Завершения в теории категорий

В теории категорий , разделе математики, существует несколько способов ( дополнений ) расширить данную категорию способом, в некотором роде аналогичным дополнению в топологии . Это: (игнорируя теоретико-множественные вопросы для простоты),

• свободное ко-пополнение , свободное завершение . Они получаются путем свободного добавления копределов или пределов. Явно, свободное ко-пополнение категории C является вложением Йонеды C в категорию предпучков на C . ^{[1] [2]} Свободное завершение C является свободным ко-пополнением противоположности C . ^[3]
  • ind-completion . Это достигается путем свободного добавления отфильтрованных копределов .
• Пополнение по Коши категории C — это, грубо говоря, замыкание C в некоторой охватывающей категории, так что все функторы сохраняют пределы. ^{[4] [5]} Например, если метрическое пространство рассматривать как обогащенную категорию (см. обобщенное метрическое пространство ), то его пополнение по Коши совпадает с обычным пополнением пространства.
• Завершение Исбелла (также называемое рефлексивным завершением ), введенное Исбеллом в 1960 году ^[6] , вкратце является категорией неподвижной точки сопряженного дополнения Исбелла . ^{[7] [8]} Его не следует путать с огибающей Исбелла, которая также была введена Исбеллом.
• Оболочка Каруби или идемпотентное пополнение категории C — это (грубо говоря) универсальное расширение категории C , так что каждый идемпотент является расщеплённым идемпотентом. ^[9]
• Точное завершение

Примечания

1. День и отсутствие 2007
2. бесплатное совместное дополнение в nlab
3. бесплатное завершение в nlab
4. Борсо и Дежан 1986
5. Полная категория Коши в nlab
6. Исбелл 1960
7. «Толстые пролеты, завершения Isbell и полутропические модули», опубликовано Саймоном Виллертоном.
8. Эвери и Лейнстер 2021
9. Конверт Каруби в nlab

Ссылки

• Эвери, Том; Лейнстер, Том (2021), «Сопряженность Исбелла и рефлексивное завершение» (PDF) , Теория и применение категорий , 36 : 306–347, arXiv : 2102.08290
• Борсо, Фрэнсис; Дежан, Доминик (1986), «Пополнение Коши в теории категорий», Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques , 27 (2): 133–146.
• Карбони, А.; Витале, Э.М. (1998), «Регулярные и точные завершения», Журнал чистой и прикладной алгебры , 125 (1–3): 79–116, doi :10.1016/S0022-4049(96)00115-6
• Дей, Брайан Дж.; Лэк, Стивен (2007), «Пределы малых функторов», Журнал чистой и прикладной алгебры , 210 (3): 651–663, arXiv : math/0610439 , doi : 10.1016/j.jpaa.2006.10.019
• Исбелл, Дж. Р. (1960), «Адекватные подкатегории», Illinois Journal of Mathematics , 4 (4), doi :10.1215/ijm/1255456274
• "бесплатное завершение", ncatlab.org
• "бесплатное совместное дополнение", ncatlab.org
• «Полная категория Коши», ncatlab.org
• «Конверт Каруби», ncatlab.org
• Виллертон, Саймон (2013), «Тесные пролеты, завершения Исбелла и полутропические модули», Кафе n-Category , arXiv : 1302.4370

Дальнейшее чтение

• https://mathoverflow.net/questions/59291/completion-of-a-category