов и метана , т. е. дисперсионно взаимодействующих сферических частиц. В случае метана предполагается, что молекула сферически симметрична, а атомы водорода объединены с атомом углерода в общую единицу. Это упрощение в общем случае может быть применено и к более сложным молекулам, но обычно дает плохие результаты. (2) Реальная молекула вещества состоит из нескольких участков взаимодействия Леннарда-Джонса, которые могут быть связаны либо жесткими связями, либо гибкими дополнительными потенциалами (и в конечном итоге также состоит из других типов потенциалов, например, частичных зарядов). Молекулярные модели (часто называемые « силовыми полями ») практически для всех молекулярных и ионных частиц могут быть построены с использованием этой схемы, например, для алканов .

При использовании первого изложенного подхода молекулярная модель имеет только два параметра потенциала Леннарда-Джонса , которые можно использовать для подгонки, например , и можно использовать для аргона . После подгонки параметров модели ε и σ к реальным свойствам вещества потенциал Леннарда-Джонса можно использовать для описания простого вещества (например, благородных газов ) с хорошей точностью. Очевидно, что этот подход является лишь хорошим приближением для сферических и просто дисперсионно взаимодействующих молекул и атомов. Прямое использование потенциала Леннарда-Джонса имеет большое преимущество в том, что результаты моделирования и теории для потенциала Леннарда-Джонса можно использовать напрямую. Следовательно, доступные результаты для потенциала Леннарда-Джонса и вещества можно напрямую масштабировать с помощью соответствующих и (см. приведенные единицы). Параметры потенциала Леннарда-Джонса и в целом можно подогнать под любое желаемое свойство реального вещества. В физике мягкой материи обычно для параметризации используются экспериментальные данные для фазового равновесия пар-жидкость или критической точки; в физике твердого тела используются скорее сжимаемость, теплоемкость или постоянные решетки. ^{[63] [64]} ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \varepsilon /k_{\mathrm {B} }=120\,\mathrm {K} }$ ${\displaystyle \sigma =0.34\,\mathrm {nm} }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \sigma }$

Второй изложенный подход использования потенциала Леннарда-Джонса в качестве строительного блока удлиненных и сложных молекул гораздо более сложен. Молекулярные модели , таким образом, изготавливаются на заказ в том смысле, что результаты моделирования применимы только для этой конкретной модели. Этот подход к разработке молекулярных силовых полей сегодня в основном применяется в физике мягкой материи и связанных с ней областях, таких как химическая инженерия , химия и вычислительная биология. Большое количество силовых полей основано на потенциале Леннарда-Джонса, например, силовое поле TraPPE ^[95] , силовое поле OPLS ^[96] и силовое поле MolMod ^[97] (обзор молекулярных силовых полей выходит за рамки настоящей статьи). Для современного моделирования твердотельных материалов используются более сложные многочастичные потенциалы (например, потенциалы EAM ^{[98] ).}

Потенциал Леннарда-Джонса дает хорошее приближение межмолекулярных взаимодействий для многих приложений: макроскопические свойства, вычисленные с использованием потенциала Леннарда-Джонса, хорошо согласуются с экспериментальными данными для простых веществ, таких как аргон, с одной стороны, а потенциальная функция неплохо согласуется с результатами квантовой химии , с другой стороны. Потенциал Леннарда-Джонса дает хорошее описание молекулярных взаимодействий в жидких фазах, тогда как молекулярные взаимодействия в твердых фазах описываются лишь приблизительно. Это в основном связано с тем, что многочастичные взаимодействия играют значительную роль в твердых фазах, которые не включены в потенциал Леннарда-Джонса. Поэтому потенциал Леннарда-Джонса широко используется в физике мягкой материи и связанных с ней областях, тогда как он реже используется в физике твердого тела . Благодаря своей простоте потенциал Леннарда-Джонса часто используется для описания свойств газов и простых жидкостей, а также для моделирования дисперсионных и отталкивательных взаимодействий в молекулярных моделях . Он особенно точен для атомов благородных газов и метана . Кроме того, он является хорошим приближением для молекулярных взаимодействий на больших и малых расстояниях для нейтральных атомов и молекул. Поэтому потенциал Леннарда-Джонса очень часто используется в качестве строительного блока молекулярных моделей сложных молекул, например, алканов или воды . ^{[95] [99] [97]} Потенциал Леннарда-Джонса также может использоваться для моделирования адсорбционных взаимодействий на границах раздела твердое тело-жидкость, т. е. физосорбции или хемосорбции . ${\displaystyle V_{\mathrm {LJ} }(r)}$

Общепризнано, что основные ограничения потенциала Леннарда-Джонса заключаются в том, что потенциал является парным потенциалом (не охватывает многочастичные взаимодействия) и что показатель степени используется для отталкивания. Результаты квантовой химии показывают, что необходимо использовать показатель степени выше 12, т. е. более крутой потенциал. Кроме того, потенциал Леннарда-Джонса имеет ограниченную гибкость, т. е. только два параметра модели и может использоваться для подгонки для описания реального вещества. ${\displaystyle 1/r^{12}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \sigma }$

Смотрите также

• Сравнение реализаций силового поля
• Встроенная модель атома
• Силовое поле (химия)
• Молекулярная механика
• Потенциал Морзе и потенциал Морзе/дальнобойности
• Вириальное расширение

Ссылки

1. Фишер, Иоганн; Вендланд, Мартин (2023-10-01). «Об истории ключевых эмпирических межмолекулярных потенциалов». Fluid Phase Equilibria . 573 : 113876. Bibcode : 2023FlPEq.57313876F. doi : 10.1016/j.fluid.2023.113876 . ISSN  0378-3812.
2. Ленхард, Йоханнес; Стефан, Саймон; Хассе, Ганс (2024-05-16). «Об истории потенциала Леннарда-Джонса». Annalen der Physik . 536 (6). doi :10.1002/andp.202400115. ISSN  0003-3804.
3. Швердтфегер, Питер; Уэльс, Дэвид Дж. (2024-04-26). «100 лет потенциалу Леннарда-Джонса». Журнал химической теории и вычислений . 20 (9): 3379–3405. doi :10.1021/acs.jctc.4c00135. ISSN  1549-9618. PMID  38669689.
4. Стоун, А. Дж. (2016). Теория межмолекулярных сил (Второе издание, опубликованное в мягкой обложке). Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-878915-4.
5. Lennard-Jones, JE (1931-09-01). «Сплоченность». Труды Физического общества . 43 (5): 461–482. Bibcode :1931PPS....43..461L. doi :10.1088/0959-5309/43/5/301. ISSN  0959-5309.
6. Jones, JE (1924). «Об определении молекулярных полей.—I. Из изменения вязкости газа с температурой». Труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического и физического характера . 106 (738): 441–462. Bibcode : 1924RSPSA.106..441J. doi : 10.1098/rspa.1924.0081 . ISSN  0950-1207.
7. Ван, Сипэн; Рамирес-Хинестроса, Симон; Добникар, Юре; Френкель, Даан (2020). «Потенциал Леннарда-Джонса: когда (не) его использовать». Физическая химия Химическая физика . 22 (19): 10624–10633. arXiv : 1910.05746 . Bibcode :2020PCCP...2210624W. doi :10.1039/C9CP05445F. ISSN  1463-9076. PMID  31681941.
8. Ми, Густав (1903). «Zur kinetischen Theorie der Einatomigen Körper». Аннален дер Физик (на немецком языке). 316 (8): 657–697. Бибкод : 1903АнП...316..657М. дои : 10.1002/andp.19033160802.
9. Tang, KT; Toennies, J. Peter (1984-04-15). «Улучшенная простая модель для потенциала Ван-дер-Ваальса на основе универсальных функций затухания для коэффициентов дисперсии». Журнал химической физики . 80 (8): 3726–3741. Bibcode : 1984JChPh..80.3726T. doi : 10.1063/1.447150. ISSN  0021-9606.
10. Лафитт, Томас; Апостолаку, Анастасия; Авенданьо, Карлос; Галиндо, Ампаро; Аджиман, Клэр С.; Мюллер, Эрих А.; Джексон, Джордж (2013-10-21). "Точная статистическая теория ассоциированной жидкости для цепных молекул, образованных из сегментов Ми". Журнал химической физики . 139 (15). Bibcode : 2013JChPh.139o4504L. doi : 10.1063/1.4819786 . hdl : 10044/1/12859 . ISSN  0021-9606. PMID  24160524.
11. Стефан, Саймон; Штаубах, Йенс; Хассе, Ганс (2020). «Обзор и сравнение уравнений состояния для жидкости Леннарда-Джонса». Fluid Phase Equilibria . 523 : 112772. Bibcode : 2020FlPEq.52312772S. doi : 10.1016/j.fluid.2020.112772. S2CID  224844789.
12. Джонс, Дж. Э. (1924). «Об определении молекулярных полей. —II. Из уравнения состояния газа». Труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического и физического характера . 106 (738): 463–477. Bibcode : 1924RSPSA.106..463J. doi : 10.1098/rspa.1924.0082 . ISSN  0950-1207.
13. Ленхард, Йоханнес; Стефан, Саймон; Хассе, Ганс (февраль 2024 г.). «Дитя предсказания. Об истории, онтологии и вычислениях Леннарда-Джонсиума». Исследования по истории и философии науки . 103 : 105–113. doi :10.1016/j.shpsa.2023.11.007. PMID  38128443. S2CID  266440296.
14. Allen, Michael P.; Tildesley, Dominic J. (2017-11-23). ​​"Компьютерное моделирование жидкостей". Oxford Scholarship Online . doi :10.1093/oso/9780198803195.001.0001. ISBN 9780198803195.
15. DC Rapaport (1 апреля 2004 г.). Искусство моделирования молекулярной динамики. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-82568-9.
16. Френкель, Д.; Смит, Б. (2002), Понимание молекулярного моделирования (второе издание), Сан-Диего: Academic Press, ISBN 0-12-267351-4
17. Лафитт, Томас; Апостолаку, Анастасия; Авенданьо, Карлос; Галиндо, Ампаро; Аджиман, Клэр С.; Мюллер, Эрих А.; Джексон, Джордж (2013-10-16). "Точная статистическая теория ассоциированной жидкости для цепных молекул, образованных из сегментов Ми". Журнал химической физики . 139 (15): 154504. Bibcode : 2013JChPh.139o4504L. doi : 10.1063/1.4819786. hdl : 10044/1/12859 . ISSN  0021-9606. PMID  24160524.
18. Грюнайзен, Эдвард (1911). «Das Verhältnis der thermischen Ausdehnung zur spezifischen Wärme Fester Elemente». Zeitschrift für Elektrochemie und angewandte Physikalische Chemie . 17 (17): 737–739. дои : 10.1002/bbpc.191100004. S2CID  178760389.
19. Грюнайзен, Э. (1912). «Теория праздников: элементы einatomiger Elemente». Аннален дер Физик (на немецком языке). 344 (12): 257–306. Бибкод : 1912АнП...344..257Г. дои : 10.1002/andp.19123441202.
20. Stockmayer, WH (1941-05-01). "Вторые вириальные коэффициенты полярных газов". Журнал химической физики . 9 (5): 398–402. Bibcode :1941JChPh...9..398S. doi :10.1063/1.1750922. ISSN  0021-9606.
21. Стефан, Саймон; Тол, Моника; Врабец, Ядран; Хассе, Ханс (28.10.2019). «Теплофизические свойства жидкости Леннарда-Джонса: база данных и оценка данных». Журнал химической информации и моделирования . 59 (10): 4248–4265. doi :10.1021/acs.jcim.9b00620. ISSN  1549-9596. PMID  31609113. S2CID  204545481.
22. Vrabec, Jadran; Kedia, Gaurav Kumar; Fuchs, Guido; Hasse, Hans (2006-05-10). «Комплексное исследование сосуществования пара и жидкости усеченной и смещенной жидкости Леннарда–Джонса, включая свойства плоского и сферического интерфейса». Молекулярная физика . 104 (9): 1509–1527. Bibcode : 2006MolPh.104.1509V. doi : 10.1080/00268970600556774. ISSN  0026-8976. S2CID  96606562.
23. Хейер, Микаэла; Стефан, Саймон; Лю, Джинлу; Чепмен, Уолтер Г.; Хассе, Ханс; Лангенбах, Кай (18.08.2018). «Уравнение состояния для усеченной и смещенной по Леннард-Джонсу жидкости с радиусом отсечки 2,5 σ на основе теории возмущений и ее приложений к межфазной термодинамике». Молекулярная физика . 116 (15–16): 2083–2094. Bibcode : 2018MolPh.116.2083H. doi : 10.1080/00268976.2018.1447153. ISSN  0026-8976. S2CID  102956189.
24. Шауль, Кэтрин RS; Шульц, Эндрю Дж.; Кофке, Дэвид А. (2010). «Влияние усечения и сдвига на вириальные коэффициенты потенциалов Леннарда–Джонса». Сборник чехословацких химических сообщений . 75 (4): 447–462. doi :10.1135/cccc2009113. ISSN  1212-6950.
25. Ши, Вэй; Джонсон, Дж. Карл (2001). «Изучение перевеса гистограмм и конечно-размерного масштабирования жидкостей Леннарда–Джонса». Fluid Phase Equilibria . 187–188: 171–191. Bibcode : 2001FlPEq.187..171S. doi : 10.1016/S0378-3812(01)00534-9.
26. Дуников, ДО; Малышенко, СП; Жаховский, ВВ (2001-10-08). "Закон соответствующих состояний и моделирование молекулярной динамики жидкости Леннарда-Джонса". Журнал химической физики . 115 (14): 6623–6631. Bibcode :2001JChPh.115.6623D. doi :10.1063/1.1396674. ISSN  0021-9606.
27. Ливия Б. Партай, Кристоф Ортнер, Альберт П. Барток, Крис Дж. Пикард и Габор Чани «Политипизм в структуре основного состояния Леннарда-Джонсиума», Физическая химия Химическая физика 19 19369 (2017)
28. Чипев, Никола; Секлер, Штеффен; Хайнен, Матиас; Врабец, Ядран; Гратл, Фабио; Хорш, Мартин; Бернройтер, Мартин; Гласс, Колин В.; Нитхаммер, Кристоф; Хаммер, Николай; Кришок, Бернд (2019). «TweTriS: моделирование двадцати триллионов атомов». Международный журнал приложений для высокопроизводительных вычислений . 33 (5): 838–854. дои : 10.1177/1094342018819741. ISSN  1094-3420. S2CID  59345875.
29. Стефан, Саймон; Лю, Джинлу; Лангенбах, Кай; Чепмен, Уолтер Г.; Хассе, Ханс (2018). «Интерфейс пар-жидкость усеченной и смещенной жидкости Леннарда-Джонса: сравнение молекулярного моделирования, теории градиента плотности и теории функционала плотности». Журнал физической химии C. 122 ( 43): 24705–24715. doi :10.1021/acs.jpcc.8b06332. ISSN  1932-7447. S2CID  105759822.
30. Коб, Вальтер; Андерсен, Ганс К. (1995-05-01). "Тестирование теории связи мод для переохлажденной бинарной смеси Леннарда-Джонса I: Корреляционная функция Ван Хоува". Physical Review E. 51 ( 5): 4626–4641. arXiv : cond-mat/9501102 . Bibcode : 1995PhRvE..51.4626K. doi : 10.1103/PhysRevE.51.4626. PMID  9963176. S2CID  17662741.
31. Стефан, Саймон; Хассе, Ганс (2020-06-01). "Влияние дисперсионных дальнодействующих взаимодействий на свойства равновесий пар–жидкость и интерфейсов бинарных смесей Леннарда-Джонса". Молекулярная физика . 118 (9–10): e1699185. Bibcode : 2020MolPh.11899185S. ​​doi : 10.1080/00268976.2019.1699185. ISSN  0026-8976. S2CID  214174102.
32. Smit, B. (1992), "Фазовые диаграммы жидкостей Леннарда-Джонса" (PDF) , Журнал химической физики , 96 (11): 8639–8640, Bibcode : 1992JChPh..96.8639S, doi : 10.1063/1.462271
33. Смит, Б.; Френкель, Д. (1991-04-15). "Парожидкостные равновесия двумерной жидкости Леннарда-Джонса". Журнал химической физики . 94 (8): 5663–5668. Bibcode :1991JChPh..94.5663S. doi :10.1063/1.460477. ISSN  0021-9606. S2CID  1580499.
34. Scalise, Osvaldo H (июнь 2001 г.). "Тип I газожидкостных равновесий двумерной бинарной смеси Леннарда–Джонса". Fluid Phase Equilibria . 182 (1–2): 59–64. Bibcode : 2001FlPEq.182...59S. doi : 10.1016/s0378-3812(01)00380-6. ISSN  0378-3812.
35. Hloucha, M.; Sandler, SI (ноябрь 1999). «Фазовая диаграмма четырехмерной жидкости Леннарда-Джонса». Журнал химической физики . 111 (17): 8043–8047. Bibcode : 1999JChPh.111.8043H. doi : 10.1063/1.480138. ISSN  0021-9606.
36. Хилл, Террелл Л. (1956). Статистическая механика: принципы и избранные приложения. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-65390-0. OCLC  15163657.
37. Wood, WW; Parker, FR (1957). «Уравнение состояния молекул, взаимодействующих с потенциалом Леннарда-Джонса, методом Монте-Карло. I. Сверхкритическая изотерма при температуре, примерно в два раза превышающей критическую». Журнал химической физики . 27 (3): 720–733. Bibcode : 1957JChPh..27..720W. doi : 10.1063/1.1743822. ISSN  0021-9606.
38. Rosenbluth, Marshall N.; Rosenbluth, Arianna W. (1954). «Дальнейшие результаты по уравнениям состояния Монте-Карло». Журнал химической физики . 22 (5): 881–884. Bibcode : 1954JChPh..22..881R. doi : 10.1063/1.1740207. ISSN  0021-9606.
39. Alder, BJ; Wainwright, TE (1959). «Исследования по молекулярной динамике. I. Общий метод». Журнал химической физики . 31 (2): 459–466. Bibcode : 1959JChPh..31..459A. doi : 10.1063/1.1730376. ISSN  0021-9606.
40. Рахман, А. (1964-10-19). "Корреляции в движении атомов в жидком аргоне". Physical Review . 136 (2A): A405–A411. Bibcode :1964PhRv..136..405R. doi :10.1103/PhysRev.136.A405. ISSN  0031-899X.
41. Шульц, Эндрю Дж.; Кофке, Дэвид А. (2018-11-28). «Комплексное высокоточное высокоточное уравнение состояния и свойства сосуществования для классических кристаллов Леннарда-Джонса и низкотемпературных жидких фаз». Журнал химической физики . 149 (20): 204508. Bibcode : 2018JChPh.149t4508S. doi : 10.1063/1.5053714. ISSN  0021-9606. PMID  30501268. S2CID  54629914.
42. Шульц, Эндрю Дж.; Кофке, Дэвид А. (2020-08-07). "Erratum: "Комплексное высокоточное высокоточное уравнение состояния и свойства сосуществования для классических кристаллов Леннарда-Джонса и низкотемпературных жидких фаз" [J. Chem. Phys. 149, 204508 (2018)]". Журнал химической физики . 153 (5): 059901. doi : 10.1063/5.0021283 . ISSN  0021-9606. PMID  32770918.
43. Schappals, Michael; Mecklenfeld, Andreas; Kröger, Leif; Botan, Vitalie; Köster, Andreas; Stephan, Simon; García, Edder J.; Rutkai, Gabor; Raabe, Gabriele; Klein, Peter; Leonhard, Kai (2017-09-12). "Round Robin Study: Molecular Simulation of Thermodynamic Properties from Models with Internal Degrees of Freedom". Journal of Chemical Theory and Computation . 13 (9): 4270–4280. doi :10.1021/acs.jctc.7b00489. ISSN  1549-9618. PMID  28738147.
44. Лёффлер, Ханнес Х.; Босисио, Стефано; Дуарте Рамос Матос, Гильерме; Су, Донхёк; Ру, Бенуа; Мобли, Дэвид Л.; Мишель, Жюльен (13.11.2018). «Воспроизводимость расчетов свободной энергии в различных пакетах программного обеспечения для молекулярного моделирования». Журнал химической теории и вычислений . 14 (11): 5567–5582. doi :10.1021/acs.jctc.8b00544. hdl : 20.500.11820/52d85d71-d3df-468b-8f88-9c52e83da1f1 . ISSN  1549-9618. PMID  30289712. S2CID  52923832.
45. Ленхард, Йоханнес; Кюстер, Уве (2019). «Воспроизводимость и концепция численного решения». Minds and Machines . 29 (1): 19–36. doi :10.1007/s11023-019-09492-9. ISSN  0924-6495. S2CID  59159685.
46. Ши, Вэй; Джонсон, Дж. Карл (2001-09-15). "Изучение перевеса гистограмм и конечно-размерного масштабирования жидкостей Леннарда–Джонса". Fluid Phase Equilibria . 187–188: 171–191. Bibcode :2001FlPEq.187..171S. doi :10.1016/S0378-3812(01)00534-9. ISSN  0378-3812.
47. Метрополис, Николас; Розенблут, Арианна В.; Розенблут, Маршалл Н.; Теллер, Августа Х.; Теллер, Эдвард (1953). «Вычисления уравнений состояния с помощью быстрых вычислительных машин». Журнал химической физики . 21 (6): 1087–1092. Bibcode : 1953JChPh..21.1087M. doi : 10.1063/1.1699114. ISSN  0021-9606. OSTI  4390578. S2CID  1046577.
48. Дэниел Сидериус (01.09.2017). Сайт эталонного моделирования стандартов NIST — SRD 173. Национальный институт стандартов и технологий. doi : 10.18434/T4M88Q.
49. "Модифицированное масштабирование энтропии транспортных свойств жидкости Леннарда-Джонса". dx.doi.org . doi :10.1021/acs.jpcb.9b05808.s001 . Получено 20 мая 2024 г. .
50. Лаутеншлегер, Мартин П.; Хассе, Ганс (29.04.2021). «Транспортные свойства усеченной и смещенной жидкости Леннарда-Джонса из неравновесного молекулярно-динамического моделирования». dx.doi.org . doi :10.31219/osf.io/67w4u . Получено 20.05.2024 .
51. Köster, Andreas; Mausbach, Peter; Vrabec, Jadran (2017-10-10). «Предплавление, равновесие твердое тело–жидкость и термодинамические свойства в области высокой плотности на основе потенциала Леннарда-Джонса». Журнал химической физики . 147 (14): 144502. Bibcode : 2017JChPh.147n4502K. doi : 10.1063/1.4990667. ISSN  0021-9606. PMID  29031254.
52. Стефан, Саймон; Дейтерс, Ульрих К. (2020-08-20). "Характерные кривые жидкости Леннарда-Джонса". International Journal of Thermophysics . 41 (10): 147. Bibcode : 2020IJT....41..147S. doi : 10.1007/s10765-020-02721-9. ISSN  1572-9567. PMC 7441092. PMID 32863513  . 
53. Deiters, Ulrich K.; Neumaier, Arnold (2016-08-11). «Компьютерное моделирование характеристических кривых чистых жидкостей». Journal of Chemical & Engineering Data . 61 (8): 2720–2728. doi :10.1021/acs.jced.6b00133. ISSN  0021-9568.
54. Агравал, Рупал; Кофке, Дэвид А. (1995). «Термодинамические и структурные свойства модельных систем при сосуществовании твердого тела и жидкости: II. Плавление и сублимация системы Леннарда-Джонса». Молекулярная физика . 85 (1): 43–59. doi :10.1080/00268979500100921. ISSN  0026-8976.
55. Браун, Э. Х. (1960). «О термодинамических свойствах жидкостей». Бюллетень Международного института холода . Приложение 1960-1: 169–178.
56. Апфельбаум, Э.М.; Воробьев, В.С. (2020-06-18). «Линия единичного фактора сжимаемости (Zeno-Line) для кристаллических состояний». Журнал физической химии B. 124 ( 24): 5021–5027. doi :10.1021/acs.jpcb.0c02749. ISSN  1520-6106. PMID  32437611. S2CID  218835048.
57. Апфельбаум, EM; Воробьев, VS; Мартынов, GA (2008). «О теории линии Зенона». Журнал физической химии A. 112 ( 26): 6042–6044. Bibcode :2008JPCA..112.6042A. doi :10.1021/jp802999z. ISSN  1089-5639. PMID  18543889.
58. Николас, Дж. Дж.; Габбинс, К. Э.; Стритт, В. Б.; Тилдесли, Д. Д. (1979). «Уравнение состояния для жидкости Леннарда-Джонса». Молекулярная физика . 37 (5): 1429–1454. Bibcode : 1979MolPh..37.1429N. doi : 10.1080/00268977900101051. ISSN  0026-8976.
59. Фэн, Чао; Шульц, Эндрю Дж.; Чаудхари, Випин; Кофке, Дэвид А. (2015-07-28). "Восьмой-шестнадцатый вириальные коэффициенты модели Леннарда-Джонса". Журнал химической физики . 143 (4): 044504. Bibcode : 2015JChPh.143d4504F. doi : 10.1063/1.4927339 . ISSN  0021-9606. PMID  26233142.
60. Шульц, Эндрю Дж.; Кофке, Дэвид А. (2009-11-10). «Шестой, седьмой и восьмой вириальные коэффициенты модели Леннарда-Джонса». Молекулярная физика . 107 (21): 2309–2318. Bibcode : 2009MolPh.107.2309S. doi : 10.1080/00268970903267053. ISSN  0026-8976. S2CID  94811614.
61. Белл, Ян Х.; Мессерли, Ричард; Тол, Моника; Костильола, Лоренцо; Дайр, Йеппе К. (2019-07-25). «Модифицированное масштабирование энтропии транспортных свойств жидкости Леннарда-Джонса». Журнал физической химии B. 123 ( 29): 6345–6363. doi :10.1021/acs.jpcb.9b05808. ISSN  1520-6106. PMC 7147083. PMID 31241958  . 
62. Лаутеншлегер, Мартин П.; Хассе, Ганс (2019). «Транспортные свойства усеченной и смещенной жидкости Леннарда-Джонса из неравновесных симуляций молекулярной динамики». Fluid Phase Equilibria . 482 : 38–47. Bibcode : 2019FlPEq.482...38L. doi : 10.1016/j.fluid.2018.10.019. S2CID  106113718.
63. Zhen, Shu; Davies, GJ (1983-08-16). «Расчет параметров потенциальной энергии Леннарда-Джонса–m для металлов». Physica Status Solidi A (на немецком языке). 78 (2): 595–605. Bibcode :1983PSSAR..78..595Z. doi :10.1002/pssa.2210780226.
64. Halicioglu, T.; Pound, GM (1975-08-16). «Вычисление параметров потенциальной энергии из свойств кристаллического состояния». Physica Status Solidi A. 30 ( 2): 619–623. Bibcode :1975PSSAR..30..619H. doi :10.1002/pssa.2210300223.
65. Travesset, Alex (2014-10-28). "Фазовая диаграмма степенного закона и систем Леннарда-Джонса: кристаллические фазы". Журнал химической физики . 141 (16): 164501. Bibcode : 2014JChPh.141p4501T. doi : 10.1063/1.4898371. ISSN  0021-9606. PMID  25362319.
66. Хансен, Жан-Пьер; Верле, Лу (1969-08-05). «Фазовые переходы системы Леннарда-Джонса». Physical Review . 184 (1): 151–161. Bibcode : 1969PhRv..184..151H. doi : 10.1103/PhysRev.184.151. ISSN  0031-899X.
67. Лонге-Хиггинс, ХК (1951-02-07). "Статистическая термодинамика многокомпонентных систем". Труды Лондонского королевского общества. Серия A. Математические и физические науки . 205 (1081): 247–269. Bibcode :1951RSPSA.205..247L. doi :10.1098/rspa.1951.0028. ISSN  0080-4630. S2CID  202575459.
68. Leland, TW; Rowlinson, JS; Sather, GA (1968). "Статистическая термодинамика смесей молекул разных размеров". Transactions of the Faraday Society . 64 : 1447. doi :10.1039/tf9686401447. ISSN  0014-7672.
69. Мансури, Г. Али; Леланд, Томас В. (1972). «Статистическая термодинамика смесей. Новая версия теории конформного решения». Журнал химического общества, Faraday Transactions 2. 68 : 320. doi :10.1039/f29726800320. ISSN  0300-9238.
70. Роулинсон, Дж. С.; Суинтон, Ф. Л. (1982). Жидкости и жидкие смеси (Третье изд.). Лондон: Баттерворт.
71. Deiters, Ulrich K.; Kraska, Thomas (2012). Высоконапорные фазовые равновесия жидкости: феноменология и вычисления (1-е изд.). Амстердам: Elsevier. ISBN 978-0-444-56354-5. OCLC  787847134.
72. Шнабель, Торстен; Врабец, Ядран; Хассе, Ганс (2007). «В отличие от параметров Леннарда – Джонса для равновесия пар-жидкость». Журнал молекулярных жидкостей . 135 (1–3): 170–178. arXiv : 0904.4436 . doi :10.1016/j.molliq.2006.12.024. S2CID  16111477.
73. Лоренц, HA (1881). «Ueber die Anwendung des Satzes vom Virial in der kinetischen Theorie der Gase». Аннален дер Физик (на немецком языке). 248 (1): 127–136. Бибкод : 1881АнП...248..127Л. дои : 10.1002/andp.18812480110.
74. van Konynenburg, PH; Scott, RL (1980-12-18). «Критические линии и фазовые равновесия в бинарных смесях Ван-дер-Ваальса». Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Серия A, Математические и физические науки . 298 (1442): 495–540. Bibcode :1980RSPTA.298..495K. doi :10.1098/rsta.1980.0266. ISSN  0080-4614. S2CID  122538015.
75. Потофф, Джеффри Дж.; Панагиотопулос, Афанассиос З. (1998-12-22). «Критическая точка и фазовое поведение чистой жидкости и смеси Леннарда-Джонса». Журнал химической физики . 109 (24): 10914–10920. Bibcode : 1998JChPh.10910914P. doi : 10.1063/1.477787. ISSN  0021-9606.
76. Проценко, Сергей П.; Байдаков, Владимир Г. (2016). «Бинарные смеси Леннарда-Джонса с высокоасимметричными взаимодействиями компонентов. 1. Влияние энергетических параметров на фазовые равновесия и свойства интерфейсов жидкость–газ». Fluid Phase Equilibria . 429 : 242–253. Bibcode : 2016FlPEq.429..242P. doi : 10.1016/j.fluid.2016.09.009.
77. Проценко, Сергей П.; Байдаков, Владимир Г.; Брюханов, Василий М. (2016). «Бинарные смеси Леннарда-Джонса с высокоасимметричными взаимодействиями компонентов. 2. Влияние размера частиц на фазовые равновесия и свойства интерфейсов жидкость–газ». Fluid Phase Equilibria . 430 : 67–74. Bibcode :2016FlPEq.430...67P. doi :10.1016/j.fluid.2016.09.022.
78. Стефан, Саймон; Хассе, Ганс (2020-01-23). ​​«Молекулярные взаимодействия на границах раздела пар–жидкость: бинарные смеси простых жидкостей». Physical Review E. 101 ( 1): 012802. Bibcode : 2020PhRvE.101a2802S. doi : 10.1103/PhysRevE.101.012802. ISSN  2470-0045. PMID  32069593. S2CID  211192904.
79. Lamm, Monica H.; Hall, Carol K. (2002). "Равновесия между твердой, жидкой и паровой фазами в бинарных смесях Леннарда–Джонса". Fluid Phase Equilibria . 194–197: 197–206. Bibcode :2002FlPEq.194..197L. doi :10.1016/S0378-3812(01)00650-1.
80. Lamm, Monica H.; Hall, Carol K. (2001). "Моделирование методом Монте-Карло полных фазовых диаграмм для бинарных смесей Леннарда–Джонса". Fluid Phase Equilibria . 182 (1–2): 37–46. Bibcode : 2001FlPEq.182...37L. doi : 10.1016/S0378-3812(01)00378-8.
81. Hitchcock, Monica R.; Hall, Carol K. (1999-06-15). "Равновесие твердой и жидкой фаз для бинарных смесей Леннарда-Джонса". Журнал химической физики . 110 (23): 11433–11444. Bibcode : 1999JChPh.11011433H. doi : 10.1063/1.479084. ISSN  0021-9606.
82. Юнгблут, Светлана; Деллаго, Кристоф (2011-03-14). «Кристаллизация бинарной смеси Леннарда-Джонса». Журнал химической физики . 134 (10): 104501. Bibcode : 2011JChPh.134j4501J. doi : 10.1063/1.3556664. ISSN  0021-9606. PMID  21405169.
83. Lamm, Monica H.; Hall, Carol K. (2004). «Влияние давления на полное фазовое поведение бинарных смесей». AIChE Journal . 50 (1): 215–225. Bibcode : 2004AIChE..50..215L. doi : 10.1002/aic.10020 . ISSN  0001-1541.
84. Коттерман, Р. Л.; Праусниц, Дж. М. (1986). «Молекулярная термодинамика жидкостей при низких и высоких плотностях. Часть II: Фазовые равновесия для смесей, содержащих компоненты с большими различиями в размере молекул или потенциальной энергии». Журнал AIChE . 32 (11): 1799–1812. Bibcode : 1986AIChE..32.1799C. doi : 10.1002/aic.690321105. ISSN  0001-1541. S2CID  96417239.
85. Мюллер, Андреас; Винкельманн, Йохен; Фишер, Иоганн (1996). «Семейство уравнений состояния Backone: 1. Неполярные и полярные чистые жидкости». Журнал AIChE . 42 (4): 1116–1126. Bibcode : 1996AIChE..42.1116M. doi : 10.1002/aic.690420423. ISSN  0001-1541.
86. Вайнгерль, Ульрика; Вендланд, Мартин; Фишер, Иоганн; Мюллер, Андреас; Винкельманн, Йохен (2001). «Баконовое семейство уравнений состояния: 2. Неполярные и полярные смеси жидкостей». Журнал Айше . 47 (3): 705–717. Бибкод : 2001AIChE..47..705W. дои : 10.1002/aic.690470317.
87. Blas, FJ; Vega, LF (1997). "Термодинамическое поведение гомоядерных и гетероядерных цепей Леннарда-Джонса с сайтами ассоциации из моделирования и теории". Молекулярная физика . 92 (1): 135–150. Bibcode : 1997MolPh..92..135F. doi : 10.1080/002689797170707. ISSN  0026-8976.
88. Краска, Томас; Габбинс, Кит Э. (1996). «Расчеты фазовых равновесий с модифицированным уравнением состояния SAFT. 1. Чистые алканы, алканолы и вода». Industrial & Engineering Chemistry Research . 35 (12): 4727–4737. doi :10.1021/ie9602320. ISSN  0888-5885.
89. Гонасги, Д.; Чепмен, Уолтер Г. (1994). «Прогнозирование свойств модельных полимерных растворов и смесей». Журнал AIChE . 40 (5): 878–887. Bibcode : 1994AIChE..40..878G. doi : 10.1002/aic.690400514. ISSN  0001-1541.
90. Мекке, М.; Мюллер, А.; Винкельманн, Й.; Врабец, Й.; Фишер, Й.; Спан, Р.; Вагнер, В. (1996-03-01). «Точное уравнение состояния типа Ван-дер-Ваальса для жидкости Леннарда-Джонса». International Journal of Thermophysics . 17 (2): 391–404. Bibcode : 1996IJT....17..391M. doi : 10.1007/BF01443399. ISSN  1572-9567. S2CID  123304062.
91. Колафа, Йиржи; Незбеда, Иво (1994). «Жидкость Леннарда-Джонса: точное аналитическое и теоретически обоснованное уравнение состояния». Fluid Phase Equilibria . 100 : 1–34. Bibcode : 1994FlPEq.100....1K. doi : 10.1016/0378-3812(94)80001-4.
92. Тол, Моника; Руткай, Габор; Кёстер, Андреас; Люстиг, Рольф; Спан, Роланд; Врабец, Ядран (2016). «Уравнение состояния для жидкости Леннарда-Джонса». Журнал физических и химических справочных данных . 45 (2): 023101. Bibcode : 2016JPCRD..45b3101T. doi : 10.1063/1.4945000. ISSN  0047-2689.
93. Готтшалк, Маттиас (2019-12-01). "Уравнение состояния для жидкости Леннарда-Джонса: подход вириального расширения". AIP Advances . 9 (12): 125206. Bibcode : 2019AIPA....9l5206G. doi : 10.1063/1.5119761 . ISSN  2158-3226.
94. Джонсон, Дж. Карл; Цоллвег, Джон А.; Габбинс, Кит Э. (1993-02-20). «Повторное рассмотрение уравнения состояния Леннарда-Джонса». Молекулярная физика . 78 (3): 591–618. Bibcode : 1993MolPh..78..591J. doi : 10.1080/00268979300100411. ISSN  0026-8976.
95. Eggimann, Becky L.; Sunnarborg, Amara J.; Stern, Hudson D.; Bliss, Andrew P.; Siepmann, J. Ilja (2014-01-02). "Онлайн-база данных параметров и свойств для силового поля TraPPE". Molecular Simulation . 40 (1–3): 101–105. doi :10.1080/08927022.2013.842994. ISSN  0892-7022. S2CID  95716947.
96. Йоргенсен, Уильям Л.; Максвелл, Дэвид С.; Тирадо-Райвс, Джулиан (январь 1996 г.). «Разработка и тестирование силового поля OPLS All-Atom Force Field на конформационной энергетике и свойствах органических жидкостей». Журнал Американского химического общества . 118 (45): 11225–11236. doi :10.1021/ja9621760. ISSN  0002-7863.
97. Стефан, Саймон; Хорш, Мартин Т.; Врабец, Ядран; Хассе, Ханс (2019-07-03). "MolMod – открытая база данных силовых полей для молекулярного моделирования жидкостей". Молекулярное моделирование . 45 (10): 806–814. arXiv : 1904.05206 . doi : 10.1080/08927022.2019.1601191. ISSN  0892-7022. S2CID  119199372.
98. Менделев, MI; Хан, S.; Сроловиц, DJ; Экленд, GJ; Сан, DY; Аста, M. (2003). «Разработка новых межатомных потенциалов, подходящих для кристаллического и жидкого железа». Philosophical Magazine . 83 (35): 3977–3994. Bibcode :2003PMag...83.3977A. doi :10.1080/14786430310001613264. ISSN  1478-6435. S2CID  4119718.
99. Абаскал, Дж. Л. Ф.; Вега, К. (15.12.2005). "Универсальная модель для конденсированных фаз воды: TIP4P/2005". Журнал химической физики . 123 (23): 234505. Bibcode : 2005JChPh.123w4505A. doi : 10.1063/1.2121687. ISSN  0021-9606. PMID  16392929.

Внешние ссылки

• Модель Леннарда-Джонса на SklogWiki.