Задача Коши

Класс проблем для УЧП

Задача Коши в математике требует решения уравнения в частных производных , которое удовлетворяет определенным условиям, заданным на гиперповерхности в данной области. ^[1] Задача Коши может быть начальной или краевой задачей (для этого случая см. также Краевое условие Коши ). Он назван в честь Огюстена-Луи Коши .

Официальное заявление

Для уравнения в частных производных, определенного на Rn ⁺¹ , и гладкого многообразия S ⊂ Rn ⁺¹ размерности n ( S называется поверхностью Коши ), задача Коши состоит в нахождении неизвестных функций дифференциального уравнения относительно независимые переменные , удовлетворяющие ^[2] при условии, для некоторого значения , ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{N}}$ ${\displaystyle t,x_{1},\dots ,x_{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{n_{i}}u_{i}}{\partial t^{n_{i}}}}=F_{i}\left(t,x_{1},\dots ,x_{n},u_{1},\dots ,u_{N},\dots ,{\frac {\partial ^{k}u_{j}}{\partial t^{k_{0}}\partial x_{1}^{k_{1}}\dots \partial x_{n}^{k_{n}}}},\dots \right)\\&{\text{for }}i,j=1,2,\dots ,N;\,k_{0}+k_{1}+\dots +k_{n}=k\leq n_{j};\,k_{0}<n_{j}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle t=t_{0}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{k}u_{i}}{\partial t^{k}}}=\phi _{i}^{(k)}(x_{1},\dots ,x_{n})\quad {\text{for }}k=0,1,2,\dots ,n_{i}-1}$$

где заданы функции, определенные на поверхности (совместно называемые данными Коши задачи). Производная нулевого порядка означает, что задана сама функция. ${\displaystyle \phi _{i}^{(k)}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle S}$

Теорема Коши – Ковалевского.

Теорема Коши-Ковалевского утверждает, что если все функции аналитичны в некоторой окрестности точки и если все функции аналитичны в некоторой окрестности точки , то задача Коши имеет единственное аналитическое решение в некоторой окрестности точки ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle (t^{0},x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots ,\phi _{j,k_{0},k_{1},\dots ,k_{n}}^{0},\dots )}$ ${\displaystyle \phi _{j}^{(k)}}$ ${\displaystyle (x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots ,x_{n}^{0})}$ ${\displaystyle (t^{0},x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots ,x_{n}^{0})}$ .

Смотрите также

• Математический портал

• Граничное условие Коши
• Горизонт Коши

Рекомендации

1. Адамар, Жак (1923). Лекции по задаче Коши в линейных дифференциальных уравнениях в частных производных . Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. стр. 4–5. ОСЛК  1880147.
2. Петровский, И.Г. (1991) [1954]. Лекции по уравнениям в частных производных . Перевод Шеницера А. (изд. Дувра). Нью-Йорк: Межнаучный. ISBN 0-486-66902-5.

3. ^ Хилле, Эйнар (1956) [1954]. Некоторые аспекты проблемы Коши Труды '5 4 ICM том III раздел II (полчасовой анализ приглашения) стр. 1 0 9 ~ 1 6 .

4.^ Сигеру Мизохата (溝畑 茂, 1965). Лекции по задаче Коши. Институт фундаментальных исследований Тата.

5. ^ Сигеру Мизохата (1985). О проблеме Коши. Заметки и отчеты по математике в науке и технике. 3. Academic Press, Inc.. ISBN 9781483269061.

6.^Арендт, Вольфганг; Бэтти, Чарльз; Хибер, Матиас; Нойбрандер, Франк (2001), Векторные преобразования Лапласа и задачи Коши, Биркхаузер.

Внешние ссылки

• Задача Коши в MathWorld .